高中数学 6.7数学归纳法课件 理 新人教A版.ppt

第七节数学归纳法 三年3考高考指数 1 归纳 猜想 证明仍是高考的重点 2 常与函数 数列 不等式 平面几何等知识结合 在知识交汇处命题 3 题型以解答题为主 难度中等偏上 1 数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 证明当n取 时命题成立 这一步是归纳奠基 第一个值n0 n0 n 2 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当 时命题也成立 这一步是归纳递推 完成这两个步骤 就可以断定命题对 n k 1 从n0开始的所有正整 数n都成立 即时应用 判断下列各说法是否正确 请在括号中填写 或 1 用数学归纳法验证第一个值n0 则n0必定为1 2 数学归纳法的两个步骤是缺一不可的 3 应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时 第一步是检验n等于3 4 用数学归纳法证明 1 2 22 2n 2 2n 3 1 时 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 解析 1 错误 有些数学归纳法证明题 第一步验证初始值不是1 可能为2 3 4等 2 正确 数学归纳法的两个步骤缺一不可 第一步是归纳奠基 第二步是归纳递推 3 正确 第一步检验n 3 即三角形的对角线条数为0 4 错误 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 23 答案 1 2 3 4 2 数学归纳法的框图表示 n k 1时命题也成立 正整数n 所有的 即时应用 1 已知n为正偶数 用数学归纳法证明时 若已假设n k k 2且k为偶数 时命题为真 则还需要用归纳假设再证n 时等式成立 2 凸k边形的内角和为f k 则凸k 1边形的内角和为f k 1 f k 解析 1 因为假设n k k 2且k为偶数 故下一个偶数为k 2 2 从k边形到k 1边形 实际是多了一个三角形 故内角和比k时多 即f k 1 f k 答案 1 k 2 2 用数学归纳法证明等式 方法点睛 用数学归纳法证明等式的规则 1 数学归纳法证明等式要充分利用定义 其中两个步骤缺一不可 缺第一步 则失去了递推基础 缺第二步 则失去了递推依据 2 证明等式时要注意等式两边的构成规律 两边各有多少项 并注意初始值n0是多少 同时第二步由n k到n k 1时要充分利用假设 不利用n k时的假设去证明 就不是数学归纳法 例1 2012 烟台模拟 是否存在常数a b c 使得等式 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 an4 bn2 c对一切正整数n都成立 若存在 求出a b c的值 若不存在 说明理由 解题指南 本题是开放式 存在性的问题 一般是先假设存在 利用特值求得a b c的值 而后用数学归纳法证明 规范解答 假设存在a b c使得所给等式成立 令n 1 2 3代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 对一切正整数n都成立 1 当n 1时 由以上可知等式成立 2 假设当n k时 等式成立 即 k2 12 2 k2 22 k k2 k2 则当n k 1时 k 1 2 12 2 k 1 2 22 k k 1 2 k2 k 1 k 1 2 k 1 2 k2 12 2 k2 22 k k2 k2 2k 1 2 2k 1 k 2k 1 由 1 2 知 等式对一切正整数n都成立 反思 感悟 1 对于开放式的与n有关的等式证明问题 一般是先假设结论成立 利用n的前几个取值求参数 而后用数学归纳法证明 2 在使用数学归纳法的第二步进行证明时 事实上 归纳假设 已经成了已知条件 n k 1时结论正确 则是求证的目标 可先用分析法的思路 借助已学过的公式 定理或运算法则进行恒等变形 把待证的目标拼凑出归纳假设的形式 再把运用归纳假设后的式子进行变形 证明 变式训练 已知n n 证明 证明 1 当n 1时 左边 右边 等式成立 2 假设当n k k n 时等式成立 即有 那么当n k 1时 左边 所以当n k 1时等式也成立 综合 1 2 知对一切n n 等式都成立 用数学归纳法证明不等式问题 方法点睛 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 应用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 证明时用上归纳假设后 可采用分析法 综合法 求差 求商 比较法 放缩法等证明 例2 2012 襄阳模拟 由下列不等式 你能得到一个怎样的一般不等式 并加以证明 解题指南 由已知条件不难猜想到一般不等式 关键是证明 证明时由n k到n k 1时可采用放缩法 规范解答 根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式 即一般不等式为 用数学归纳法证明如下 1 当n 1时 猜想成立 2 假设当n k时 猜想成立 即 则当n k 1时 即当n k 1时 猜想也正确 所以对任意的n n 不等式都成立 反思 感悟 1 本例在由n k到n k 1这一步变化中 不等式左边增加了即增加了2k项 这一点很关键 若项数写不正确 该题的证明将无法正确得出 2 当n k 1时的证明中采用了放缩法 即将已知式子分母变大 从而所得结果变小 顺利地与要证的式子接轨从而得以证明 此种方法是证明不等式的常用方法 应用时要注意是放大还是缩小 变式训练 证明不等式 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 2 不等式成立 2 假设当n k k n 时 不等式成立 即那么当n k 1时 方法一 分析法要证只需证因为0 1显然成立 所以 方法二 综合法 放缩法 方法三 综合法 基本不等式法 这就是说 当n k 1时 不等式也成立 由 1 2 可知 原不等式对任意正整数n都成立 归纳 猜想 证明类问题 方法点睛 归纳 猜想 证明类问题的解题步骤 1 利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题 存在性问题 其基本模式是 归纳 猜想 证明 即先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性 2 归纳 猜想 证明 的基本步骤是 试验 归纳 猜想 证明 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题 例3 2012 南京模拟 已知数列 an 满足sn an 2n 1 1 写出a1 a2 a3 并推测an的表达式 2 用数学归纳法证明所得的结论 解题指南 1 利用sn a1 a2 an 且sn an 2n 1 代入n 1 2 3得a1 a2 a3 从而猜想an 2 应用数学归纳法证明时 要利用n k的假设去推证n k 1时成立 规范解答 1 将n 1 2 3分别代入可得 2 由 1 得n 1时 命题成立 假设n k时 命题成立 即那么当n k 1时 a1 a2 ak ak 1 ak 1 2 k 1 1 且a1 a2 ak 2k 1 ak 2k 1 ak 2ak 1 2 k 1 1 2k 3 即当n k 1时 命题也成立 根据 得 对一切n n 都成立 互动探究 若本例中sn an 2n 1变为sn an 2n 其余不变 又将如何求解 解析 1 将n 1 2 3分别代入已知可得a1 1 猜想 2 当n 1时 a1 1 猜想显然成立 假设当n k k 1且k n 时 猜想成立 即sk a1 a2 ak 2k ak 那么 当n k 1时 ak 1 sk 1 sk 2 k 1 ak 1 2k ak 当n k 1时猜想也成立 综合 知 当n n 时猜想成立 反思 感悟 归纳 猜想 证明 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式 此种方法在解探索性问题 存在性问题时起着重要的作用 特别是在数列中求an sn时更是应用频繁 变式备选 数列 an 中 a1 1 且求a3 a4 猜想an的表达式 并用数学归纳法证明你的猜想 解析 因为a1 1 a2 且所以同理可求得归纳猜想 下面用数学归纳法证明猜想正确 1 当n 1时 易知猜想正确 2 假设当n k k n 时 猜想正确 即那么当n k 1时 即当n k 1时 猜想也正确 由 1 2 可知 猜想对任意正整数都正确 用数学归纳法证明整除性问题或与平面几何有关的问题 方法点睛 数学归纳法的综合应用 1 应用数学归纳法证明整除性问题主要分为两类 是整除数 是整除代数式 这两类证明最关键的问题是 配凑 要证的式子 或是叫做 提公因式 即当n k 1时 将n k时假设的式子提出来 再变形 可证 2 应用数学归纳法证明与平面几何有关的命题 其关键是从前几项的情形中归纳出一个变化过程 用f k 1 f k 就可以得到增加的部分 然后理解为何是增加的 就可以从容解题 例4 证明下列问题 1 已知n为正整数 a z 用数学归纳法证明 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 2 有n个圆 任意两个都相交于两点 任意三个不交于同一点 求证 这n个圆将平面分成f n n2 n 2个部分 n n 解题指南 1 当n k 1时 把ak 2 a 1 2k 1转化成含ak 1 a 1 2k 1的形式是解题的关键 2 当n k 1时 第k 1个圆与前k个圆相交 平面区域增加了2k个部分是解题的关键 规范解答 1 当n 1时 an 1 a 1 2n 1 a2 a 1 能被a2 a 1整除 假设当n k k n 时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 那么当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a 1 2 ak 1 a 1 2k 1 ak 2 ak 1 a 1 2 a 1 2 ak 1 a 1 2k 1 ak 1 a2 a 1 能被a2 a 1整除 即当n k 1时 命题也成立 根据 可知 对于任意n n an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 2 当n 1时 1个圆将平面分成两部分 f 1 2 12 1 2 2 n 1时 命题成立 假设当n k k 1 时 k个圆把平面分成f k k2 k 2个部分 当n k 1时 在k个圆的基础上再增加一个圆与原k个圆都相交 圆周被分成2k段弧 增加了2k个平面区域 f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 即当n k 1时 命题也成立 综上知 对任意n n 命题都成立 互动探究 将本例 2 中的圆变为直线 求证这n条直线将平面分成个部分 n n 又将如何证明 证明 1 当n 1时 一条直线将平面分成两部分 命题成立 2 假设当n k时 命题成立 即那么当n k 1时 第k 1条直线被前k条直线分成 k 1 段 而每一段将它们所在区域一分为二 故增加了k 1个区域 即f k 1 f k k 1 即当n k 1时 命题也成立 由 1 2 可知 对任意n n 都有成立 反思 感悟 1 用数学归纳法证明整除问题 p k p k 1 的整式变形是个难点 找出它们之间的差异 然后将p k 1 进行分拆 配凑成p k 的形式 也可运用结论 p k 能被p整除且p k 1 p k 能被p整除 p k 1 能被p整除 2 证明与平面几何有关的问题 其着眼点是找规律 由前几项可找到规律 进行应用即可 变式备选 用数学归纳法证明42n 1 3n 2能被13整除 其中n为正整数 证明 1 当n 1时 42 1 1 31 2 91能被13整除 2 假设当n k k n 时 42k 1 3k 2能被13整除 则当n k 1时 方法一 42 k 1 1 3k 3 42k 1 42 3k 2 3 42k 1 3 42k 1 3 42k 1 13 3 42k 1 3k 2 42k 1 13能被13整除 42k 1 3k 2能被13整除 42 k 1 1 3k 3能被13整除 方法二 42 k 1 1 3k 3 3 42k 1 3k 2 42k 1 42 3k 2 3 3 42k 1 3k 2 42k 1 13 42k 1 13能被13整除 42 k 1 1 3k 3 3 42k 1 3k 2 能被13整除 即42 k 1 1 3k 3能被13整除 当n k 1时 命题也成立 由 1 2 知 对任意n n 42n 1 3n 2都能被13整除 满分指导 数学归纳法解答题的规范解答 典例 14分 2012 九江模拟 设数列 an 的前n项和为sn 并且满足 1 猜想 an 的通项公式 并用数学归纳法加以证明 2 设x 0 y 0 且x y 1 证明 解题指南 1 将n 1 2 3代入已知等式得a1 a2 a3 从而可猜想an 并用数学归纳法证明 2 利用分析法 结合x 0 y 0 x y 1 利用基本不等式可证 规范解答 1 分别令n 1 2 3 得 an 0 a1 1 a2 2 a3 3 猜想 an n 3分 由 可知 当n 2时 得即 4分 当n 2时 a2 0 a2 2 5分 假设当n k k 2 时 ak k 那么当n k 1时 ak 1 0 k 2 ak 1 k 1 0 ak 1 k 1 即当n k 1时也成立 8分 an n n 2 显然n 1时 也成立 故对于一切n n 均有an n 9分 2 要证只要证 10分即将x y 1代入 得即只要证4 n2xy n 1 n 2 2 即4xy 1 12分 x 0 y 0 且x y 1 即xy 故4xy 1成立 所以原不等式成立 14分 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 襄阳模拟 用数学归纳法证明等式1 2 3 n 3 n n 时 第一步验证n 1时 左边应取的项是 a 1 b 1 2 c 1 2 3 d 1 2 3