《微积分》第一篇第二章讲义(1)极限.ppt

经济数学基础微积分 极限的求法 导数与微分的求法 难点 极限的概念 复合函数的求导法 第二章 极限 导数与微分 重点 一 极限的概念 极限是微积分的一个基本概念 也是一个基本工具 微积分中许多概念都是由极限引入的 可以说没有极限 也就没有微积分 因此理解好极限概念 是学习后面课程的基础 主要学习两方面的极限 数列极限函数极限 一 数列极限1 一串数按照一定的顺序排成一列叫做一个数列 数列也可看作是自变量取正整数 定义在正整数上的 的函数 看下列数列 变化趋势 2 数列极限 极限描述的是变量在某个变化过程中的变化 趋势 人们研究变量的变化趋势 发现有三种可能 变量越来越接近一个数 越来越接近于0 变量的绝对值越来越大 a的绝对值 a 例如 绝对值越来越大时 还可分两种情况 变量的值左右摇摆不定 这时没有记号只能说变量没有极限 定义2 1 p 58 注意 数列存在极限 等价于数列收敛 按照此定义 有 极限不存在 或者称数列是发散的 例1 1 解 课本p 59例4 二 函数的极限 数列是一类特殊的函数 它的定义域是正整数 对于数列已经定义了极限 那么如果是一般的函数呢 即自变量是连续取值的函数 它的极限又是如何定义的 解析 主要看图像的 走势 定义2 2 p 60 解析 主要看图像的 走势 定义2 2 p 60 当自变量x本身既可以取正值 也可以取负值的时候 就可以当x趋于无穷的定义 定义2 2 p 61 解 可以看出 当x在x 1点附近变化并且趋近于1时 函数值y就充分的接近于y 2这点 定义2 3 p 62 注意 解 定义2 4 p 63 左极限 右极限 由此定义 知例2 3中的f x 在x 0处的左 右极限分别为 由此定理 知例2 3中的f x 在x 0处的极限不存在 定理2 1 p 64 从上面可看出 极限实质是描述在自变量的某个变化过程中 函数是否有确定的变化趋势 如果有确定的变化趋势 就可能有极限 否则函数就一定没有极限 它的图象见p 62的图2 3 在x 0点附近 函数的图象是不断的跳跃的 即变化是不确定的 当x趋近于0点时 函数没有确定的变化趋势 定义2 5 p 64 定义2 6 p 64 注意 无穷大量和无穷小量互为倒数 例如 定理2 2无穷小量 有界变量 无穷小量 定义1 4 p 11 有界变量 解 1 用一句话来表述函数的 极限 极限 实质是描述在自变量x的某个变化过程中 函数是否有确定的变化趋势 如果有确定的变化趋势 就可能有极限 否则函数就一定没有极限 复习 二 极限的运算 1 极限的四则运算法则 p 66 2 一般函数极限的求法 求形如的极限 就是求出x趋向于时y会趋向于什么 解 解 情况三 就分解因式 约去分子分母的公共零因子 得到新的函数 再回到情况一 解 下面一起做p72上的练习2 2 首先要 根式有理化 这里我们只要求会求有理分式的极限 解 解 解 三 两个重要的极限 注意 这个极限可以变形为 重要的是这个变形的应用 例3 1求极限 见p72上的练习2 2 题14 例3 2求极限 见p72上的练习2 2 题16 错误解法 例3 2求极限 见p72上的练习2 2 题17 注意 它的两个变形 例题3 3求极限 p72上的练习题19 20 四 函数的连续性 定义2 6 p72 连续是函数的重要形态之一 在几何图形上就表示一条不能断开的曲线 相应于左右极限的概念 有 类似定理2 1 有 根据定义2 6 我们判断函数是否连续 要做三件事 第一 计算函数值 第二 求极限 第三 判断是否有等式 三件事都成立 函数就连续 注意 对于分段函数 要考查左 右极限 例4 1p76练