基于局部Whittle法的长记忆参数及变点估计.docx

基于局部 w h ittle法的长记忆参数及变点估计胡宏伟 ,徐海燕(合肥工业大学 数学学院 ,合肥 230009)摘 要 :利用最小二乘法判别变点存在性以及估计变点个数 ,同时利用改进的局部 w h ittle法对长记忆过程的变点及长记忆参数进行估计 ,并将其应用于上证指数的实证研究 . 结果表明 :上证指数日收益率的波动率序列在不 考虑变点的情况下具有显著的长记忆性 ,而在考虑变点的情况下 ,其长记忆性并不显著 。因此 ,考虑变点能够避免伪长记忆的存在 .关键词 :局部 w h ittle法 ;最小二乘法 ;长记忆 ;变点中图分类号 : f830. 91文献标识码 : a文章编号 : 1673 - 162x ( 2011 ) 02 - 0001 - 05the l ong m em ory param e ter and change po in test ima t ion ba sed on the l oca l w h ittle m e thodhu hong2we i, xu h a i2yan( schoo l of m a them a tic s, h efe i u n ive rsity of techno logy, h efe i 230009, ch ina)a b stra c t: in th is p ap e r, lea st squa re m e thod is u sed to iden tify the existence of change po in ts ande stim a te the num be r of change po in ts, and the mod ified loca lw h ittle m e thod is p ropo sed fo r e stim a ting the long p a ram e te r and change po in ts of long m emo ry p roce ss. f ina lly, the se m e thod s a re u sed to te st fo r the shangha i comp lex index. the re su lts show tha t w ithou t con side ring change po in ts, the longm emo ry p rop e rty of the vo la tility sequence of the shangha i compo site indexda ily re tu rn is sign ifican t,and the long m emo ry p rop e rty is no t sign ifican t in ca se of con side ring change po in ts. the refo re, the p seudo - long m emo ry p rop e rty can be avo ided when con side ring change po in ts.key word s: loca l w h ittle m e thod; lea st squa re m e thod; long m emo ry; change po in t将长记忆引入波动率模型中进行研究 ,可以利用更多的历史信息 ,从而能够显著地提高预测效果 ,对判断股市走势 、防范和控制风险具有一定的现实意义 . 鉴于股票市场长记忆问题的重大理论价值和现实意 义 ,自 20世纪 90年代以来 ,国内外学者对此进行了大量的技术研究和实证分析 . 对于中国股市的研究 ,国内学者大多采用修正的 r / s分析以及传统 gph 法等方法进行长记忆检验 ,而没有考虑结构变点对长记忆 参数的影响 . 如文献 1 采用 gph 法对上证和深证部分样本股进行长记忆检验 ,结果表明 ,对于收益率序 列 ,沪市长记忆性不显著 ,深市则具有一定的长记忆特征 ;而对波动率序列 ,沪深两市均具有显著的长记忆 性 . 文献 2 分别运用经典 r / s分析 、修正 r / s分析 、d fa 及广义 h u rst指数等统计分析方法对中国股市 进行实证研究 ,结果表明 ,沪深两市均具有长记忆性特征 . 国外学者对股市长记忆的研究主要集中于实证分析以及理论性质的证明 . 如文献 3 利用对数周期图法对德国股市收益率的波动率序列进行长记忆检 验 ;文献 4 对 arch 类模型和分式布朗运动的长记忆参数进行估计 .鉴于文献 5 采用改进的局部 w h ittle 法对 g7 (西方七国集团 )月通货膨胀率进行实证研究 ,结果表 明 ,除了日本和德国的月通货膨胀率序列仅存在结构变点 、不具有长记忆特性外 , g7的大多数国家的月通 货膨胀率序列同时具有结构变点和长记忆特性 ;文献 6 利用最小二乘法对美国通货膨胀率进行了结构收稿日期 : 2010 - 12 - 08修回日期 : 2011 - 04 - 10作者简介 :胡宏伟 ( 1985 ) ,男 ,安徽黄山人 ,合肥工业大学数学学院 2008级硕士研究生 . 2 合肥学院学报 (自然科学版 ) 第 21 卷变点和长记忆参数的估计 . 本文利用最小二乘法和局部 w h ittle法分析结构变点对上证指数波动率序列的长记忆参数的影响.1 检验含有结构变点的长记忆xt = t +t , t = 1, 2,设长记忆过程为( 1 )( 2 ), t,- 2 df + (j ) gj, 0,其中的谱密度为t 1 1 m其中 j = 2j/ t, j = 1, 2,) , m = g ( t ) 为宽度 , 其满足 m , m , 0 d 2 , g ( 0,t, 即m+t0, t .当过程无变点时 ,文献 7 给出了高斯似然函数的 w h ittle估计 :xtm1i (j )(+ ln ( g- 2 d ) ) ,q ( d, g) =( 3 )- 2 djj = 1 gmjt 1 -it j2e( xt其中i (j )- x ) | , j = 1, 2, m( 4 )=|2tj = 1为样本周期图 .m i ( )1j文献 8 提出了局部 w h ittle法 :利用 g =代替 g, 得到- 2 dmj = 1jmi ( )m( 1 j2 dr ( d )= q ( d, g) - 1 = ln)ln ( ) ,( 5 )- 2 djmmj = 1j = 1j从而 d 的估计为d = a rg m in r ( d ) ,0 d1 / 2n ( 0, 1 ) .( 6 )d 并且证明了m ( d -d )4局部 w h ittle法中带宽 m 一般取小于 t / 2的整数 ,通常取 m = t , 0 1, 并且较大的 m 能够使 d较快地收敛到真实的 d 值 . 文献 9 分别对 = 0. 4 、0. 5、0. 6进行实证分析 ,结果表明 的选取对长记忆 参数的估计值的影响很小 . 综合考虑 ,本文取 = 0. 8 .当过程有变点时 ,考虑改进的局部 w h ittle法. 不妨设 n 个均值变点为 1 ,n , 则xtn+ i l ki k,tk - 111其中 k 为变点 , 1 =xt ,2xt , 样本周期图为=1 t = 1n - k + 1 t = kk -t12i (j , k )it je t ( k ), j = 1, 2,( 9 )=2t, m ,j = 1mm( 1 i (j , k ) )2 dln ( ) ,则对每个 k, 通过最小化r ( d, k )= ln-( 10 )j2 dmmj = 1j = 1j得到条件局部 w h ittle估计量d ( k ) , 从而得到局部 w h ittle函数 r ( d ( k ) , k ) .令k = a rgm in r ( d ( k ) , k ) ,k 2, , t ( 11 )即变点的估计为 k, 长记忆参数的估计为 d ( k ) .3第 2期胡宏伟 ,等 :基于局部 w h ittle法的长记忆参数及变点估计对于多个变点情形 ,若变点个数 n 已知 ,则仍可估计出长记忆参数 d 及变点 ( k1 , kn ) ,只是在进行谱回归及最小化多元函数 r ( d, ( k1 ,kn ) ) 时复杂一些 .2 最小二乘法文献 10 详细介绍了利用最小二乘法判别变点存在性 、估计变点个数及变点. 本文采用最小二乘法 判别上证指数波动率序列是否存在结构变点以及估计变点个数.2. 1 结构变点的存在性检验假设样本为 x1 , x2 ,k - 1, xt , 定义t322s= m in1 k c,2. 2 估计变点个数给定自然数 n , 假设变点个数为 n n , 变点为 k1 , k2 , kn , 通过最小化k j- 1p +12 ( xt- j ) ,( 16 )sn=j = 1 t = k j- 1k j- 113yt , j = 1,得到 sn , 其中 j, n, 则确定变点个数的两种方法是 : ( 1 )经验法则 ,定义下降梯=kj -kj- 1 t = k j- 133333333度为 | s i -s i +1 |/ s i +1 , i = 1, n - 1 . 由于 s1 s2 sn , 如果从 s1 到 sk 的下降梯度较大而从此开始变为比较平缓 ,则取变点个数的估计值为 k . ( 2 )事先设定一个略大于 1的数 a, 如 1. 05 ,取能够33使得 sn / sn a = 1. 05所对应的最大的 n 作为变点个数的估计 ,记为 n .3 数据模拟首先 ,文献 12 指出描述长记忆时间序列的模型主要是分式求和 arma 模型 ( far ima ( p, d, q) 模 型 ) ,为简单起见 ,可以根据 far ima ( 0, d, 0 ) 过程模拟长记忆数据 .其次 ,考虑模拟数据序列中含有 3个变点的情形 ,如下 :1234+t , 1 t k1 ,+t , k1 t k2 ,+t , k2 t 0. 5, 表明过程非平稳 . 然后利用改进的局部 w h ittle法估计长记忆参数和结构变点 ,计算结果见表 2所列 .表 2 模拟数据的长记忆参数及变点估计x tnn = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6d ( k1 ,0. 5050. 4670. 1610. 1560. 1480. 141, kn )4003998993998991 1993994978991 1993994978991 1991 4833994975298991 1991 483k1 , kn由表 2可知 ,长记忆参数估计 d ( k1 , kn ) 总体上随着变点个数n 的增大而减小 ,在变点个数 n = 3时 ,长记忆参数估计 d ( k1 , k3 ) = 0. 161与 d1 = 0. 167 非常接近 。从而说明上述方法的有效性 .4 实证研究文献 13 指出收益率序列通常不具有显著的长记忆性 ,而收益率的绝对值序列通常具有显著的长记 忆性 ,故将上证指数的日对数收益率的绝对值序列作为上证指数的波动率指标 ,来研究上证指数的波动率 在不考虑变点和考虑变点的两种情形下的长记忆性. 上证指数数据选取 2001 年 1 月 2 日至 2010 年 5 月12日的日收盘价 ,共 2 262个数据 ,从而获得 2 261个日对数收益率样本.4. 1 不考虑变点的长记忆性检验根据上述不考虑变点的高斯似然函数的 w h ittle 估计 ,计算出上证指数波动率的长记忆参数 d的估计为 d = 0. 229 ( 0, 1 ) , 表明了上证指数的波动率存在显著的长记忆性.2由 2. 1节可知 ,若选取检验水平为 0. 05 ,通过计算可得 s = 0. 354 7,4. 2 含有变点的长记忆参数估计33s = 0. 324 3, c = 0. 001 6, 故 s- s c, 即表明上证指数波动率存在变点 .由于上证指数存在变点 ,根据 2. 2节 ,在此假定变点个数不超过 n = 7, 对于变点个数 n= 1, 2, 7,333333分别计算 sn , 并且计算 sn / sn 和| sn -sn +1 |表 3/ sn +1 . 计算结果见表 3所列 .估计变点个数nn = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6n = 7s 30. 324 30. 314 90. 313 40. 308 10. 304 10. 302 90. 302 4ns3 3/ sn1. 072 421. 041 341. 036 381. 018 851. 005 621. 001 65n| s3 - s3 | / s 30. 029 850. 004 790. 017 200. 013 150. 003 960. 001 65n n +1 n +1由表 3可知 ,可取变点个数的估计为 n = 4 .4. 3 含有变点的长记忆参数及变点估计为了更好地说明问题 ,考虑变点个数n = 1, 2, 7, 利用改进的局部 w h ittle法分别计算出波动率序列的长记忆参数 d ( k1 ,4 所列 ., kn ) 及对应变点 k1 , kn , 计算结果见表5第 2期胡宏伟 ,等 :基于局部 w h ittle法的长记忆参数及变点估计表 4含有变点的长记忆参数及变点估计nn = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6n = 7d ( k1 ,0. 1780. 1470. 1440. 1420. 1320. 1290. 128, kn )06. 12. 0706. 12. 0709. 03. 1001. 07. 1906. 12. 0709. 03. 1002. 06. 2102. 06. 2406. 12. 0709. 03. 1002. 06. 2102. 06. 2406. 12. 0708. 01. 1508. 12. 1202. 06. 2102. 06. 2403. 10. 3106. 12. 0708. 01. 1508. 12. 1202. 06. 2102. 06. 2403. 10. 3105. 09. 0706. 12. 0708. 01. 1508. 12. 12k1 , kn注 :其中 06. 12. 07表示 2006年 12月 7日 ,其他类推 .由表 4可知 ,上证指数日收益率的波动率序列在考虑变点的情况下 ,长记忆参数在 n = 1和 n = 2时 减小的幅度较大 ,之后减小的幅度较小 . 且在 n = 5 、n = 6以及 n = 7这三种情况下 ,长记忆参数变化很小 . 因此 ,取变点个数为 n = 4有一定的合理性 . 而当变点个数为 4 时 ,波动率序列的长记忆性并不显著 .以下考虑变点个数为 4 时的情形 . 通过查找股市的相关资料 , 2002 年 3 月至 6 月 20 日的上证指数日 收盘价总体上处于小幅震荡走低 ,而 21 日的日收盘价较 20日相比有 3. 07 %较大的上涨幅度. 6 月 24 日国务院决定停止在国内证券市场减持国有股 ,同时证监会提高上市公司增发门槛 ,受此重大利好消息的影响 ,上证指数开盘涨幅达 9. 09 % ,全天震荡后以涨幅 9. 25 %收盘 ,这就是“6. 24 ”行情 . 此后股市继续走 低 . 2006年 ,在经济高速发展 、股权分置改革 、人民币升值众多利好的影响下 ,上证指数持续上扬 , 12 月 7日日收盘价突破 2 200 点. 从股市在经过 2006年和 2007 年两年的持续上涨后一路走低 ,而从 2009年 3月10日开始 ,股市总体上震荡走高 .虽然经过计算估计出变点个数为 n = 4, 但考虑到变点 2002年 6月 21日和 2002年 6 月 24 日非常接近 ,可以将两个变点合并. 由于 2002 年 6月 24日的意义更加重大 ,故将 2002年 6月 24日作为变点 ,可以 不考虑 2002 年 6月 21日 . 故最终考虑变点个数为 3 ,并将 2002年 6月 24日 、2006年 12 月 7日及 2009年3 月 10 日作为变点估计 .上述的实证研究表明 :上证指数日收益率的波动率序列在不考虑变点的情况下具有显著的长记忆性 ,而考虑变点后 ,其长记忆性并不显著.参考文献 :施红俊 ,马玉林 ,陈伟忠 . 中国股市长记忆性实证研究 j . 同济大学学报 :自然科学版 , 2004 , 32 ( 3 ) : 416 2420.苑莹 ,庄新田 . 中国股票市场的长记忆性与市场发展状态 j . 数理统计与管理 , 2008, 27 ( 1) : 1562163.sibbe rtsen p. long m emo ry in vo la tilitie s of ge rm an stock r e tu rn s j . emp irica l econom ic s, 2004, 29: 477 2488.l evine m , to rre s s, v ien s f. e stim a to rs fo r the long2m emo ry pa ram e te r in larch mode ls, and f rac tiona l b rown ian mo tion j . sta t infe r stoch p roce ss, 2009 , 12: 2212250.h su c c. long m emo ry o r struc tu ra l change s: a n emp irica l exam ina tion on infla tion r a te s j . econom ic s l e tte rs, 2005 ,88: 289 2294.b e lkhou ja m ,