高三数学二轮总复习 21函数与方程思想、数形结合思想 理.ppt

第1讲函数与方程思想 数形结合思想 一 函数与方程思想 思想概述 函数与方程是中学数学的重要概念 它们之间有着密切的联系 函数与方程的思想是中学数学的基本思想 主要依据题意 构造恰当的函数 或建立相应的方程来解决问题 是历年高考的重点和热点 方程的思想与函数的思想密切相关 方程f x 0的解就是函数y f x 的图象与x轴的交点的横坐标 函数y f x 也可以看作二元方程f x y 0 通过方程进行研究 方程f x a有解 当且仅当a属于函数f x 的值域 函数与方程的这种相互转化关系十分重要 函数与方程的思想在解题中的应用可从以下几个方面思考 1 函数与不等式的相互转化 对函数y f x 当y 0时 就转化为不等式f x 0 借助于函数的图象和性质可解决有关问题 而研究函数的性质也离不开不等式 2 数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数 用函数的观点去处理数列问题十分重要 数列也可用方程思想求解 3 1 解析几何中的许多问题 需要通过解二元方程组才能解决 这都涉及二次方程与二次函数的有关理论 2 立体几何中有关线段 角 面积 体积的计算 经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决 建立空间直角坐标系后 立体几何与函数的关系更加密切 类型讲解 类型一函数方程思想在不等式恒成立 函数零点问题中的应用 例1 已知函数f x ex ax 其中a 0 1 若对一切x r f x 1恒成立 求a的取值集合 2 在函数f x 的图象上取定两点a x1 f x1 b x2 f x2 x1 x2 记直线ab的斜率为k 证明 存在x0 x1 x2 使f x0 k成立 1 解f x ex a 令f x 0 得x lna 当x lna时 f x 0 当x lna时 f x 0 f x 在 lna 上是减函数 在 lna 上是增函数 故当x lna时 f x 取最小值f lna a alna 于是对一切x r f x 1恒成立 当且仅当a alna 1 令g t t tlnt 则g t lnt 当0 t 1时 g t 0 g t 单调递增 当t 1时 g t 0 g t 单调递减 故当t 1时 g t 取最大值g 1 1 因此 当且仅当a 1时 式成立 综上所述 a的取值集合为 1 规律方法 1 本题求解的关键在于恰当构造函数 第 1 问中x r 恒有f x 1 转化为求函数f x min 1 第 2 问中对于a alna 1 构造函数 求a alna最大值为1 从而把不等式 转化为方程 第 3 问中在第 2 问中判定 x1 x2 符号 构建函数f t et t 1 利用单调性加以确定 抓住函数这一灵魂 找到解题的利器 2 题目综合考查导数 斜率公式 函数的零点 不等式等基础知识 灵活利用函数方程思想 有效实施方程 不等式 函数之间的相互转化 规律方法 1 等差 等比数列中 通项公式 前n项和公式 可以看成n的函数 可以用函数方法解决 2 而数列求值问题的实质是解方程 所以 方程思想在数列问题中也有着重要的作用 规律方法 关于定点 定值问题 一般来说 从两个方面来解决问题 1 从特殊入手 求出定点 定值 再证明这个点 值 与变量无关 2 直接推理计算 并在计算过程中消去变量 从而得到定点 值 二 数形结合思想 思想概述 数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言有机结合 达到抽象思维和形象思维的和谐统一 通过对规范图形或示意图形的观察分析 化抽象为直观 化直观为精确 从而使问题得到解决 数形结合包含 以形助数 和 以数辅形 两个方面 其应用大致可以分为两种情形 一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系 即以形作为手段 数作为目的 比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质 二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性 即以数作为手段 形作为目的 如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 在运用数形结合思想分析和解决问题时 要注意三点 1 要彻底明白一些概念和运算法则的几何意义以及曲线的代数特征 对题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义 2 选择好突破口 恰当设参 合理用参 建立关系 由数思形 以形想数 做好数形转化 3 挖掘隐含条件 准确界定参数的取值范围 参数的范围决定图形的范围 数形结合思想是重要的思维方式 在高考中占有非常重要的地位 近几年的高考题中的曲线方程问题 函数与不等式问题 参数范围问题 可行域与目标函数最值 向量两重性等 都用到了数形结合的思想方法 它不仅是我们解题的一种思想