高中数学 3.1.2 空间向量的数乘运算课件 新人教A版选修21.ppt

3 1 2空间向量的数乘运算 一 空间向量的数乘运算1 实数 与空间向量a的乘积 仍然是一个向量 称为向量的数乘运算 2 对于 a与a 当 1 0时 a与a方向 2 0时 a与a方向 3 0时 a a 相同 相反 0 3 空间向量的数乘运算满足 1 分配律 a b r 2 结合律 a r 思考 类比平面向量 空间向量的数乘运算满足 a a a r 对吗 提示 正确 类比平面向量的运算律可知 a b a 二 共线向量与共面向量 互相平行或重合 平行于 a b p xa yb 方向向 量 判断 正确的打 错误的打 1 若p xa yb 则p与a b共面 2 若p与a b共面 则p xa yb 3 若则p m a b共面 4 若p m a b共面 则 提示 1 正确 若p xa yb 则p与a b共面是正确的 是由共面向量基本定理得到的 2 不正确 当a b共线 而p与a b不共线时 p xa yb是不成立的 3 正确 是共面向量的充要条件 4 不正确 当共线 而不共线时 不成立 答案 1 2 3 4 知识点拨 1 对空间向量数乘运算的认识 1 类比平面向量 空间中任意实数 与向量a的乘积 a仍然是一个向量 所以它既有大小又有方向 大小为 a 的 倍 方向取决于 的正负 2 注意 实数与向量可以求积 但是不能进行加减运算 如 a a无意义 2 对共线向量的认识 1 两向量a b共线 平行 表示a b的两条有向线段所在的直线既可以是同一条直线 也可以是平行直线 即 两向量共线 并非一定在同一条直线上 2 共线向量定理中的实数 是唯一的 条件b 0不可忽视 否则 不唯一 3 零向量与空间任意向量均共线 3 对向量共面的充要条件及其应用的三点说明 1 空间一点p位于平面mab内的充要条件是 存在有序实数对 x y 使满足这个关系式的点p都在平面mab内 反之 平面mab内的任一点p都满足这个关系式 这个充要条件常用于证明四点共面 2 向量共面的充要条件是判断三个向量是否共面的依据 也可用来把已知共面条件转化为向量式 以便应用向量这一工具 另外 在许多情况下 可以用 若存在有序实数组 x y z 使得对于空间任意一点o 都有且x y z 1成立 则p a b c四点共面 作为判定空间中四点共面的依据 3 空间向量共面的其他判定方法 三个非零向量a b c 其中无两者共线 那么它们共面的充要条件是存在三个非零实数l m n 使la mb nc 0 类型一空间向量的数乘运算 典型例题 1 如图 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 m为a1c1与b1d1的交点 若则下列向量中与bm相等的向量是 2 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 o为ac的中点 1 化简 2 设e是棱dd1上的点 且试求x y z的值 解题探究 1 题1中与相等的向量应具备什么条件 2 如何求得2 2 中的x y z的值 探究提示 1 把用a b c表示后与其相等 2 将转化为的线性表示 比较系数即可 解析 1 选a 方法一 方法二 2 1 2 互动探究 若题1条件不变 所求问题改为 若则x y z 解析 答案 2 拓展提升 空间向量数乘运算的方法及注意点 1 空间向量的数乘运算是线性运算的一种 其实质是空间向量的加减运算 2 利用数乘运算解题时 要结合具体图形 利用三角形法则 平行四边形法则 将目标向量转化为已知向量 3 运用空间向量的数乘运算律可使运算简便 注意与实数的有关运算律区别清楚 运算律中是实数与向量的乘积 不是向量与向量的乘法运算 变式训练 如图所示 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 设分别是aa1 bc c1d1的中点 试用a b c表示向量 解题指南 将所求向量置于适当的三角形或多边形中 利用三角形法则 平行四边形法则或首尾相接的方法 将所求向量表示出来 然后化简整理 解析 1 n是bc的中点 2 m是aa1的中点 类型二空间向量共线定理的理解应用 典型例题 1 设e1 e2是空间两个不共线的向量 若且a b d三点共线 则实数k 2 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e在a1d1上 且f在对角线a1c上 且求证 e f b三点共线 解题探究 1 若空间中三点共线 可以得出什么结论 2 判断或证明三点是否共线的主要依据是什么 探究提示 1 任意两点构成的向量必共线 平行 2 主要依据是向量共线的充要条件 看是否能找到有同一端点的两向量具有a b b 0 r 的关系 若 存在 则三点共线 否则三点不共线 解析 1 a b d三点共线 e1 e2是不共线的向量 答案 1 2 设 又所以e f b三点共线 拓展提升 利用共线向量定理可解决的主要问题及方法 1 判定共线 判定两向量a b b 0 是否共线 即判断是否存在实数 使a b 2 求解参数 已知两非零向量共线 可求其中参数的值 即利用 若a b 则a b r 3 判定或证明三点 如p a b 是否共线 考察是否存在实数 使 考察对空间任意一点o 是否有 考察对空间任意一点o 是否有 变式训练 已知向量c d不共线 设向量a kc d b c k2d 若a与b共线 则实数k的值为 解析 c d不共线 c 0且d 0 a与b共线 存在实数 使得a b成立 即kc d c k2d 整理 得 k c 1 k2 d 0 c 0 d 0 解得k 1 答案 1 类型三空间向量共面定理的理解应用 典型例题 1 已知a b m三点不共线 对于平面abm外任意一点o 则 1 2 两个条件可以确定点p与点a b m一定共面的是 填序号 2 如图所示 已知四边形abcd是平行四边形 点p是abcd所在平面外的一点 连接pa pb pc pd 设点e f g h分别为 pab pbc pcd pda的重心 试用向量方法证明e f g h四点共面 解题探究 1 解答题1 判断p与a b m是否共面的依据是什么 2 解答题2的关键点是什么 探究提示 1 根据共面向量定理 看能否存在有序实数组 k 使其中 k 1 2 关键是能找到有序实数对 x y 使成立 解析 1 1 点p与点a b m共面 2 4 1 1 2 1 p与点a b m不共面 答案 1 2 分别连接pe pf pg ph并延长 交对边于点m n q r 连接mn nq qr rm e f g h分别是所在三角形的重心 m n q r是所在边的中点 且 由题意知四边形mnqr是平行四边形 由共面向量定理知 e f g h四点共面 拓展提升 利用共面向量定理需注意的问题在利用p与a b共面时 一定注意a b不能共线 而利用与a b共面则不需要a b不共线的条件 向量共面的充要条件是处理向量共面问题的主要依据 变式训练 已知a b c三点不共线 对于平面abc外一点o 若则点p是否与a b c一定共面 试说明理由 解析 p与a b c共面 理由如下 由于所以故a b c p四点共面 空间共线定理与共面向量定理的具体应用 典型例题 1 如图所示 平行六面体abcd a1b1c1d1中 m是ad1的中点 n是bd的中点 求证 mn d1c 2 如图所示 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd为等腰梯形 ab cd ab 4 cd 2 e e1 f分别是棱ad aa1 ab的中点 证明 直线ee1 平面fcc1 证明 1 m n分别是ad1 bd的中点 四边形abcd为平行四边形 连接ac 则n为ac的中点 2 根据题意ab 2cd 且同向 f是ab的中点 四边形afcd是平行四边形 e e1分别是ad aa1的中点 又不共线 根据向量共面的充要条件可知共面 ee1不在平面fcc1内 ee1 平面fcc1 拓展提升 空间中的线与线 线与面平行的向量证法 1 线线平行 根据共线定理证明两直线的方向向量平行 则两直线平行 2 线面平行 根据共面定理 证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量共面 由线线平行证得线面平行 规范解答 空间向量的线性运算 典例 条件分析 规范解答 mc 2am a1n 2nd 失分警示 防范措施 1 准确理解数乘运算在数乘运算时 一定要明确数乘运算的含义 知道数乘向量 a与向量a的关系 同时注意共线向量定理的应用 2 熟练进行空间向量的线性运算向量的加减与数乘运算称为向量的线性运算 在进行空间向量的线性表示时 要熟悉向量运算的平行四边形和三角形法则以及向量加法的多边形法则 如本例中 处的运算 就充分体现了该点 类题试解 如图 在三棱锥o abc中 点e在oa上 且f为bc的中点 用向量a b c表示向量 解析 方法一 f为bc的中点 方法二 f为bc的中点 1 已知两非零向量e1 e2不共线 设a e1 e2 r且 2 2 0 则 a a e1b a e2c a与e1 e2共面d 以上三种情况均有可能 解析 选d 当 0 0时 a e2 则a e2 当 0 0时 a e1 则a e1 当 0 0时 a与e1 e2共面 2 在下列条件下 使m与a b c一定共面的是 解析 选c c中故m a b c四点共面 3 若e1 e2不共线 则下列各组中的两个向量a b共线的是 解析 选c 令a b 求 的值 若 的值存在 则a与b共线 否则两个向量不共线 选项c中有b 6a 4