四川省仁寿一中南校区高中数学《导数计算的综合应用》课件 新人教版选修22.ppt

1 2 3导数的计算综合问题 基础梳理 1 复合函数y f g x 的导数和函数y f u u g x 的导数间的关系为yx yu ux 2 x3 3x 3 2x2 lnx 4 5 log8x 3x2 3xln3 4xlnx 2x 题型1 求复合函数的导数 求下列函数的导数 解析 1 设y u 1 2x2 则y 1 2x2 4x 1 2x2 4x 2x 1 2x2 2 函数y ln可以看成函数y lnu和函数u 的复合函数 y x yu ux lnu 3 函数y e3x可以看成函数y eu和函数u 3x的复合函数 y x yu ux eu 3x 3eu 3e3x 4 函数y 5log2 2x 1 可以看成函数y 5log2u和函数u 2x 1的复合函数 yx yu ux 5 log2u 2x 1 变式1 求下列复合函数的导数 1 y sin 2x 1 2 y 解析 1 函数y sin 2x 1 可以看作函数y sinu和u 2x 1的复合函数 根据复合函数求导法则有yx yu ux sinu 2x 1 2cosu 2cos 2x 1 曲线的切线方程的综合应用 曲线y x3在点 3 27 处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少 分析 求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点 解析 曲线在点 3 27 处切线的方程为y 27x 54 此直线与x轴 y轴的交点分别为 2 0 和 0 54 故切线与两坐标轴围成的三角形面积是s 2 54 54 跟踪训练 2 求过点 1 1 的曲线y x3 2x的切线方程 解析 设p x0 y0 为切点 则切线的斜率为f x0 3 2 故切线方程为y y0 3 2 x x0 即y x 2x0 3x 2 x x0 又知切线过点 1 1 代入上述方程 得 1 x 2x0 3x 2 1 x0 解得x0 1或x0 故所求的切线方程为y 1 x 1或y 即x y 2 0或5x 4y 1 0 复合函数与导数运算法则的综合问题 求下列函数的导数 跟踪训练 3 已知f x e xsin x 求f x 及f 例4 设函数f x ax 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为7x 4y 12 0 1 求f x 的解析式 2 证明 曲线y f x 上任一点处的切线与直线x 0和直线y x所围成的三角形面积为定值 并求此定值 1 解析 方程7x 4y 12 0可化为y x 3 当x 2时 y 又f x a 故f x x 2 证明 设p x0 y0 为曲线上任一点 由y 1 知 曲线在点p x0 y0 处的切线方程为 y y0 x x0 即y x x0 令x 0得y 从而得切线与直线x 0的交点坐标为 令y x得y x 2x0 从而得切线与直线y x的交点坐标为 2x0 2x0 所以点p x0 y0 处的切线与直线x 0 y x所围成的三角形面积为 6 故曲线y f x 上任一点处的切线与直线x 0 y x所围成的三角形的面积为定值 此定值为6 1 函数y cosnx的复合过程正确的是 a y un u cosxnb y t t cosnxc y tn t cosxd y cost t xn2 若f x ex 则f x f 1 3 f x xsinx cosx f c ex 4 设f x x2 2x 4lnx 则f x 0的解集为 a 0 b 1 0 2 c 2 d 1 0 解析 f x 定义域为 0 又由f x 2x 2 0 解得 1 x 0或x 2 所以f x 0的解集为 2 答案 c 5 y 2xlnx在x 2处的导数为 6 y loga 2x2 1 的导数是 7 f x e2x 2x 则 2 4ln22 a 2 ex 1 8 ln x2 1 9 求y e2xcos3x的导数 解析 y 2e2xcos3x e2x 3sin3x e2x 2cos3x 3sin3x 10 已知函数y xlnx 1 求该函数的导数 2 求该函数在点x 1处的切线方程 解析 1 y x lnx lnx x 1 lnx 2 切线过点p 1 0 斜率k 1 ln1 1 切线方程是y x 1 11 求下列函数的导数 1 y 2 y sin 3 y 分析 注意中间变量的选取 分层求导 解析 1 令u 1 3x 则y u 4 yu 4u 5 ux 3 yx yu ux 12u 5 2 令u 2x 则y sinu yx yu ux cosu 2 2cos 3