高考数学总复习 第2章 第11讲导数的应用(一)配套课件 理 新人教A版.ppt

不同寻常的一本书 不可不读哟 1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数一般不超过三次 1个重要前提当确定函数的单调区间 求函数的极大 小 值时 都应首先考虑定义域 函数的单调区间应是其定义域的子集 2项必须注意1 对于含有两个或两个以上的单调增区间 或单调减区间 中间用 或 和 连接 而不能用符号 连接 2 可导函数的极值点x0一定满足f x0 0 但当f x1 0时 x1不一定是极值点 如f x x3 f 0 0 但x 0不是极值点 3个必会条件1 f x 0在 a b 上成立是f x 在 a b 上单调递增的充分条件 2 对于可导函数f x f x0 0是函数f x 在x x0处有极值的必要不充分条件 3 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 课前自主导学 1 函数的单调性与导数的关系在区间 a b 内 函数的单调性与其导数的正负有如下关系 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内 如果f x 0 那么f x 在这个区间内 1 函数f x x3 3x2单调减区间 2 已知a 0 f x x3 ax在 1 2 单调递增 则a的最大值是 3 函数y x lnx的单调递减区间 2 函数的极值与导数的关系 1 函数的极小值函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都 f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的 2 函数的极大值函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近的其他点的函数值都 f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 则点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的 极小值点 极大值点统称为极值点 极大值和极小值统称为 1 函数f x x3 3x2 1在x 处取得极小值 2 函数y ax3 bx在x 1处有极值 2 则a b 3 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数f x 在开区间 a b 内有极小值点的个数为 1 单调递增单调递减为常数填一填 1 0 2 2 3提示 f x 3x2 a 0 在 1 2 上恒成立 a 3x2 即a 3 a最大值为3 3 0 1 提示 y 1 0 00极小值大f x 0f x 0极大值极值 填一填 1 2提示 f x 3x2 6x f x 在 0 2 为减函数 在 2 为增函数 在x 2处取得极小值 2 2提示 f x 3ax2 b f 1 3a b 0 又f 1 a b 2 3 1提示 从f x 的图象可知f x 在 a b 内从左到右的单调性依次为增 减 增 减 在 a b 内有一个极小值点 核心要点研究 例1 2011 浙江高考 设函数f x a2lnx x2 ax a 0 1 求f x 的单调区间 2 求所有的实数a 使e 1 f x e2对x 1 e 恒成立 注 e为自然对数的底数 审题视点 求解不等式f x 0 或f x 0可得相应的单调区间 不等式恒成立问题往往转化为函数的最值问题处理 用导数法研究函数的单调性需注意 求所给函数的定义域 在定义域内解f x 0得单增区间f x 0得单减区间 导数在单调性方面的应用还包括 已知单调性求参数范围 解题时需注意 若f x 在给定区间上单增 减 则f x 0 0 在该区间上恒成立 答案 1 1 和 0 2 c 2 f x x 则问题即为 x 0在 1 上恒成立 可化为b x 2 x x2 2x在 1 上恒成立 而x2 2x在 1 上大于 1 则b 1 审题视点 1 先求f x 的导数f x 由题意知f 1 0 求得a值 2 求出使f x 0成立的点 再结合定义域研究这些点附近左右两侧的单调性 进而求出极值 当x 0 1 时 f x 0 故f x 在 1 上为增函数 故f x 在x 1处取得极小值f 1 3 奇思妙想 本例已知改为 函数f x ex ax2 ex a r 其在点 1 f 1 处的切线平行于x轴 问题不变 该如何作答 解 1 由于f x ex 2ax e 曲线f x 在点 1 f 1 处切线斜率k 2a 0 所以a 0 2 由 1 知f x ex ex 此时f x ex e 由f x 0得x 1 当x 1 时 有f x 0 所以f x 在 1 为减函数 在 1 为增函数 故f x 在x 1处取得极小值f 1 0 运用导数求可导函数y f x 的极值的步骤 1 先求函数的定义域 再求函数y f x 的导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检查f x 在方程根的左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 即f x 0的点不一定是极值点 变式探究 2012 江苏高考 若函数y f x 在x x0处取得极大值或极小值 则称x0为函数y f x 的极值点 已知a b是实数 1和 1是函数f x x3 ax2 bx的两个极值点 1 求a和b的值 2 设函数g x 的导函数g x f x 2 求g x 的极值点 解 1 因为f x x3 ax2 bx 所以f x 3x2 2ax b 且f 1 3 2a b 0 f 1 3 2a b 0 解得a 0 b 3 经检验 当a 0 b 3时 1和 1是函数f x x3 ax2 bx的两个极值点 综上 所求的a和b的值分别为0 3 2 由 1 知f x x3 3x 所以g x x3 3x 2 x 1 2 x 2 令g x 0 得x 1或x 2 当x变化时 g x g x 的变化情况如下表所示 所以x 2是函数g x 的极小值点 即函数g x 的极值点为 2 所以 f x 的单调递增区间是 3 1 单调递减区间是 3 1 1 1 所以 f x 的单调递增区间是 3 1 单调递减区间是 3 1 1 1 1 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯 可使问题直观且有条理 减少失分的可能 2 如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个 这些区间之间一般不能用并集符号 连接 只能用 或 和 字隔开 变式探究 2012 重庆高考 已知函数f x ax3 bx c在点x 2处取得极值c 16 1 求a b的值 2 若f x 有极大值28 求f x 在 3 3 上的最小值 2 由 1 知f x x3 12x c f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x1 2 x2 2 当x 2 时 f x 0 故f x 在 2 上为增函数 当x 2 2 时 f x 0 故f x 在 2 2 上为减函数 当x 2 时 f x 0 故f x 在 2 上为增函数 由此可知f x 在x1 2处取得极大值f 2 16 c f x 在x2 2处取得极小值f 2 c 16 由题设条件知16 c 28得c 12 此时f 3 9 c 21 f 3 9 c 3 f 2 16 c 4 因此f x 在 3 3 上的最小值为f 2 4 课课精彩无限 选题 热考秀 2012 江西高考 已知函数f x ax2 bx c ex在 0 1 上单调递减且满足f 0 1 f 1 0 求a的取值范围 规范解答 由f 0 1 f 1 0得c 1 a b 1 则f x ax2 a 1 x 1 ex f x ax2 a 1 x a ex 依题意须对于任意x 0 1 有f x 0时 因为二次函数y ax2 a 1 x a的图象开口向上 而f 0 a 0 所以须f 1 a 1 e 0 即0 a 1 当a 1时 对于任意x 0 1 有f x x2 1 ex0 f x 不符合条件 故a的取值范围为0 a 1 备考 角度说 no 1角度关键词 审题视角由f 0 1 f 1 0可求出b与a c的关系式 求出f x 依题意需对于任意x 0 1 有f x 0 由于解析式中含有参数a 要对a进行分类讨论求解 no 2角度关键词 方法突破一般地 遇到题目中含有参数的问题 常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论 此种题目为含参型 应全面分析参数变化引起结论的变化情况 参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想 分类做到分类标准明确 不重不漏 经典演练提能 答案 b 2 2012 陕西高考 设函数f x xex 则 a x 1为f x 的极大值点b x 1为f x 的极小值点c x 1为f x 的极大值点d x 1为f x 的极小值点答案 d解析 f x ex xex ex 1 x x 1时 f x 0 x 1为f x 极小值点 选d项 答案 a 4 2013 哈尔滨模拟 如图是函数y f x 的导函数y f x 的图象 下列说法错误