高考数学总复习 212导数在研究函数中的应用课件 理 新人教B版.ppt

第十二节导数在研究函数中的应用 一 利用导数判断函数的单调性设函数y f x 在区间 a b 内可导 1 如果在 a b 内 则f x 在此区间是增函数 a b 为f x 的单调增区间 2 如果在 a b 内 则f x 在此区间是减函数 a b 为f x 的单调减区间 3 如果在 a b 内恒有f x 0 则f x 为常量函数 f x 0 f x 0 二 函数的极值1 函数极值的定义已知函数y f x 及其定义域内一点x0 对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x 如果都有f x f x0 则称函数f x 在点x0处取 记作 并把x0称为函数f x 的一个 如果都有f x f x0 则称函数f x 在点x0处取 记作 并把x0称为函数f x 的一个 极大值与极小值统称为 与统称为极值点 极大值 y极大值 f x0 极大值点 极小值 y极小值 f x0 极小值点 极值 极大值点 极小值点 2 求函数极值的方法 1 求导数f x 2 求方程f x 0的所有实数根 3 对每个实数根进行检验 判断在每个根的左右侧 导函数f x 的符号如何变化 如果f x 的符号 则f x0 是极大值 如果f x 的符号 则f x0 是极小值 如果在f x 0的根x x0的左 右侧 f x 的 则f x0 不是极值 由正变负 由负变正 符号不变 疑难关注 1 f x 0与f x 为增函数的关系f x 0能推出f x 为增函数 但反之不一定 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 所以f x 0是f x 为增函数的充分不必要条件 2 可导函数的极值点必须是导数为0的点 但导数为0的点不一定是极值点 即f x0 0是可导函数f x 在x x0处取得极值的必要不充分条件 如函数y x3在x 0处有y x0 0 0 但x 0不是极值点 此外不可导的点也可能是函数的极值点 1 课本习题改编 函数f x x3 ax2 3x 9在x 3处取得极值 则a a 2b 3c 4d 5解析 f x 3x2 2ax 3 函数f x x3 ax2 3x 9 在x 3处有极值 f 3 0 3 9 6a 0 a 5 答案 d 答案 c 3 2012年高考陕西卷 设函数f x xex 则 a x 1为f x 的极大值点b x 1为f x 的极小值点c x 1为f x 的极大值点d x 1为f x 的极小值点解析 利用导数的乘法法则求解 f x xex f x ex xex ex 1 x 当f x 0时 即ex 1 x 0 即x 1 x 1时函数y f x 为增函数 同理可求 x 1时函数f x 为减函数 x 1时 函数f x 取得极小值 答案 d 4 课本习题改编 已知f x x3 ax在 1 上是单调增函数 则a的最大值是 解析 f x 3x2 a 在x 1 上f x 0 f 1 0 即3 1 a 0 a 3 答案 35 2013年皖南八校联考 已知函数f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值 则实数a的取值范围是 解析 f x 3x2 2ax a 6 因为函数f x 有极大值和极小值 所以f x 0有两个不相等的实数根 所以 4a2 4 3 a 6 0 解得a6 答案 a6 考向一函数的单调性与导数 例1 2012年高考北京卷改编 已知函数f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 1 若曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 求a b的值 2 当a2 4b时 求函数f x g x 的单调区间 解析 1 f x 2ax g x 3x2 b 因为曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 所以f 1 g 1 且f 1 g 1 1 2013年郑州模拟 若函数f x mx2 lnx 2x在定义域内是增函数 则实数m的取值范围是 此时g x g x 随x的变化情况如下表 考向三函数单调性与极值的综合问题 例3 2012年高考浙江卷 已知a r 函数f x 4x3 2ax a 1 求f x 的单调区间 2 证明 当0 x 1时 f x 2 a 0 解析 1 由题意得f x 12x2 2a 当a 0时 f x 0恒成立 此时f x 的单调递增区间为 思想方法 分类讨论思想在导数中的应用 典例 2012年高考新课全国标卷 设函数f x ex ax 2 1 求f x 的单调区间 2 若a 1 k为整数 且当x 0时 x k f x x 1 0 求k的最大值 思路导析 1 确定定义域后求f x 解f x 0时注意分类讨论 2 由条件分离参数k后构造新函数求其最小值 由 1 知 函数h x ex x 2在 0 上单调递增 而h 1 0 所以h x 在 0 上存在唯一的零点 故g x 在 0 上存在唯一的零点 设此零点为 则 1 2 当x 0 时 g x 0 所以g x 在 0 上的最小值为g 又由g 0 可得e 2 所以g 1 2 3 由于 式等价于k g 故整数k的最大值为2 思维升华 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论 常见的分类讨论标准有以下几种可能 1 方程f x 0是否有根 2 若f x 0有根 求出根后是否在定义域内 3 若根在定义域内且有两个 比较根的大小是常见的分类方法 1 2012年高考福建卷 已知f x x3 6x2 9x abc a0 f 0 f 1 0