高中数学 3.2 第1课时 抛物线及其标准方程课件 北师大版选修21.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 1 圆锥曲线与方程 第三章 3 2抛物线 第三章 第1课时抛物线及其标准方程 1 了解抛物线的定义 抛物线的标准方程及其推导过程 能根据条件确定抛物线的标准方程 2 通过抛物线的定义的学习 加深离心率的理解 3 通过对抛物线的标准方程的学习 培养学生数形结合 分类讨论 对比的思想 本节重点 抛物线的定义及标准方程 本节难点 建立标准方程时坐标系的选取 1 叫作抛物线 点f叫作抛物线的 直线l叫作抛物线的 焦点到准线的距离 定长p 叫作抛物线的 2 抛物线y2 2px p 0 的焦点坐标是 准线方程是 平面内到定点f的距离等于到定直线l 定点不在定直线 上 的距离的点的轨迹 焦点 准线 焦准距 3 过抛物线焦点的直线与抛物线相交 被抛物线所截得的线段 称为抛物线的 4 通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴而交抛物线于a b两点的线段 称为抛物线的通径 通径 ab 的长等于 焦点弦 2p 1 对于抛物线定义的理解 可以通过以下几种途径 通过多媒体设备展示与抛物线有关的实物模型 也可让学生举出生活中与抛物线有关的物体和现象 加强数学知识与实际问题的联系 增强学生的学习兴趣 定义的实质可归纳为 一动三定 一个动点 设为m 一个定点f 抛物线的焦点 一条定直线l 抛物线的准线 一个定值 即点m到点f的距离与它到定直线l的距离之比等于1 2 利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离 这一相互转化关系会给解题带来方便 要注意灵活运用定义解题 3 在抛物线的定义中 焦点f不在准线l上 这是一个重要的隐含条件 若f在l上 则抛物线退化为一条直线 4 标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离 p 0恰恰说明定义中的焦点f不在准线l上这一隐含条件 参数p的几何意义在解题时常常用到 特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值 才易于确定焦点坐标和准线方程 5 由抛物线的定义推导出它的标准方程时 要考虑怎样选择坐标系 由定义可知直线kf是曲线的对称轴 所以把kf作为x轴可以使方程不出现y的一次项 因为抛物线kf的中点适合条件 所以它在抛物线上 因而以kf的中点为原点 就不会出现常数项 这样建立坐标系 得出的方程形式比较简单 分析 从方程形式看 求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p 因此只需一个条件即可 抛物线定义的应用 点评 求抛物线标准方程的方法 直接法 直接利用题中已知条件确定焦参数p 待定系数法 先设出抛物线的方程 再根据题中条件 确定焦参数p 当焦点位置不确定时 应分类讨论或设抛物线方程为y2 mx或x2 my 已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式 已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式 需根据四种抛物线的图象及开口方向确定 根据下列条件写出抛物线的标准方程 1 准线方程为x 1 2 焦点在x轴的正半轴上 焦点到准线的距离是2 抛物线方程的求法 点评 解法二利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离 既快捷又方便 要善于转化 设p是抛物线y2 4x上的一个动点 f为抛物线焦点 若b 3 2 求 pb pf 的最小值 点评 本题是利用抛物线的定义 即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离 从而构造出 两点间线段最短 或 点到直线垂线段最短 使问题获解 抛物线焦点弦性质 点评 证法一分直线斜率存在与不存在两种情况讨论 同学们容易忽略斜率不存在的情形 应引起重视 证法二对直线方程的设法避免了直线的斜率不存在这一情况 解答更为简洁 在学习过程中应深刻体会 如图 抛物线顶点在原点 圆x2 y2 4x 0的圆心恰是抛物线的焦点 1 求抛物线的方程 2 一直线的斜率等于2 且过抛物线焦点 它依次截抛物线和圆于a b c d四点 求 ab cd 解析 1 圆的方程为 x 2 2 y2 22 知圆心坐标为 2 0 即抛物线的焦点为f 2 0 p 4 抛物线方程为y2 8x 2 由题意知直线ad的方程为y 2 x 2 即y 2x 4 代入y2 8x 得x2 6x 4 0 设a x1 y1 d x2 y2 则x1 x2 6 ad x1 x2 p 6 4 10 又圆直径 bc 4 ab cd ad bc 10 4 6 分析 在抛物线上任取一点n 再利用两点间距离公式表示出 mn 与抛物线有关的最值问题 点评 解决与抛物线有关的最值问题时 一方面注意从几何方面观察 分析 并利用抛物线的定义解决问题 另一方面 还要注意从代数角度入手 建立函数关系 利用函数知识求解 总之 与抛物线有关的最值问题主要有两种方法 定义法 函数法 在抛物线y2 2x上求一点p 使其到直线l x y 4 0的距离最小 并求最小距离 点评 解法一应用点到直线的距离公式建立目标函数 将原问题转化为函数的最值问题 解法二转化为求与已知直线平行并且与抛物线只有一个公共点 相切 的直线与已知直线的距离 例5 求与圆 x 3 2 y2 9外切 且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程 误解 设轨迹上任意一点p x y 圆 x 3 2 y2 9的圆心a 3 0 半径r 3 设圆p的半径为r0 如图所示 ap r0 3 p到直线l x 3的距离 pp r0 3 故p的轨迹是以a 3 0 为焦点 以l x 3为准线的抛物线 其方程为y2 12x x 0 点评 错解中忽视了圆a与y轴切于原点 故y 0 x 0 也合题意 例6 求过点p 0 1 且与抛物线y2 2x只有一个公共点的直线方程 点评 本题造成错解的原因有两个 一是遗漏了直线不存在斜率的情况 只考虑了斜率存在的直线 二是方程组消元后的方程认定为二次方程 事实上 当二次项系数为零的一次方程的解也符合题意 一 选择题1 抛物线y2 20 x的焦点坐标是 a 10 0 b 5 0 c 0 10 d 0 5 答案 b 答案 a 答案 d 二 填空题4 在平面直角坐标系xoy中 若抛物线y2 4x上的点p到该抛物线的焦点的距离为6 则点p的横坐标x 答案 5 解析 设p x0 y0 抛物线y2 4x的准线x 1 则p到准线的距离为x0 1 p到焦点的距离为6 由抛物线定义得x0 1 6 x0 5 5 抛物线y2 8x的焦点f的坐标为 若p为抛物线y2 8x上一点 点m的坐标是 4 2 则 mp fp 的最小值为 答案 2 0 6 解析 y2 2 4x 所以焦点坐标为 2 0 pf 等于p点到抛物线y2 8x的准线的距离d 所以 pf pm 的最小值等于m到抛物线准线的距离d 4 2 6 三 解答题6 斜率为2的直线经过抛物线y2 4x的焦点 与抛物线相交于两点a b 求线段ab的长 解析 如图 由抛物线的标准方程可知 焦点f 1 0