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1 2 2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 二 1 基本初等函数的导数公式 2 导数的运算法则 1 f x g x f x g x 2 f x g x f x g x f x g x 思考 如何求函数y 3x 2 的导数呢 我们无法用现有的方法求函数y x 2 的导数 下面 我们先分析这个函数的结构特点 若设u 3x 2 则y lnu 即y 3x 2 可以看成是由y lnu和u 3x 2经过 复合 得到的 即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数 如果把y与u的关系记作y f u u与x的关系记作u g x 复合过程可表示为y f u f g x ln 3x 2 如函数y 2x 3 2 是由y u2和u 2x 3复合而成的 一般地 对于两个函数y f u 和u g x 如果通过变量u y可以表示成x的函数 那么称这个函数为函数y f u 和u g x 的复合函数 记做y f g x 复合函数y f g x 的导数和函数y f u u g x 的导数间的关系为 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 问题解答 由此可得 y 3x 2 对x的导数等于y u对u的导数与u 3x 2对x的导数的乘积 即 例1 说出下列函数分别由哪几个函数复合而成 点拨 找复合关系一般是从外向里分析 每层的主体为基本初等函数 最里层应为关于x的基本函数 解 函数的复合关系分别是 1 y um u a bxn 例2 求y ln 2x 3 的导数 分析 复合函数求导三步曲 第一步 分层 从外向内分解成基本函数用到中间变量 第二步 层层求导 将分解所得的基本函数进行求导 第三步 作积还原 将各层基本函数的导数相乘 并将中间变量还原 例3 已知函数f x 是偶函数 f x 可导 求证 f x 为奇函数 证法一 由于f x 是偶函数 故f x f x 对f x f x 两边取x的导数 则f x x f x 即f x f x 因此f x 为奇函数 f x 所以f x 为奇函数 类似的结论是 若奇函数f x 是可导函数 则f x 是偶函数 1 函数y 3x 4 2的导数是 a 4 3x 2 b 6xc 6x 3x 4 d 6 3x 4 解析 y 3x 4 2 2 3x 4 3 6 3x 4 答案 d 随堂练习 2 函数y 2sin3x的导数是 a 2cos3xb 2cos3xc
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