高考数学 2.4二次函数配套课件 文 北师大版.ppt

第四节二次函数 三年3考高考指数 1 理解并掌握二次函数的定义 图像及性质 2 会求二次函数在闭区间上的最值 3 能用二次函数 一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决问题 1 二次函数图像的应用及求最值是高考的热点 2 常将二次函数及相应的一元二次不等式 一元二次方程交汇在一起命题 重点考查三者之间的综合应用 3 题型以选择题 填空题为主 若与导数 解析几何知识交汇 则以解答题的形式出现 1 二次函数的解析式 即时应用 1 判断下列函数是否为二次函数 请在括号内填 是 或 否 y y x4 x2 y y 1 3x x2 y 2 x 1 2 3 y 3 x 2 x 3 y 2sin2x sinx 3 y 2 若二次函数图像的最高点为 1 3 且过点 0 4 则其解析式为 3 已知抛物线与x轴交于点a 1 0 b 1 0 并经过点m 0 1 则抛物线的解析式为 解析 1 根据二次函数的概念及特点判断 是二次函数 其余都不是 2 设y a x 1 2 3 又过点 0 4 4 a 0 1 2 3 解得a 1 y x 1 2 3 x2 2x 4 3 点a 1 0 b 1 0 是抛物线与x轴的交点 设抛物线的解析式为y a x 1 x 1 将m 0 1 代入 得1 a 即a 1 y x 1 x 1 x2 1 答案 1 否 否 否 是 是 是 否 否 2 y x2 2x 4 3 y x2 1 2 二次函数的图像与性质 r r 当x 时 函数有最小值 当x 时 函数有最大值 当b 0时为偶函数 即时应用 1 已知二次函数f x 的图像的对称轴是x x0 它在区间 a b 上的值域为 f b f a 判断下列命题的真假 x0 b x0 a x0 a b x0 a b 2 已知函数f x 3x2 12x 5 当x 0 3 时 f x min f x max 3 如果函数f x x2 a 2 x b x a b 的图像关于直线x 1对称 则函数f x 的最小值为 解析 1 二次函数f x 在 a b 上的值域为 f b f a a b 应在二次函数对称轴的某一侧或x0 a或x0 b 又 x x0为其对称轴方程 x0 a b 故 真 假 假 假 2 f x 3 x 2 2 7 f x 在 0 2 上递减 在 2 3 上递增 f x min f 2 7 f x max f 0 5 3 函数f x x2 a 2 x b的对称轴为又 函数f x x2 a 2 x b x a b 的图像关于直线x 1对称 a 4 b 6 f x x2 2x 6 x 4 6 因此 该函数当x 1时取最小值5 答案 1 假 假 假 真 2 75 3 5 求二次函数的解析式 方法点睛 求二次函数解析式的方法求二次函数的解析式 一般用待定系数法 其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式 一般选择规律如下 例1 设二次函数f x 满足f x 2 f x 2 且图像在y轴上的截距为1 在x轴上截得的线段长为求f x 的解析式 解题指南 二次函数f x 满足f x t f t x 则其对称轴方程为x t 图像在x轴上截得的线段长度公式为 x1 x2 本题可设f x 的一般式 亦可设顶点式 规范解答 设f x 的两零点分别为x1 x2 方法一 设f x ax2 bx c 则由题知 c 1 且对称轴为x 2 2 即b 4a f x ax2 4ax 1 函数f x 的解析式为f x 2x 1 方法二 f x 2 f x 2 二次函数f x 的对称轴为x 2 设f x a x 2 2 b 且f 0 1 4a b 1 f x a x 2 2 1 4a ax2 4ax 1 反思 感悟 待定系数法求二次函数解析式的步骤 变式训练 2012 延安模拟 如图 抛物线与直线y k x 4 都经过坐标轴的正半轴上a b两点 该抛物线的对称轴x 1与x轴相交于点c 且 abc 90 求 1 直线ab的方程 2 抛物线的方程 解析 1 由已知得 a 4 0 b 0 4k c 1 0 又 cba boc 90 ob2 co ao 4k 2 1 4 k 又 由图知k 0 k 所求直线的方程为y 2 设抛物线的方程为y ax2 bx c 所求抛物线的方程为 变式备选 已知二次函数f x 同时满足条件 1 f 1 x f 1 x 2 f x 的最大值为15 3 f x 0的两根立方和等于17 求f x 的解析式 解析 依条件 设f x a x 1 2 15 a 0 即f x ax2 2ax a 15 令f x 0 即ax2 2ax a 15 0 设两根为x1 x2 则x1 x2 2 x1x2 1 而 x1 x2 3 3x1x2 x1 x2 2 17 则a 6 f x 6x2 12x 9 二次函数的图像与性质的应用 方法点睛 1 求二次函数最值的类型及解法 1 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型 轴定区间定 轴动区间定 轴定区间动 不论哪种类型 解决的关键是对称轴与区间的关系 当含有参数时 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 2 常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解 在区间的端点或二次函数图像的顶点处取得最值 2 二次函数单调性问题的解法主要结合二次函数图像的升 降对对称轴进行分析讨论求解 提醒 配方法是解决二次函数最值问题的常用方法 但要注意自变量范围与对称轴之间的关系 例2 2012 郑州模拟 已知函数f x x2 2ax 3 x 4 6 1 当a 2时 求f x 的最值 2 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 4 6 上是单调函数 3 当a 1时 求f x 的单调区间 解题指南 解答 1 和 2 可根据对称轴与区间的关系 结合图像或单调性直接求解 对于 3 应先将函数化为分段函数 再求单调区间 规范解答 1 当a 2时 f x x2 4x 3 x 2 2 1 则函数在 4 2 上为减函数 在 2 6 上为增函数 f x min f 2 1 f x max f 4 4 2 4 4 3 35 2 函数f x x2 2ax 3的对称轴为x a 要使f x 在 4 6 上为单调函数 只需 a 4或 a 6 解得a 4或a 6 3 当a 1时 f x x2 2 x 3其图像如图所示 又 x 4 6 f x 的减区间为 4 1 和 0 1 增区间为 1 0 和 1 6 1 2 1 2 o x y 互动探究 若将本例 2 中单调变为不单调 则结果如何 解析 需 4 a 6 解得 6 a 4 反思 感悟 1 影响二次函数f x 在区间 m n 上最值的要素有三个 即抛物线的开口方向 对称轴位置 闭区间 常用数形结合思想求解 但当三要素中有一要素不明确时 要分情况讨论 2 二次函数单调性的确定与应用 常与二次函数的图像数形结合求解 变式备选 已知f x x2 3x 5 x t t 1 若f x 的最小值为h t 写出h t 的解析式 求h t 的最小值 解析 f x x2 3x 5的对称轴为x 当t 1 即t 时 h t f t 1 t 1 2 3 t 1 5 t2 5t 1 t 当t t 1 即时 当t 时 h t f t t2 3t 5 t 综上可知 h t 当t 时 h t t2 5t 1 2 5 1 当时 h t 当t 时 h t t2 3t 5 2 3 5 即对于任意的实数t恒有h t 即h t 有最小值 二次函数与一元二次方程 一元二次不等式的综合问题 方法点睛 1 解决一元二次方程根的分布问题的方法常借助于二次函数的图像数形结合来解一元二次方程根的分布问题 一般常从以下几点着手 1 开口方向 2 对称轴位置 3 判别式 4 端点函数值符号四个方面分析 2 解决一元二次不等式的有关问题的策略一般需借助于二次函数的图像 性质求解 例3 2012 巢湖模拟 已知函数f x ax2 2x c a c n 满足 f 1 5 6 f 2 11 1 求a c的值 2 若对任意的实数x 都有f x 2mx 1成立 求实数m的取值范围 解题指南 解答本题 1 利用f 1 5 将c用a表示 再根据6 f 2 11构造a的不等式 结合a n 求解 2 可以有两条途径 方法一 构造函数g x f x 2mx 求其在 上的最大值g x max 再构造不等式g x max 1求解 方法二 用分离参数法求解 规范解答 1 f 1 a 2 c 5 c 3 a 又 6 f 2 11 即6 4a c 4 11 将 式代入 式 得又 a c n a 1 c 2 2 由 1 知f x x2 2x 2 方法一 设g x f x 2mx x2 2 1 m x 2 当即m 2时 故只需 3m 1 解得m 又 m 2 故无解 当即m 2时 故只需 m 2 m 综上可知 m的取值范围是m 方法二 由f x 2mx 1 即x2 2 1 m x 2 1 x 得2 1 m x 在 上恒成立 令g x x 则g x 当x 1 时 g x 0 故g x 在 1 上递增 当x 1 时 g x 0 故g x 在 1 上递减 而 反思 感悟 1 一元二次不等式的求解 恒成立问题及一元二次方程根的确定与应用问题常转化为二次函数图像和性质的应用问题求解 但要注意讨论及考虑全面 2 关于不等式的恒成立问题 能用分离参数法 尽量用 因为该法可以避开频繁地对参数的讨论 变式训练 已知f x 3x2 a 6 a x b 若方程f x 0有一根小于1 另一根大于1 当b 6且b为常数时 求实数a的取值范围 解析 3 0 由图知 只需f 1 0便可满足题意 3 a 6 a b 0 a2 6a 3 b 0 变式备选 二次函数f x 的二次项系数为负 且对任意实数x 恒有f x f 4 x 若f 1 3x2 f 1 x x2 则x的取值范围是 解析 由f x f 4 x 知二次函数f x 图像的对称轴是x 2 又二次项系数为负 f x 在 2 上递增 又 1 3x2 1 2 1 x x2 2 且f 1 3x2 f 1 x x2 1 3x2 1 x x2 解得x 0或x 答案 0 满分指导 二次函数解答题的规范解答 典例 12分 2012 西安模拟 已知函数f x ax2 x 2a 1 a为实常数 1 若a 1 作函数f x 的图像 2 设f x 在区间 1 2 上的最小值为g a 求g a 的表达式 3 设h x 若函数h x 在区间 1 2 上是增函数 求实数a的取值范围 解题指南 解答本题 1 需将f x 化为分段函数 从而转化为画二次函数图像的问题 但要注意函数的定义域 2 分a 0 a 0两种情况讨论 而a 0 又需按对称轴与区间 1 2 的关系 再次分类讨论 3 可由h x 0在 1 2 上恒成立求解 规范解答 1 当a 1时 作图 如图所示 2分 2 当x 1 2 时 f x ax2 x 2a 1 若a 0 则f x x 1在区间 1 2 上是减函数 g a f 2 3 3分若a 0 则f x f x 图像的对称轴是直线当a 0时 f x 在区间 1 2 上是减函数 g a f 2 6a 3 4分当0 1 即a 时 f x 在区间 1 2 上是增函数 g a f 1 3a 2 当1 2 即时 g a f 2a 1 当 2 即0 a 时 f x 在区间 1 2 上是减函数 g a f 2 6a 3 5分 3 当x 1 2 时 h x h x 又 h x 在 1 2 上为增函数 h x 0在 1 2 上恒成立 7分令 x 当2a 1 0即a 时 x 在 1 2 上为减函数 由h x 0 得 2 8分当2a 1 0 即a 时 h x x 1 显然在 1 2 上为增函数 9分当2a 1 0 即a 时 x 在 1 2 上为增函数 x min 1 a 1 由已知得 a 1 0 解得 a 1 又a 故 a 1 11分综上可知 a 1 12分 阅卷人点拨 通过对试题的阅卷数据分析 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 蚌埠模拟 若函数f x x2 ax a r 则下列结论正确的是 a 存在a r f x 是偶函数 b 存在a r f x 是奇函数 c 对于任意的a r f x 在 0 上是增函数 d 对于任意的a r f x 在 0 上是减函数 解析 选a 对函数f x x2 ax a r 当a 0时 f x 为偶函数 故a正确 2 2012 新余模拟 若关于x的方程x2 x m 1 0在 1 1 上有解 则m的取值范围是 解析 选d 由x2 x m 1 0 得m 1 x2 x x 2 即m x 2 当x 1 1 时 m 1故选d 3 2011 湖南高考 函数y ax2 bx与x ab 0 a b 在同一直角坐标系中的图像可能是 解析 选d 在a中由抛物线的开口向上得到a 0 由抛物线与x轴的另一个交点的横坐标满足0 1 不能得到 1 a不正确 在b中由抛物线的开口向下得到a1 b不正确 在c中由抛物线的开口向下得到a1 此时对数函数图像应该单调递增 c错误 在