高中数学 4.2.1 实际问题中导数的意义配套多媒体教学优质课件 北师大版选修11.ppt

2导数在实际问题中的应用2 1实际问题中导数的意义 动画 观看 导数来源于生活 服务于生活 实际生活中 有许多问题与导数有关 我们先观看高空蹦极的动画 第0秒到第1秒这段时间内 第1秒到第2秒这段时间内 重复观看请按 观察小男孩蹦极时的平均速度变化 作蹦极时 小男孩落下的高度h 单位 m 与跳后的时间t 单位 s 存在函数关系 1 如果用小男孩在某段时间内的平均速度来描述其运动状态 那么 在0 t 1这段时间内 在1 t 2这段时间内 2 如果用小男孩在某时刻的瞬时速度来描述其运动状态 那么在t 1时的瞬时速度v1 在t 2时的瞬时速度v2 在学习过程中 有许多词语与导数有关 如物理上的功率 线速度 加速度 还有生活中常听说的降水强度 边际成本等 这节课 我们就来研究一下实际问题中导数的含义 1 理解导数在实际问题中的意义 重点 2 掌握导数的意义在实际生活中的应用 难点 探究点1导数在物理学中的应用例1 如图所示 某人拉动一个物体前进 他所做的功w 单位 j 是时间t 单位 s 的函数 设这个函数可以表示为 1 求t从1s变到3s时 功w关于时间t的平均变化率 并解释它的实际意义 2 求 并解释它们的实际意义 解 1 当t从1s变到3s时 功w从w 1 11j变到w 3 21j 此时功w关于时间t的平均变化率为 它表示从t 1s到t 3s这段时间 这个人平均每秒做功5j 2 首先求 根据导数公式和求导法则可得分别表示t 1s和t 2s时 这个人每秒做的功为7j和4j 于是 举一反三 若函数w t 变为t3 2t 1 其他问题不变 应如何求解 2 因为w t 3t2 2 所以w 1 3 2 1 j s w 2 3 22 2 10 j s w 1 w 2 分别表示t 1s和t 2s时 这个人每秒做的功为1j和10j 探究点2降雨强度与导数 在气象学中 通常把在单位时间 如1时 1天等 内的降雨量称作降雨强度 它是反映一次降雨大小的一个重要指标 常用的单位是毫米 天 毫米 小时 例2下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据 显然 降雨量y是时间t的函数 用y f t 表示 1 分别计算当t从0变到10 从50变到60时 降雨量y关于时间t的平均变化率 比较它们的大小 并解释它们的实际意义 2 假设得到降雨量y关于时间t的函数的近似表达式为f t 求并解释它的实际意义 解 1 当t从0变到10时 降雨量y从0变到10 此时 降雨量y关于时间t的平均变化率为 它表示从0min到10min这段时间内 平均每分降雨量为1mm 当t从50变到60时 降雨量y从22变到24 此时 降雨量y关于时间t的平均变化率为 它表示从50min到60min这段时间内 平均每分降雨量为0 2mm 1 0 2 说明这次降雨过程中 刚开始的10min比后10min的雨下的大 用气象学的知识解释 0 10min这段时间的平均降雨强度是1mm min 而50 60min这段时间的平均降雨强度为0 2mm min 2 首先求导函数 根据导数公式表可得 将t 40代入f t 可得 它表示的是t 40min时降雨量y关于时间t的瞬时变化率 即降雨强度 f 40 0 25就是说t 40min这个时刻的降雨强度为0 25mm min 探究点3边际成本与导数 在经济学中 通常把生产成本y关于产量x的函数y f x 的导函数称为边际成本 边际成本指的是当产量为x0时 生产成本的增加速度 也就是当产量为x0时 每增加一个单位的产量 需要增加个单位的成本 例3 建造一幢面积为xm2的房屋需要成本y万元 y是x的函数 1 当x从100变到120时 建筑成本y关于建筑面积x的平均变化率是多少 它代表什么实际意义 2 求并解释它的实际意义 解 1 当x从100变到120时 建筑成本y关于建筑面积x的平均变化率为 它表示建筑面积从100m2增加到120m2的过程中 每增加1m2的建筑面积 建筑成本平均约增加1050元 2 首先求 利用导数公式表和导数的运算法则可知 表示当建筑面积为100m2时 成本增加的速度为1050元 m2 也就是说当建筑面积为100m2时 每增加1m2的建筑面积 成本就要增加1050元 变式练习 某种产品的总成本c 万元 与产量q 万件 之间的函数关系 即总成本函数 为 试问当生产水平为q 10 万件 时 从降低成本角度看 继续提高产量是否合适 解析 当q 10时的总成本为 所以单位产品的成本 单位成本 为 因此在生产水平为10万件时 每增加一个产品总成本增加4元 远低于当前的单位成本 因此从降低成本角度看 应继续提高产量 提升总结 利用导数解决生活中的优化问题的解题策略通过认真阅读并理解关于实际问题的材料 建立相关数学模型 转化为利用导数这一工具能够解决的一般数学问题 其解决问题的过程就体现了转化与化归的思想 基本思路如图 a d 1 如果物体做直线运动的方程为s t 2 1 t 2 则其在t 4s时的瞬时速度为 a 12b 12c 4d 42 从时间t 0开始的ts内 通过某导体的电量 单位 c 可由公式q 2t2 3t表示 则第5s时的电流强度为 a 27c sb 20c sc 25c sd 23c s 3 某物体的运动路程是s t 4t 0 3t2 则从t 2到t 4的平均速度为 解析 2 2 4 一名工人上班后开始连续工作 生产的产品数量y 单位 g 是工作时间x 单位 h 的函数 设这个函数表示为 1 求x从1h变到4h y关于时间x的平均变化率 并解释它的实际意义 2 求 并解释它的实际意义 回顾本节课你有什么收获 1 掌握问题中导数的意义 2 明确