高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第七章 第三节圆的方程课件 理.ppt

第三节圆的方程 第七章 例1 根据下列条件 求圆的方程 1 和圆x2 y2 4相外切于点p 1 且半径为4 2 经过坐标原点和点p 1 1 并且圆心在直线2x 3y 1 0上 3 已知一圆过p 4 2 q 1 3 两点 且在y轴上截得的线段长为4 求圆的方程 思路点拨 在用待定系数法求圆的方程时 若已知条件与圆心 半径有关 则设圆的标准方程 若已知条件与圆心 半径的关系不大 则设圆的一般方程 自主解答 得圆心c的坐标为 4 3 又圆的半径r oc 5 所求圆的方程为 x 4 2 y 3 2 25 3 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 将p q两点的坐标分别代入 得 令x 0 由 得y2 ey f 0 由已知 y1 y2 4 其中y1 y2是方程 的两根 y1 y2 2 y1 y2 2 4y1y2 e2 4f 48 解由 组成的方程组 得 故所求圆的方程为x2 y2 2x 12 0或x2 y2 10 x 8y 4 0 点评 无论是圆的标准方程或是圆的一般方程 都有三个待定系数 因此求圆的方程 应有三个条件 一般地 已知圆心或半径的条件 选用标准式 否则选用一般式 1 1 圆心在直线y 4x上 且与直线l x y 1 0相切于点p 3 2 则该圆的标准方程是 2 已知圆c的圆心与点m 1 1 关于直线x y 1 0对称 并且圆c与x y 1 0相切 则圆c的方程为 变式探究 解析 1 过切点p 3 2 且与直线x y 1 0垂直的直线方程为y 2 x 3 与y 4x联立可得圆心为 1 4 所以半径r 2 所求圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 2 所求圆的圆心为 2 2 设圆的方程为 x 2 2 y 2 2 r2 r 0 则圆心 2 2 到直线x y 1 0的距离为r 答案 1 x 1 2 y 4 2 8 2 x 2 2 y 2 2 圆的综合问题 例2 已知圆c1的圆心在坐标原点o 且恰好与直线l1 x y 2 0相切 1 求圆的标准方程 2 设点a x0 y0 为圆上任意一点 an x轴于n 若动点q 满足 其中m n 1 m n 0 m为常数 试求动点q的轨迹方程c2 解析 1 设圆的半径为r 圆心到直线l1的距离为d 则r d 2 所以圆c1的方程为x2 y2 4 2 设动点q x y a x0 y0 an x轴于n 则n x0 0 由题意 x y m x0 y0 n x0 0 点评 求与圆有关的轨迹方程时 常用以下方法 1 直接法 根据题设条件直接列出方程 2 定义法 根据圆的定义写出方程 3 几何法 利用圆的性质列方程 4 代入法 找出要求点与已知点的关系 代入已知点满足的关系式 变式探究 2 如图 抛物线m y x2 bx b 0 与x轴交于o a两点 交直线l y x于o b两点 经过三点o a b作圆c 求证 1 当b变化时 圆c的圆心在一条定直线上 2 圆c经过除原点外的一个定点 证明 1 易得o 0 0 a b 0 b 1 b 1 b 设圆c的方程为x2 y2 dx ey 0 故经过三点o a b的圆c的方程为x2 y2 bx b 2 y 0 设圆c的圆心坐标为 x0 y0 则x0 所以y0 x0 1 这说明当b变化时 圆c的圆心在定直线y x 1上 2 设圆c过定点 m n 则m2 n2 bm b 2 n 0 整理得 m n b m2 n2 2n 0 因为它对任意实数b 0恒成立 所以 故当b变化时 圆c经过除原点外的一个定点 其坐标为 1 1 与圆有关的最值问题 解析 1 法一 设t x y 则y x t t可视为直线y x t的纵截距 所以x y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值 即直线与圆相切时的纵截距 由直线与圆相切得 圆心到直线的距离等于半径 2 可视为点 x y 与原点连线的斜率 的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点的斜率的最大值和最小值 即直线与圆相切时的斜率 设过原点的直线的方程为y kx 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径 可视为点 x y 到定点 1 2 的距离的最值 可转化为圆心 2 3 到定点 1 2 的距离与半径的和或差 又因为圆心到定点 1 2 点评 求与圆有关的最值问题要善于挖掘某些代数式的几何意义 从而将代数问题转化为几何问题求解 涉及圆的最值的问题主要有三种类型 1 截距型 ax by t 其本质是动直线的截距变化问题 可用例题中第 1 题的方法求解 2 斜率型 k 其本质是动直线的斜率变化问题 可用例题中第 2 题的方法求解 3 距离型 x a 2 y b 2 s 其本质是定点到圆上的点的距离问题 可用例题中第 3 题的方法求解 变式探究 3 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求y x的最大值和最小值 2 求x2 y2的最大值和最小值 解析 法一 原方程可化为 x 2 2 y2 3 表示以点 2 0 为圆心 为半径的圆 1 y x可看作是直线