高考数学 小专题复习课 热点总结与强化训练(三)配套课件 理 新人教A版.ppt

热点总结与强化训练 三 热点1 线性规划在高考中的应用1 本热点在高考中的地位线性规划是沟通几何知识与代数知识的重要桥梁 是数形结合 分类讨论 化归等重要思想的集中体现 尤其是它的考查联系了解析几何 函数 不等式 方程等知识 因而线性规划问题已成为近几年高考的热点问题 在高考中占有重要的地位 2 本热点在高考中的命题方向及命题角度在高考中主要考查利用两变量的约束条件求目标函数的最值 利用可行域求面积 利用其几何意义求斜率 距离的最值 求参数的取值范围及实际应用中的最优解 多以选择题 填空题以及解答题中的小题的形式出现 偶尔在解答题中考查实际应用问题 它往往与不等式 方程 函数等知识交汇考查 1 线性规划的分类 1 不含参数的线性规划问题 2 含参数的线性规划问题 其中又分为可行域中含参数 或目标函数中含参数 3 线性规划中最优整数解问题 4 利用几何意义 如 斜率 距离等 求解线性规划中的范围问题 2 线性规划的解题策略对于线性规划问题 关键要分清是哪一类问题 对于不同类型 灵活采用不同解法求解 但无论哪种类型 准确画出可行域是解题的重中之重 因而解题时要具体问题具体分析 线性规划问题具有综合性强 覆盖面广 灵活性大的特点 应当明确理解线性约束条件和目标函数 准确画出可行域 合理利用可行域求目标函数的最值 若是几何意义问题 要明确是斜率问题还是距离问题 若是实际应用问题要设出未知量 利用条件写出线性约束条件 确定目标函数 画出可行域求解 对于其他问题如面积 若规则的可以直接求解 不规则的可分割求解 1 2011 浙江高考 设实数x y满足不等式组若x y为整数 则3x 4y的最小值是 a 14 b 16 c 17 d 19 解题指南 根据约束条件作出正确的可行域 解出特殊点的坐标 利用目标函数过该点时取得最值 注意自变量的限制 解析 选b 可行域如图所示联立解得又 边界线为虚线取不到 且目标函数线的斜率为 当z 3x 4y过点 4 1 时 有最小值16 2 2011 广东高考 已知在平面直角坐标系xoy上的区域d由不等式组给定 若m x y 为d上的动点 点a的坐标为 1 则的最大值为 a b c 4 d 3 解题指南 由向量数量积的运算公式得出目标函数z 作出可行域求解 也可由数量积的几何意义求解 解析 选c 方法一 由已知得目标函数作出可行域 如图所示 可知b点坐标为 2 2 当目标函数过b点时z取最大值 故z的最大值为 方法二 由题意得不等式组对应的平面区域d是如图所示的直角梯形oabc 所以就是求的最大值 表示在方向上的投影 数形结合观察得当点m在点b处时 取得最大值 在 aob中 oa ob ab 1 所以故选c 3 2011 浙江高考 若实数x y满足不等式组则3x 4y的最小值是 a 13 b 15 c 20 d 28 解析 选a 设z 3x 4y如图作出可行域 由得zmin 3 3 4 1 13 故选a 4 2011 安徽高考 设变量x y满足 x y 1 则x 2y的最大值和最小值分别为 解析 选b 不等式 x y 1对应的区域如图阴影部分所示 当目标函数过点 0 1 0 1 时 分别取最小值 最大值 所以x 2y的最大值和最小值分别为2 2 故选b 5 2011 天津高考 设变量x y满足约束条件则目标函数z 3x y的最大值为 a 4 b 0 c d 4 解析 选d 作出可行域 如图所示 联立解得当目标函数z 3x y过点 2 2 时 z 3x y取得最大值4 6 2011 湖北高考 已知向量a x z 3 b 2 y z 且a b 若x y满足不等式 x y 1 则z的取值范围为 a 2 2 b 2 3 c 3 2 d 3 3 解析 选d 因为a b 所以2 x z 3 y z 0 则z 2x 3y 又x y满足不等式 x y 1 所以点 x y 的可行域如图所示 当z 2x 3y经过点a 0 1 时 z 2x 3y取得最大值3 当z 2x 3y经过点c 0 1 时 z 2x 3y取得最小值 3 所以选d 7 2011 大纲版全国卷 若变量x y满足约束条件则z 2x 3y的最小值为 a 17 b 14 c 5 d 3 解析 选c 作出可行域 分析可知当x 1 y 1时 zmin 5 8 2011 四川高考 某运输公司有12名驾驶员和19名工人 有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车 某天需送往a地至少72吨的货物 派用的每辆车需载满且只能送一次 派用的每辆甲型卡车需配2名工人 运送一次可得利润450元 派用的每辆乙型卡车需配1名工人 运送一次可得利润350元 该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数 可得最大利润z a 4650元 b 4700元 c 4900元 d 5000元 解析 选c 设当天派用甲型卡车x辆 乙型卡车y辆 由题意得设每天的利润为m元 则m 450 x 350y 如图阴影部分中的整点为该不等式组表示的可行域 作直线9x 7y 0 平移直线 当过点a 7 5 时 m取最大值 故z 450 7 350 5 4900 故选c 9 2011 陕西高考 如图所示 点 x y 在四边形abcd内部和边界上运动 那么2x y的最小值为 解析 由图象知函数在点a 1 1 时 2x y 1 在点b 时 2x y 1 在点c 1 时 2x y 1 1 在点d 1 0 时 2x y 2 0 2 1 故最小值为1 答案 1 热点2 数列通项及前n项和的公式及求法在高考中的应用1 本热点在高考中的地位数列是高中知识的重要章节 主要包括等差 等比数列的通项公式及其前n项和公式 同时数列与函数 不等式有着紧密的联系 从近几年的高考试题看 数列已成为高考的热点问题 在选择题 填空题 解答题中都有可能出现 2 本热点在高考中的命题方向及命题角度在高考中主要是求等差 等比数列的通项及其前n项和 数列性质的应用以及数列的综合题 或可转化为等差 等比数列的综合问题 或者与数列有关的应用题 1 数列求通项的常见方法 1 累加法 形如an an 1 f n n 2 2 累乘法 形如 f n n 2 3 构造等差数列法 如 nan 1 n 1 an n n 1 4 构造等比数列法 如an aan 1 b a b是常数 5 取倒数法 如 k m是常数 2 数列求和的常见方法 1 直接用等差 等比数列的求和公式求和 2 错位相减法求和 如 an 是等差数列 bn 是等比数列 求的和 3 分组求和 把数列的每一项分成若干项 使其转化为等差或等比数列 再求和 4 并项求和 如求1002 992 982 972 22 12的和 5 裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差 正负相消剩下首尾若干项 常见拆项 6 公式法求和 7 倒序相加法求和 数列部分有些较为简单的小题 一般在选择 填空中出现 也有较强的综合性的解答题及推理证明题 因而应当牢记等差 等比的通项公式 前n项和公式 等差 等比数列的性质 以及常见求数列通项的方法 如累加 累乘 构造等差 等比数列法 取倒数等 还有数列求和的常用方法要分类记清 对于实际应用问题 应搞清楚是等差 等比还是递推类应用问题 对较综合的题目应具体问题具体分析 1 2011 浙江高考 已知公差不为0的等差数列 an 的首项a1为a a r 设数列的前n项和为sn 且成等比数列 1 求数列 an 的通项公式及sn 2 记当n 2时 试比较an与bn的大小 解题指南 设出公差 利用已知求得公差 可得通项公式和前n项和 2 利用 1 的结论分别求得两和 比较即可 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 由得 a1 d 2 a1 a1 3d 从而a1d d2 因为d 0 所以d a1 a 所以an na sn 2 因为所以因为所以当n 2时 即所以 当a 0时 anbn 2 2011 广东高考 设b 0 数列 an 满足a1 b n 2 1 求数列 an 的通项公式 2 证明 对于一切正整数n 解题指南 1 利用已知变形取倒数后 构造新数列可求 注意分类讨论 2 分情况利用分析法证明即可 解析 1 由a1 b 0 知an 0 令当n 2时 当b 2时 当b 2时 2 当b 2时 欲证只需证即证而当b 2时 an 2 综上所述 3 2011 湖南高考 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备m m的价值在使用过程中逐年减少 从第2年到第6年 每年初m的价值比上年初减少10万元 从第7年开始 每年初m的价值为上年初的75 1 求第n年初m的价值an的表达式 2 设若an大于80万元 则m继续使用 否则须在第n年初对m更新 证明 须在第9年初对m更新 解析 1 当n 6时 数列 an 是首项为120 公差为 10的等差数列 an 120 10 n 1 130 10n 当n 6时 数列 an 是以a6为首项 公比为的等比数列 又a6 70 所以an 70 n 6 因此 第n年初 m的价值an的表达式为 2 设sn表示数列 an 的前n项和 由等差及等比数列的求和公式得当1 n 6时 sn 120n 5n n 1 an 120 5 n 1 125 5n 当n 7时 由于s6 570 故sn s6 a7 a8 an 570 70 4 1 n 6 780 210 n 6 因为 an 是递减数列 所以 an 是递减数列 又所以须在第9年初对m更新 4 2011 福建高考 已知函数f x ex x 对于曲线y f x 上横坐标成等差数列的三个点a b c 给出以下判断 abc一定是钝角三角形 abc可能是直角三角形 abc可能是等腰三角形 abc不可能是等腰三角形 其中 正确的判断是 a b c d 解析 选b 方法一 设a b c三点的横坐标分别为x1 x2 x3 x10 f x 在 上是增函数 f x1 f x2 f x3 且 abc为钝角 判断 正确 错 若 abc为等腰三角形 则只需ab bc 即 x1 x2 2 f x1 f x2 2 x3 x2 2 f x3 f x2 2 x1 x2 x3成等差数列 即2x2 x1 x3 且f x1 f x2 f x3 只需f x2 f x1 f x3 f x2 即2f x2 f x1 f x3 即这与相矛盾 abc不可能是等腰三角形 判断 错误 正确 故选b 方法二 设a b c三点的横坐标为x1 x2 x3 x10 f x 在 上是增函数 画出f x 的图象 大致 f x1 f x2 f x3 且如图 设直线ab bc的倾斜角分别为 和 由0 kab kbc 得 故 abc 为钝角 判断 正确 错误 由x1 x2 x3成等差数列 得x2 x1 x3 x2 若 abc为等腰三角形 只需ab bc 则f x2 f x1 f x3 f x2 由0 kab kbc 知上式不成立 判断 错误 正确 故选b 5 2011 福建高考 商家通常依据 乐观系数准则 确定商品销售价格 即根据商品的最低销售限价a 最高销售限价b b a 以及实数x 0 x 1 确定实际销售价格c a x b a 这里 x被称为乐观系数 经验表明 最佳乐观系数x恰好使得 c a 是 b c 和 b a 的等比中项 据此可得 最佳乐观系数x的值等于 解析 由已知 有 c a 是 b c 和 b a 的等比中项 即 c a 2 b c b a 把c a x b a 代入上式 得x2 b a 2 b a x b a b a 即x2 b a 2 1 x b a 2 b a b a 0 x2 1 x 即x2 x 1 0 解得因为0 x 1 所以最佳乐观系数x的值等于答案 6 2012 安徽模拟 为加强环保建设 提高社会效益和经济效益 某市计划用若干年时间更换10000辆燃油型公交车 每更换一辆新车 则淘汰一辆旧车 替换车为电力型和混合动力型车 今年初投入了电力型公交车128辆 混合动力型公交车400辆 计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50 混合动力型车每年比上一年多投入a辆 1 求经过n年 该市被更换的公交车总数s n 2 若该市计划7年内完成全部更换 求a的最小值 解析 1 设an bn分别为第n年投入的电力型公交车 混合动力型公交车的数量 依题意 an 是首项为128 公比为1 50 的等比数列 bn 是首项为400 公差为a的等差数列 an 的前n项和 bn 的前n项和所以经过n年 该市更换的公交车总数为 2 若计划7年内完成全部更换 所以s 7 10000 所以256 7 1 400 7 10000 即21a 3082 所以a 又a n 所以a的最小值为147 7 2012 安徽师大附中模拟 设sn为数列 an 的前n项和 对任意的n n 都有sn m 1 man m为常数 且m 0 1 求证 数列 an 是等比数列 2 设数列 an 的公比q f m 数列 bn 满足b1 2a1 bn f bn 1 n 2 n n 求数列 bn 的通项公式 3 在满足 2 的条件下 求数列的前n项和tn 解析 1