高中数学 1.4.3 含有一个量词的命题的否定课件 新人教A版选修21.ppt

1 4 3含有一个量词的命题的否定 一 含有一个量词的全称命题的否定 x0 m p x0 特称 思考 用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗 提示 不唯一 如 所有的菱形都是平行四边形 它的否定是 并不是所有的菱形都是平行四边形 也可以是 有些菱形不是平行四边形 二 含有一个量词的特称命题的否定 x m p x 全称 判断 正确的打 错误的打 1 命题 p的否定是p 2 x0 m p x0 与 x m p x 的真假性相反 3 从特称命题的否定看 是对 量词 和 p x 同时否定 提示 1 正确 命题p与 p互为否定 2 正确 特称命题p与其否定 p一真一假 3 错误 尽管特称命题的否定是全称命题 只是对 p x 进行否定 而将 存在量词 调整为 全称量词 不能将其理解为 同时否定 答案 1 2 3 知识点拨 1 对全称命题的否定以及特点的理解 1 全称命题的否定实际上是对量词 所有 否定为 并非所有 所以全称命题的否定的等价形式就是特称命题 将全称量词调整为存在量词 就要对p x 进行否定 这是叙述命题的需要 不能认为对全称命题进行 两次否定 否则就是 双重否定即肯定 所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定 2 对于省去了全称量词的全称命题的否定 一般要改写为含有全称量词的命题 再写出命题的否定命题 2 对特称命题的否定以及特点的理解 1 由于全称命题的否定是特称命题 而命题p与 p互为否定 所以特称命题的否定就是全称命题 2 全称命题与特称命题以及否定命题都是形式化命题 叙述命题时要结合命题的内容和特点 灵活运用自然语言 符号语言进行描述 这样才能准确判断命题的真假 类型一全称命题的否定与真假判断 典型例题 1 全称命题 所有的素数都是奇数 的否定是 这是命题 填真 假 2 写出下列全称命题p的否定 并判断p的否定的真假 1 p x 0 x 2 2 p 所有矩形的对角线相等 3 p 不论m取什么实数 x2 x m 0必有实数根 解题探究 1 全称命题的否定是什么命题 2 全称命题的否定中 如何调整量词与p x 探究提示 1 全称命题的否定是特称命题 2 全称量词调整为存在量词 并对p x 进行否定 解析 1 全称命题 所有的素数都是奇数 的否定是特称命题 存在一个素数不是奇数 这是真命题 答案 存在一个素数不是奇数真2 1 p x0 0 x0 2 假命题 2 p 有的矩形的对角线不相等 假命题 3 p 存在实数m0 使x2 x m0 0没有实数根 真命题 互动探究 若题2 3 变为 p 不论m取什么实数 x2 2mx m2 1 0都无实数根 试写出 p 并判断其是真命题还是假命题 解析 p 存在实数m0 使x2 2m0 x m02 1 0有实数根 由于 2m0 2 4 m02 1 4 0 故方程无实数根 p为假命题 拓展提升 全称命题的否定形式与判断真假的方法 1 求全称命题的否定命题 先将全称量词调整为存在量词 再对性质p x 否定为p x 2 若全称命题为真命题 其否定命题就是假命题 若全称命题为假命题 其否定命题就是真命题 变式训练 1 全称命题 所有能被6整除的数都能被2整除 的否定是 这是命题 填真 假 2 写出下列全称命题p的否定 p 并判断p的真假 1 p x 0 x2 x 0 2 p 所有矩形都有外接圆 解析 1 全称命题 所有能被6整除的数都能被2整除 的否定是 存在一个能被6整除的数不能被2整除 这是假命题 答案 存在一个能被6整除的数不能被2整除假2 1 p x0 0 x02 x0 0 假命题 2 p 有的矩形没有外接圆 假命题 类型二特称命题的否定与真假判断 典型例题 1 2012 安徽高考 命题 存在实数x 使x 1 的否定是 a 对任意实数x 都有x 1b 不存在实数x 使x 1c 对任意实数x 都有x 1d 存在实数x 使x 1 2 写出下列特称命题p的否定 p 并判断 p的真假 1 p x0 0 x0 2 0 2 p 存在一个向量与任意向量平行 3 p 存在实数m0 x2 x m0 0的两根都是正数 解题探究 1 特称命题的否定是什么命题 2 特称命题的否定中 如何调整量词与p x 探究提示 1 特称命题的否定是全称命题 2 存在量词调整为全称量词 并对p x 进行否定 解析 1 选c 存在实数x 使x 1 的否定是 对任意实数x 都有x 1 2 1 p x 0 x 2 0 由于x 0时 x x 2 当且仅当x 1时取等号 x 2 0 p为假命题 2 p 任何一个向量都不与任意向量平行 假命题 3 p 对任意实数m x2 x m 0的两根不都是正数 假设x2 x m 0的两根x1 x2都是正数 则必须即此不等式组无解 所以不存在实数m0 使x2 x m0 0的两根都是正数 命题p为假命题 所以 p为真命题 拓展提升 特称命题的否定形式与判断真假的方法 1 求特称命题的否定命题 先将存在量词调整为全称量词 再对性质p x 否定为 p x 2 由于命题与命题的否定一真一假 所以如果判断一个命题的真假困难时 那么可以转化为判断命题的否定的真假从而进行判断 变式训练 1 特称命题 有些奇数是合数 的否定是 这是命题 填真 假 2 写出下列特称命题p的否定 p 并判断 p的真假 1 p x0 0 x02 0 2 p 0 0 r cos 0 0 cos 0 cos 0 3 p 有些数列既是等差数列又是等比数列 解析 1 特称命题 有些奇数是合数 的否定是 任何一个奇数都不是合数 这是假命题 答案 任何一个奇数都不是合数假2 1 p x 0 x2 0 真命题 2 p r cos cos cos 由于当 时 cos cos cos 所以 p为假命题 3 p 任何数列都不能既是等差数列又是等比数列 由于非零常数列既是等差数列又是等比数列 所以 p为假命题 类型三含有一个量词的命题的否定的应用 典型例题 1 若 x0 0 sinx0cosx0 m 为假命题 则实数m的取值范围是 2 已知命题p x sinx cosx m q x x2 mx 1 0 如果对于 x r p x 为假命题且q x 为真命题 求实数m的取值范围 解题探究 1 特称命题是假命题 其否定的真假如何 2 题2中p x 为假命题 一般应如何转化 探究提示 1 特称命题是假命题 其否定是真命题 2 当含有一个量词的命题是假命题时 一般利用它与其否定命题的真假相反 即利用其否定为真命题转化解决 解析 1 令f x sinxcosx sin2x x 0 可知f x 在 0 上为增函数 在 上为减函数 由于f 0 0 f f 0 所以0 f x 由于 x0 0 sinx0cosx0 m 为假命题 其否定 x 0 sinxcosx m 为真命题 所以m f x max 即实数m的取值范围是 答案 2 由于命题p x 对 x r sinx cosx m是假命题 则 p x x0 r sinx0 cosx0 m是真命题 sinx cosx sin x m 即可 由于q x x r x2 mx 1 0为真命题 即对于 x r x2 mx 1 0恒成立 有 m2 4 0 2 m 2 依题意 得 m 2 所以实数m的取值范围是 m m 2 互动探究 若题2中 如果对于 x r p x 为假命题且q x 为真命题 改为 如果对于 x r p x 与q x 有且仅有一个是真命题 其他条件不变 求实数m的取值范围 解析 sinx cosx sin x 当p x 是真命题时 m0恒成立 有 m2 4 0 2 m 2 当p x 为真 q x 为假时 m 同时m 2或m 2 即m 2 当p x 为假 q x 为真时 m 且 2 m 2 即 m 2 综上 实数m的取值范围是m 2或 m 2 所以实数m的取值范围是 m m 2或 m 2 拓展提升 含有一个量词的命题与参数范围的求解策略 1 对于全称命题 x m a f x 或af x max 或a f x min 2 对于特称命题 x0 m a f x0 或af x min 或a f x max 3 若全称命题为假命题 通常转化为其否定命题 特称命题为真命题解决 同理 若特称命题为假命题 通常转化为其否定命题 全称命题为真命题解决 变式训练 已知命题p x 1 3 x2 a 0 命题q x0 r x02 2ax0 2 a 0 若命题 p或 q 是假命题 求实数a的取值范围 解析 由 p或 q 是假命题 所以 p且q 是真命题 则p为真命题 q也为真命题 若p为真命题 a x2恒成立 x 1 3 x2 1 9 a 1 若q为真命题 即x2 2ax 2 a 0有实根 4a2 4 2 a 0 即a 2或a 1 综上所述 实数a的取值范围是 a a 2或a 1 易错误区 因忽视函数与方程思想的应用导致无法转化 典例 若 x0 0 sinx0 cosx0 m 为假命题 则实数m的取值范围是 解析 令f x sinx cosx 2sin x x 0 可知f x 在 0 上为增函数 在 上为减函数 由于f 0 f 2 f 1 所以1 f x 2 由于 x0 0 sinx0 cosx0 m 为假命题 则其否定 x 0 sinx cosx m 为真命题 所以m f x min 1 答案 1 误区警示 防范措施 注意命题之间的等价转化的两种形式一是原命题与逆否命题之间的等价关系 二者真假性相同 二是命题与命题的否定之间的等价转化 表现在 若已知命题p为假 常常转化为 p为真进行解题 另外本例也可以间接求得参数m的取值范围 若原命题为真命题 只需m f x min 1 所以原命题为假命题的参数m的取值范围是m 1 类题试解 若 x 0 sinx cosx m 为假命题 则实数m的取值范围是 a m 1b m 1c m 2d 1 m 2 解析 选c 令f x sinx cosx 2sin x x 0 可知f x 在 0 上为增函数 在 上为减函数 由于f 0 f 2 f 1 所以1 f x 2 由于 x 0 sinx cosx m 为假命题 则其否定 x0 0 sinx0 cosx0 m 为真命题 所以m f x max 2 1 命题 x r ex x 的否定是 a x0 r x0b x r ex xc x r ex xd x0 r x0 解析 选d 全称命题 x m p x 的否定为特称命题 x0 m p x0 2 关于命题p x r x2 1 0 的叙述正确的是 a p x0 r x02 1 0b p x r x2 1 0c p是真命题 p是假命题d p是假命题 p是真命题 解析 选c 命题p x r x2 1 0 的否定是 x0 r x02 1 0 所以p是真命题 p是假命题 3 x0 r sinx00b x0 r sinx0 0c x r sinx 0d x r sinx 0 解析 选d 特称命题 x0 m p x0 的否定为全称命题 x m p x 4 命题 有的直线没有斜率 的否定是 解析 命题 有的直线没有斜率 的否定是 任何一条直线都有斜率 答案 任何一