高中数学 2.8函数图象及其变换配套课件 理 新人教A版.ppt

第八节函数图象及其变换 三年6考高考指数 1 掌握绘制函数图象的一般方法 2 掌握函数图象变化的一般规律 3 能利用函数图象研究函数的性质 1 以选择题 填空题的形式考查函数图象的平移 对称 伸缩变换 2 以考查图象为主 同时考查数形结合思想在解题中的应用 1 函数图象变换中的平移变换 1 y f x y f x a 2 y f x y f x b 3 y f x y f x a 4 y f x y f x b 注 平移变换口诀 左加右减 上加下减 1 思考 如何理解函数y f x a a 0 的图象可由函数y f x 的图象向左平移a个单位得到 提示 设 x0 y0 为y f x 图象上的点 则y0 f x0 f x0 a a x0 a y0 在函数y f x a 的图象上 而点 x0 a y0 显然是由 x0 y0 向左平移a个单位得到的 函数y f x a a 0 的图象可由函数y f x 的图象向左平移a个单位得到 即时应用 2 把函数y f x 的图象向左 向下分别平行移动2个单位长度 得到函数y 2x的图象 则f x 解析 由题意 函数y 2x的图象向右 向上分别平移2个单位即得y f x 的图象 f x 2x 2 2 答案 2x 2 2 3 为了得到函数y 3 x的图象 可以把函数y x的图象向 平移 个单位长度 解析 y 3 x x 1 把函数y x的图象向右平移1个单位长度即可得到函数y 3 x的图象 答案 右1 4 为了得到函数y 的图象 只需把函数y lgx的图象上所有的点向 平移3个单位长度 再向 平移1个单位长度 解析 y lg x 3 lg10 lg x 3 1 可知其图象是由y lgx的图象先向左平移3个单位长度 再向下平移1个单位长度而得到 答案 左下 2 函数图象变换中的对称变换 1 y f x 与y f x 的图象关于 轴对称 2 y f x 与y f x 的图象关于 轴对称 3 y f x 与y f x 的图象关于 对称 4 y f x 的图象可将y f x 的图象在x轴下方的部分折到x轴的上方得到 5 y f x 的图象 可先作出y f x 当x 0的图象 再利用偶函数的图象关于y轴对称 作出y轴左边图象 整体即为y f x 的图象 x y 原点 1 已知函数y ax与y logax a 0 a 1 判断下面说法是否正确 请在括号内填 或 两者的图象关于直线y x对称 前者的定义域 值域分别是后者的值域 定义域 两函数在各自定义域内的单调性相同 y ax的图象经过平移可得到y logax的图象 即时应用 2 函数y ex的图象与y ex的图象关于 对称 与y e x的图象关于 对称 3 函数f x 的图象关于 对称 解析 1 指数函数y ax和对数函数y logax a 0 a 1 互为反函数 二者的图象关于直线y x对称 前者的定义域 值域分别是后者的值域 定义域 两函数在各自定义域内的单调性相同 但二者无法通过平移得到另一个 2 y ex与y ex的图象关于x轴对称 将y换成 y即可得证 y ex与y e x的图象关于原点对称 将 x y 换成 x y 即可得证 3 方法一 函数的定义域为r f x f x 是偶函数 图象关于y轴对称 方法二 函数的定义域为r f x 2x 2 x 有f x 2 x 2x f x 所以函数f x 的图象关于y轴对称 答案 1 2 x轴原点 3 y轴 3 函数图象变换中的伸缩变换 横坐标不变纵坐标变为原来的a倍 横坐标变为原来的倍纵坐标不变 1 思考 函数y f x a 与y f b x 的图象的对称关系如何 提示 设 x0 y0 为y f x a 图象上的点 则y0 f x0 a f b b a x0 b a x0 y0 在函数y f b x 上 又 x0 y0 与 b a x0 y0 关于x 对称 则函数y f x a 与y f b x 的图象关于x 对称 即时应用 2 判断下列函数的图象通过平移或翻折后是否能与函数y 的图象重合 请在括号内填 是 或 否 y 2 x y 2log4x y y 1 解析 的图象关于直线y x的对称图象即可与其重合 的图象关于x轴的对称图象即可与其重合 中 作y 1 log2x 1的图象再向上平移1个单位即可与其重合 不能通过平移或翻折与y 重合 答案 是 是 否 是 3 已知f x x 1 若f x 1 的图象关于直线x 2的对称图象对应的函数为g x 则g x 解析 f x 1 即y x 2 设e x y 为g x 的图象上的任意一点 e关于直线x 2对称的点为e 4 x y 则e 在y x 2的图象上 y 4 x 2 即g x 6 x 答案 6 x 函数图象的作法 方法点睛 1 作函数图象的一般步骤 1 求出函数的定义域 2 化简函数解析式 3 讨论函数的性质 如单调性 奇偶性 周期性等 以及图象上的特殊点 线 4 借助基本初等函数的图象画出所给函数的图象 2 作复杂函数图象的一般思路作一些复杂函数的图象 首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来 一般是先作出基本函数的图象 再通过平移 对称 翻折等方法 得出所求函数的图象 提醒 作函数图象必须标明特殊点 分段函数的作图要各段分开作 并注意连结点是否在定义域内 例1 作出下列函数的图象 1 y 2 y 3 y log2x 1 4 y 2 x 1 解题指南 先搞清各个函数与基本函数之间的关系 然后利用图象变换画出函数图象 规范解答 1 化简解析式可得y 利用二次函数的图象作出其图象 如图 1 2 y 1 将y 的图象向右平移1个单位 得到y 的图象 再将y 的图象向上平移1个单位 得到y 的图象 如图 2 3 将y log2x的图象向下平移1个单位得到y log2x 1的图象 将y log2x 1在x轴下方的图象翻折到上方 得到y log2x 1 的图象 如图 3 4 先作出y 2x的图象 再将其图象在y轴左边的部分去掉 并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象得到y 2 x 的图象 再向右平移1个单位得到y 2 x 1 的图象 如图 4 互动探究 如果将本例 3 变为y log2 x 1 请作出其图象 解析 作出y log2x的图象 然后向右平移1个单位得到y log2 x 1 的图象 再将该图象在x轴下方的图象翻折到x轴上方 可得到y log2 x 1 的图象 如图实线部分 反思 感悟 1 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性 也应避免盲目地连点成线 要把表列在关键处 要把线连在恰当处 这就要求对所要画的图象的存在范围 大致特征 变化趋势等进行一个大概的研究 而这个研究要借助于函数性质 方程 不等式等理论和手段 2 用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换 以及确定怎样的变换 3 函数解析式与函数图象的关系 函数图象上任意一点的坐标 x y 都满足函数解析式y f x 满足函数解析式y f x 的点 x y 都在函数图象上 变式备选 作出下列函数的图象 1 y x x2 2 y x2 x 3 y 10 lgx 4 y log2 x 1 解析 1 y 即其图象如图 实线所示 2 y 其图象如图 实线所示 3 当x 1时 lgx 0 y 10 lgx 10lgx x 当0 x 1时 lgx 0 y 10 lgx 10 lgx 所以这是分段函数 每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出 如图 实线所示 4 作y log2x的图象c1 然后将c1向左平移1个单位 得到y log2 x 1 的图象c2 再把c2位于x轴下方的图象作关于x轴对称的图象 即为所求图象c3 y log2 x 1 如图 实线所示 函数图象的判断 方法点睛 判断函数图象的五个重要的着眼点 1 两域函数在哪些象限有图象 由此得出函数的定义域及值域 哪些区间为正值 哪些区间为负值等 2 奇偶性 对称性 由函数图象的对称性 y轴 原点对称 可得出函数的奇偶性 3 单调性从左往右看 由图象上升或下降 就可得出其单调性 4 图象的变化趋势可以看出函数的渐近线 进而可考虑函数的某些参数 5 特殊点 线 函数都有特殊点 线 如顶点 最高点 最低点 与x y轴的交点 间断点 对称中心等 特别是指数 对数函数中的定点 例2 函数y f x 与函数y g x 的图象如图 函数y f x g x 的图象可能是 解题指南 可根据函数的奇偶性 函数值或用排除法判断 规范解答 选a 方法一 从f x g x 的图象可知它们分别为偶函数 奇函数 故f x g x 是奇函数 排除b 又x 0时 g x 为增函数且为正值 f x 也是增函数 故f x g x 为增函数 且正负取决于f x 的正负 注意到x 时 f x 0 则f g 必等于0 排除c d 故选a 方法二 函数y f x g x 的定义域是函数y f x 与y g x 的定义域的交集 g x 的图象不经过坐标原点 故可以排除c d 由于当x 0 时f x 0且g x 0 故f x g x 0 排除b 故选a 反思 感悟 要正确判断一个函数图象的大致形状 首先要研究函数的定义域 值域 单调性 对称性 奇偶性等性质 其次通过这些性质判断函数图象的大致轮廓 要敏锐地观察图象的特殊点 提取有用信息 在高考的选择题中 常采用特殊值法进行排除 变式训练 1 如果函数y a x a 0 a 1 是减函数 那么函数f x 的图象大致是 解析 选c 方法一 由函数y a x 为减函数 得0 1 函数y loga x 1 的图象可由y 向左平移一个单位得到 故选c 方法二 函数y a x a 0 a 1 是减函数 a 1 函数f x 为减函数 可排除b d 又点 0 0 适合f x 故选c 2 在下列图象中 二次函数y ax2 bx与指数函数y 的图象只可能是 解析 选a 由选项中指数函数图象可以看出0 1 方法一 抛物线方程是y 其顶点坐标为 又由0 1 可得 0 观察选项 可选a 方法二 求y ax2 bx与x轴的交点 令ax2 bx 0 解得x 0或x 而 1 0 故选a 变式备选 函数y 2x x2的图象大致是 解析 选a 方法一 当x 0时 y 2x单调递增 而y x2单调递减 所以y 2x x2在 0 上是单调递增的 故排除c d两项 又当x 2或4时 2x x2 0 所以排除b项 故选a 方法二 当x 2时 2x x2 4 0 故排除c d两项 又当x 2或4时 2x x2 0 所以排除b项 故选a 函数图象的应用 方法点睛 1 可用构造函数 数形结合等方法研究方程根的分布或根的个数问题 1 f x g x 的根是y f x 与y g x 的图象交点的横坐标 2 f x g x 的解集从两函数图象上也能直观反映出来 解集是y f x 在y g x 图象上方的x的集合 交点坐标要通过解方程来求得 2 函数图象主要涉及三方面的问题 1 作图 主要应用描点法 图象变换法以及结合函数的性质等方法 2 识图 要能从图象的分布范围 变化趋势 对称性等方面来研究函数的定义域 值域 单调性 奇偶性及周期性等性质 3 用图 是函数图象的最高境界 图象的应用涉及函数的大部分问题 如求值域 单调区间 参数的范围以及判断非常规方程解的个数等 这也是数形结合思想在数学中的重要体现 提醒 有些不等式问题常转化为两函数图象的上 下关系来解 方程解的个数常转化为两函数图象的交点个数问题来求解 例3 已知函数f x x2 4x 3 1 求函数f x 的单调区间 并指出其增减性 2 若关于x的方程f x a x至少有三个不等实根 求实数a的取值范围 解题指南 化简f x 并作出f x 的图象 1 由图象确定单调区间 2 方程f x a x的根的个数等价于y f x 与y x a的交点的个数 所以可以借助图象进行分析 规范解答 f x 作出图象如图所示 1 递增区间为 1 2 3 递减区间为 1 2 3 2 原方程变形为 x2 4x 3 x a 于是 设y x a 在同一坐标系下再作出y x a的图象 如图 则当直线y x a过点 1 0 时 a 1 当直线y x a与y x2 4x 3相切时 由 x2 3x a 3 0 由 9 4 3 a 0 得a 由图象知当a 1 时方程至少有三个不等实根 反思 感悟 函数的图象形象显示了函数的性质 如单调性 奇偶性 最值等 为研究数量关系提供了 形 的直观性支持 它是探究解题途径 获得问题思路 检验解答是否正确的重要工具 如今的高考更加突出 多一点想 少一点算 要注意运用函数图象去分析解决问题 这样可以少走一些弯路 变式训练 1 2012 黄冈模拟 偶函数f x 满足f x 1 f x 1 且在x 0 1 时 f x x2 则关于x的方程f x x在 0 上根的个数是 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选c 由f x 1 f x 1 知f x 是周期为2的偶函数 故当x 1 1 时 f x x2 由周期为2可以画出图象 结合y x的图象可知 方程f x x在x 0 上有三个根 2 2012 桂林模拟 已知函数f x log3 ax b 的部分图象如图所示 1 求f x 的解析式与定义域 2 函数f x 能否由y log3x的图象平移变换得到 3 求f x 在 4 6 上的最大值 最小值 解析 1 由图象中a b两点坐标得解得故f x log3 2x 1 定义域为 2 可以 由f x log3 2x 1 log3 2 x log3 x log32 f x 的图象是由y log3x的图象向右平移个单位 再向上平移log32个单位得到的 3 最大值为f 6 log311 最小值为f 4 log37 变式备选 1 在同一平面直角坐标系中 函数y f x 和y g x 的图象关于直线y x对称 现将y g x 的图象沿x轴向左平移 个单位 再沿y轴向上平移 个单位 所得的图象是由两条线段组成的折线 如图所示 则函数f x 的表达式为 a b c d 解析 选a 方法一 将图象沿y轴向下平移 个单位 再沿x轴向右平移 个单位得图象如图所示 从而可以得到g x 的图象 故g x 函数y f x 和y g x 的图象关于直线y x对称 方法二 将已知图形中折线段的端点 0 1 2 0 3 2 向下平移1个单位端点为 0 2 2 1 3 1 再向右平移2个单位端点为 2 2 4 1 5 1 关于直线y x对称后折线段端点为 2 2 1 4 1 5 易得答案为a 2 如图放置的边长为1的正方形pabc沿x轴滚动 设顶点p x y 的纵坐标与横坐标的函数关系是y f x 则f x 的最小正周期为 y f x 在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为 解析 正方形pabc沿x轴滚动 包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动 沿x轴正方向滚动是指以顶点a为中心顺时针旋转 当顶点b落在x轴上时 再以顶点b为中心顺时针旋转 如此继续 类似地 正方形pabc可以沿着x轴负方向滚动 点p在一个周期内的运行轨迹如图所示 y f x 的最小正周期为4 y f x 在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为扇形pp a 扇形p bp 扇形p cp 与rt p ab rt bp c的面积之和 既 12 2 12 2 1 1 1 答案 4 1 3 已知函数f x x m x x r 且f 4 0 1 求实数m的值 2 作出函数f x 的图象 3 根据图象写出f x 的单调递减区间 4 根据图象写出不等式f x 0的解集 5 求当x 1 5 时函数的值域 解析 1 f 4 0 4 m 4 0 即m 4 2 f x x 4 x f x 的图象如图所示 3 f x 的单调递减区间是 2 4 4 由图象可知 f x 0的解集为 x 0 x 4或x 4 5 f 5 5 4 由图象知 函数在 1 5 上的值域为 0 5 创新探究 函数图象的创新问题 典例 2011 天津高考 对实数a和b 定义运算 ab 设函数f x x2 2 x x2 x r 若函数y f x c的图象与x轴恰有两个公共点 则实数c的取值范围是 a 2 1 b 2 1 c 1 d 1 解题指南 根据新定义 得出f x 的解析式 数形结合平移图象即可 规范解答 选b f x 作出图象如图所示 观察图象特点及图象平移可知要使y f x c与x轴恰有两个公共点 则 1 c 或c 2 所以选项b正确 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 我们可以得到以下创新点拨和备考建议 1 2012 柳州模拟 已知函数y log2x的反函数是y f 1 x 则函数y f 1 1 x 的图象是 解析 选c y log2x的反函数为y 2x 则f 1 1 x 21 x x 1 即将y x的图象向右平移一个单位 故选c 2 201