高中数学 1.2.2同角三角函数的基本关系课件 新人教A版必修4.ppt

1 2 2同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系 判断 正确的打 错误的打 1 由于平方关系对任意角都成立 则sin2 cos2 1也成立 2 同角三角函数的基本关系对任意角 都成立 3 当角 的终边与坐标轴重合时 sin2 cos2 1也成立 4 在利用平方关系求sin 或cos 时 会得到正负两个值 提示 1 错误 必须是对同一个角 2 错误 sin2 cos2 1对任意角 r都成立 而只有时成立 3 正确 对任意角 式子sin2 cos2 1都成立 4 错误 其正负号由角 所在的象限决定 答案 1 2 3 4 知识点拨 解读同角三角函数的基本关系 1 同角三角函数的基本关系揭示了 同角不同名 的三角函数的运算规律 这里 同角 有两层含义 一是 角相同 二是对 任意 一个角 在使函数有意义的前提下 关系式成立与角的表达形式无关 如sin23 cos23 1 2 sin2 是 sin 2的简写 不能写成sin 2 3 在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义 如式子不成立 4 注意公式变形的灵活应用 5 在应用平方关系式求sin 或cos 时 其正负号是由角 所在的象限决定的 类型一利用同角三角函数的基本关系求值 典型例题 1 若且则tan 2 已知sin m m 1 求tan cos 解题探究 1 若 是第三象限角 如何由cos 表示sin 2 若不知 是第几象限角 则由sin 求cos 时首先需要做什么 探究提示 1 因为 是第三象限角 则2 首先应根据 所在象限对 分类讨论 解析 1 因为所以所以答案 2 1 当 1 m 1 m 0时 若 在第一 四象限 则若 在第二 三象限 则 2 若m 0 则 k k z 所以tan 0 cos 1 拓展提升 由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函数值的依据及种类 1 依据 要根据角 所在的象限 恰当选定根号前面的正负号 而在使用时 不存在符号的选取问题 2 分类 如果已知三角函数的值 且角的象限已被指定时 则只有一组解 如果已知三角函数的值 但没有指定角在哪个象限 那么由已知三角函数值确定角可能在的象限 然后再求解 这种情况一般有两组解 如果所给的三角函数值含字母 且没有指定角在哪个象限 那么就需要进行讨论 变式训练 已知 是第三象限角且tan 2 求cos 的值 解析 由tan 2知则sin2 4cos2 又因为sin2 cos2 1 所以4cos2 cos2 1 即由 在第三象限知 类型二利用同角三角函数的基本关系化简 典型例题 1 化简sin2 sin2 sin2 sin2 cos2 cos2 2 化简 解题探究 1 题1中的式子有哪两个比较明显的特点 2 sin cos 2展开式是什么 探究提示 1 每个因式都是关于 的正 余弦的平方 2 sin cos 2 1 2sin cos 解析 1 原式 sin2 1 sin2 sin2 cos2 cos2 sin2 cos2 cos2 cos2 sin2 sin2 cos2 cos2 sin2 1 答案 12 原式 互动探究 若题2改为又如何进行化简呢 解析 原式 拓展提升 利用同角三角函数的基本关系化简的标准及注意事项 1 化简的标准 第一 尽量使函数种类最少 次数最低 而且尽量化成积的形式 第二 能求出值的要求出值 第三 根号内的三角函数式尽量开出 第四 尽量使分母不含三角函数 2 注意事项 在化简三角函数时 应注意 1 的代换 如sin2 cos2 1 对于函数种类较多的式子 化简时 常用 切化弦法 变式训练 若角 的终边落在直线x y 0上 则的值等于 a 2b 2c 1d 0 解析 选d 因为 终边在直线x y 0上 所以 是第二或第四象限角 sin 与cos 异号 所以原式 0 类型三有关平方关系与商数关系的两类求值题 典型例题 1 已知则cos sin 的值等于 2 已知求下列各式的值 1 2 2sin2 sin cos 3cos2 解题探究 1 题1中cos sin 与cos sin 之间的关系是什么 2 题2中所求的式子能否转化为关于tan 的式子 方法是什么 探究提示1 cos sin 2 1 2cos sin 2 能转化为关于tan 的式子 方法是分子 分母同时除以cos 或cos2 解析 1 选b 因为所以2 1 原式 2 原式 拓展提升 1 关于sin cos 的齐次式的求值策略 1 关于sin cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin cos 的式子且它们的次数之和相同 设为n次 将分子 分母同除以cos 的n次幂 其式子可化为关于tan 的式子 再代入求值 2 若无分母时 把分母看作1 并将1用sin2 cos2 来代换 将分子 分母同除以cos2 可化为关于tan 的式子 再代入求值 2 利用sin cos 与sin cos 间的关系求值 sin cos 2 1 2sin cos sin cos 2 1 2sin cos 对sin cos sin cos sin cos 可以 知一求二 变式训练 已知求sin cos 和sin cos 的值 解析 因为所以即 所以由上知 为第二象限的角 所以sin cos 0 所以 类型四证明三角恒等式 典型例题 1 求证 2 求证 解题探究 1 证明三角恒等式常有哪些技巧 2 证明三角恒等式应遵循什么样的原则 探究提示 1 常用技巧 切化弦 整体代换 1 的代换等 2 应遵循由繁到简的原则 证明 1 左边所以原式成立 2 因为所以 拓展提升 证明三角恒等式的方法 1 遵循化繁为简的原则 可以从 左边 右边 或从 右边 左边 2 依据 等于同量的两个量相等 证明左 右两边等于同一个式子 3 依据等价转化思想 证明与原式等价的另一个式子成立 从而推出原式成立 4 也可以通过作差或作商 左边 右边 0或 变式训练 求证 2 1 sin 1 cos 1 sin cos 2 证明 因为左边 2 1 cos sin sin cos 右边 1 sin 2 2 1 sin cos cos2 1 2sin sin2 2cos 2sin cos cos2 2 1 cos sin sin cos 所以左边 右边 原等式成立 规范解答 同角三角函数的基本关系的应用 典例 条件分析 规范解答 因为所以 是第一或第二象限的角 2分若 是第一象限的角 则cos 0 tan 0 4分所以 6分 8分 若 是第二象限的角 则cos 0 tan 0 10分所以 12分 失分警示 防范措施 1 分类讨论的意识由已知三角函数值求另外的两个三角函数值时 要注意角所在的象限的讨论 如本例中角 分为第一象限角或第二象限角两种情况 2 基本关系的把握要熟练把握好同角三角函数的基本关系 如本例中欲求cos 及tan 的值 寻求建立与sin 的关系 把握好符号才能避免出错 类题试解 已知且 是第三象限的角 求sin cos 的值 解析 因为所以即cos 3sin 因为sin2 cos2 1 所以sin2 3sin 2 1 则又 是第三象限的角 所以则 1 则tan 的值为 解析 选b 因为所以 2 下列四个式子中可能成立的一个是 a b sin 0且cos 1c tan 1且cos 1d 为第二象限角 解析 选b