高考数学总复习 第1讲 相似三角形的判定及有关性质配套课件 理 新人教A版选修41.ppt

选修4 1几何证明选讲 不同寻常的一本书 不可不读哟 1 了解平行线分线段成比例定理 2 会证明 应用直角三角形射影定理 1个重要应用射影定理的两个条件 一是直角三角形 二是斜边上的高 二者缺一不可 应用射影定理可求直角三角形的边长 面积等有关量 同时还可用于研究相似问题 比例式等问题 2点必须注意1 利用平行线分线段成比例定理解决问题时要特别注意被平行线所截的直线 找准成比例的线段 得到相应的比例式 有时需要进行适当的变形 从而得到最终的结果 2 证明等积式成立 应先把它写成比例式 找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似 若不相似 则进行线段替换或等比替换 3条必会思路1 判定三角形相似时 条件中若有一对角相等 可找另一对角相等或找夹这对角的两边成比例 2 条件中若有两边的比相等 可找夹角相等或证明另外一组对应边的比等于已知两边的比 3 条件中若有等腰三角形 可找顶角相等或找一对底角相等或两个三角形的底和腰的比对应相等 课前自主导学 1 平行线截割定理 1 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段 那么在其他直线上截得的线段 2 平行线等分线段定理的推论 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线必 3 平行线分线段成比例定理及其推论 三条平行线截两条直线 所得的对应线段 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段 平行线分线段成比例定理的推论的逆命题正确吗 如图 在 abcd中 e是bc上一点 be ec 2 3 ae交bd于f 则bf fd等于 2 相似三角形的判定定理与性质定理 1 相似三角形的判定定理 2 相似三角形的性质定理 1 rt abc中 cd是斜边ab上的高 图形中共有x个三角形与 abc相似 则x的值为 2 如图所示 c 90 a 30 e是ab的中点 de ab于e 则 ade与 abc的相似比是 3 直角三角形相似的判定定理与射影定理 1 直角三角形相似的判定定理 2 直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 已知如图 在 abc中 acb 90 cd ab于d ac 6 db 5 则ad的长为 1 相等也相等平分第三边平分另一腰成比例成比例想一想 提示 正确 如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三条边 该命题正确 填一填 2 5 核心要点研究 例1 2013 正定模拟 如图 abc中 d是ac的中点 e是bc延长线上一点 过a作ah be 连接ed并延长交ab于f 交ah于h 如果ab 4af eh 8 求df的长 审题视点 根据平行线分线段成比例定理 借助中间比例式进行转换 即可得出结果 奇思妙想 若本例中 ab 4af eh 8 求df的长 改为 hd 2df bf 3 求ab的长 如何求解 利用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式应注意 1 作出图形 观察图形及已知条件 寻找合适的比例关系 2 如果题目中没有平行线 要注意添加辅助线 可添加的辅助线可能很多 要注意围绕待证式 3 要注意 中间量 的运用与转化 例2 2012 课标全国高考 如右图 d e分别为 abc边ab ac的中点 直线de交 abc的外接圆于f g两点 若cf ab 证明 1 cd bc 2 bcd gbd 审题视点 1 根据平行线关系和圆的弦中点 得到四边形为平行四边形 从而得到线平行 再由平行线性质即得 2 根据平行转换 得到两三角形都为等腰三角形 再由角相等 即可得两三角形相似 证明 1 因为d e分别为ab ac的中点 所以de bc 又已知cf ab 故四边形bcfd是平行四边形 所以cf bd ad 而cf ad 连接af 所以四边形adcf是平行四边形 故cd af 因为cf ab 所以bc af 故cd bc 2 因为fg bc 故gb cf 由 1 可知bd cf 所以gb bd 由bc cd知 cbd cdb 由gb bd知 bgd bdg 又因为 dgb efc dbc 故 bcd gbd 1 证明三角形相似的一般思路是 先找两对内角对应相等 若只找到一个角对应相等 再判定这个角的两邻边是否对应成比例 若找不到角对应相等 就要证明三边对应成比例 2 证明线段成比例 若已知条件中没有平行线 但有三角形相似的条件 如角相等 有相等的比例式等 常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解 变式探究 如图 abc中 ab ac ad是中线 p为ad上一点 cf ab bp延长线交ac cf于点e f 求证 pb2 pe pf 审题视点 由三角形abc为直角三角形 因此可以利用射影定理 寻找边ac与ad ab之间的关系 同理可以得到边bc与bd ab之间的关系 再根据 ade dbf ade abc 得到有关比例式 最终得到所求证的结果 奇思妙想 本例已知不变 求证 ac ce bc cf 证明 cd ab adc为直角三角形 又 de ac cd2 ce ac 同理cd2 cf bc ac ce bc cf 利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影 再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化 有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式 并且注意射影定理的其他变式 变式探究 2013 江西模拟 如图 在 abc中 ad bc于d de ab于e df ac于f 求证 ae ab af ac 证明 ad bc adb为直角三角形 又 de ab 由射影定理知 ad2 ae ab 同理可得ad2 af ac ae ab af ac 经典演练提能 1 rt acb中 c 90 cd ab于d 若bd ad 1 9 则tan bcd 2 2013 江苏模拟 如图 在 abc中 de bc df ac ae ac 3 5 de 6 则bf 答案 4 3 2011 陕西高考 如图