吉林省松原市扶余县第一中学高三数学 随机变量的方差复习课件 新人教A版 .ppt

离散性随机变量的方差 温故而知新 1 离散型随机变量x的均值 数学期望 2 均值的性质 3 两种特殊分布的均值 1 若随机变量x服从两点分布 则 2 若 则 反映了离散型随机变量取值的平均水平 二 探究 发现两个均值相等 因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平 一 随机变量的方差 1 分别画出的分布列图 2 比较两个分布列图形 哪一名同学的成绩更稳定 除平均中靶环数以外 还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗 1 定性分析 第二名同学的成绩更稳定 2 定量分析 样本的稳定性是用哪个量刻画的 方差 在一组数 x1 x2 xn中 各数据的平均数为 则这组数据的方差为 类似于这个概念 我们可以定义随机变量的方差 复习 离散型随机变量取值的方差和标准差 定义 3 对方差的几点说明 1 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度 方差或标准差越小 则随机变量偏离于均值的平均程度越小 2 随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别 随机变量的方差是常数 而样本的方差是随着样本的不同而变化的 因此样本的方差是随机变量 对于简单随机样本 随着样本容量的增加 样本方差越来越接近总体方差 因此常用样本方差来估计总体方差 1 已知随机变量x的分布列 求dx和 x 解 2 若随机变量x满足p x c 1 其中c为常数 求ex和dx ex c 1 c dx c c 2 1 0 练习 结论1 则 结论2 若 b n p 则e np 结论 3 若 服从两点分布 则 结论3 若 服从两点分布 则 1 已知随机变量x的分布列 则ex与dx的值为 a 0 6和0 7 b 1 7和0 3 c 0 3和0 7 d 1 7和0 212 已知x b 100 0 5 则ex dx x e 2x 1 d 2x 1 2x 1 d 50 25 5 99 100 10 3 有一批数量很大的商品 其中次品占1 现从中任意地连续取出200件商品 设其次品数为x 求ex和dx 2 1 98 练习 4 若随机变量 服从二项分布 且e 6 d 4 则此二项分布是 设二项分布为 b n p 则 试比较两名射手的射击水平 如果其他对手的射击成绩都在8环左右 应派哪一名选手参赛 如果其他对手的射击成绩都在9环左右 应派哪一名选手参赛 例1 已知甲 乙两名射手在同一条件下射击 所得环数x1 x2的分布列如下 如果对手在8环左右 派甲 如果对手在9环左右 派乙 例2 随机抛掷一枚质地均匀的骰子 求向上一面的点数的均值 方差和标准差 解 抛掷散子所得点数x的分布列为 从而 还有解法不 例3 有甲乙两个单位都愿意聘用你 而你能获得如下信息 根据工资待遇的差异情况 你愿意选择哪家单位 解 因为 所以两家单位的工资均值相等 但甲单位不同职位的工资相对集中 乙单位不同职位的工资相对分散 这样 如果你希望不同职位的工资差距小一些 就选择甲单位 如果你希望不同职位的工资差距大一些 就选择乙单位 小结 2 求离散型随机变量x的方差 标准差的一般步骤 根据方差 标准差的定义求出 理解x的意义 写出x可能取的全部值 求x取各个值的概率 写出分布列 根据分布列 由期望的定义求出ex 1 熟记方差计算公式 5 对于两个随机变量和在与相等或很接近时 比较和 可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际 适合人们的需要 4 掌握方差的线性变化性质 3 能熟练地直接运用两个特殊分布的方差公式 1 若x服从两点分布 则 2 若 则 补充作业 一厂家向用户提供的一箱产品共10件 其中有n件次品 用户先对产品进行抽检以决定是否接收 抽检规则是这样的 一次取一件产品检查 取出的产品不放回箱子 若前三次没有抽查到次品 则用户接收这箱产品 若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检 并且用户拒绝接收这箱产品 1 若这箱产品被用户接收的概率是 求n的值 2 在 1 的条件下 记抽检的产品件数为x 求x的分布列和数学期望 机动练习 117 10 0 8 3 有场赌博 规则如下 如掷一个骰子 出现1 你赢8元 出现2或3或4 你输3元 出现5或6 不输不赢 这场赌博对你是否有利 对你不利 劝君莫参加赌博 解 输赢金钱为随机变量则有分布列为 4 随机变量x的分布列如下 其中a b c成等差数列 若e x 则d x 的值是 解析 a b c 1 又 2b a c 故b 由e x 故a d x 答案 对随机变量x的均值 期望 的理解 1 均值是算术平均值概念的推广 是概率意义上的平均 2 e x 是一个实数 由x的分布列唯一确定 也就是说随机变量x可以取不同的值 而e x 是不变的 它描述的是x取值的平均状态 3 e x 的公式直接给出了e x 的求法 2010 衡阳模拟 一厂家向用户提供的一箱产品共10件 其中有n件次品 用户先对产品进行抽检以决定是否接收 抽检规则是这样的 一次取一件产品检查 取出的产品不放回箱子 若前三次没有抽查到次品 则用户接收这箱产品 若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检 并且用户拒绝接收这箱产品 1 若这箱产品被用户接收的概率是 求n的值 2 在 1 的条件下 记抽检的产品件数为x 求x的分布列和数学期望 1 利用古典概型易求 2 x的取值为1 2 3 求出分布列代入期望公式 解 1 设 这箱产品被用户接收 为事件a n 2 2 x的可能取值为1 2 3 p a p x 1 p x 2 p x 3 x的概率分布列为 1 2010 河南六市联考 甲 乙 丙 丁四人参加一家公司的招聘面试 公司规定面试合格者可签约 甲 乙面试合格就签约 丙 丁面试都合格则一同签约 否则两人都不签约 设每人面试合格的概率都是 且面试是否合格互不影响 求 1 至少有三人面试合格的概率 2 恰有两人签约的概率 3 签约人数的数学期望 解 1 设 至少有3人面试合格 为事件a 则p a 2 设 恰有2人签约 为事件b 甲 乙两人签约 丙 丁两人都不签约 为事件b1 甲 乙两人都不签约 丙 丁两人签约 为事件b2 则 b b1 b2p b p b1 p b2 3 设x为签约人数 x的分布列如下 p x 0 p x 1 p x 2 p x 3 p x 4 2010 贵阳模拟 有甲 乙两个建材厂 都想投标参加某重点建设 为了对重点建设负责 政府到两建材厂抽样检查 他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标 其分布列如下 举一反三1 某有奖竞猜活动设有a b两组相互独立的问题 答对问题a可赢得奖金3万元 答对问题b可赢得奖金6万元 规定答题顺序可任选 但只有一个问题答对后才能解答下一个问题 否则中止答题 假设你答对问题a b的概率依次为 若你按先a后b的次序答题 写出你获得奖金的数额 的分布列及期望值e 解析 若按先a后b的次序答题 获得奖金数额 的可取值为0 3 万元 9 万元 p 0 p 3 p 9 的分布列为 题型二求随机变量的方差 例2 编号1 2 3的三位学生随意入座编号1 2 3的三个座位 每位学生坐一个座位 设与座位编号相同的学生人数是x 1 求随机变量x的概率分布列 2 求随机变量x的期望与方差 的数学期望为e 分析 1 随机变量x的意义是对号入座的学生个数 所有取值为0 1 3 若有两人对号入座 则第三人必对号入座 由排列与等可能事件概率易求分布列 2 直接利用数学期望与方差公式求解 解 1 p x 0 p x 1 p x 3 故x的概率分布列为 2 e x d x 举一反三2 设在15个同类型的零件中有2个次品 每次任取1个 共取3次 并且每次取出后不再放回 若用x表示取出次品的个数 1 求x的分布列 2 求x的均值e x 和方差d x 学后反思求离散型随机变量x的方差的步骤 1 写出x的所有取值 2 计算p x xi 3 写出分布列 并求出期望e x 4 由方差的定义求出d x 解析 1 p x 0 p x 1 p x 2 故x的分布列为 2 x的均值e x 和方差d x 分别为e x d x 题型四期望与方差的综合应用 例4 14分 2008 广东 随机抽取某厂的某种产品200件 经质检 其中有一等品126件 二等品50件 三等品20件 次品4件 已知生产1件一 二 三等品获得的利润分别为6万元 2万元 1万元 而生产1件次品亏损2万元 设1件产品的利润 单位 万元 为 1 求 的分布列 2 求1件产品的平均利润 即 的数学期望 3 经技术革新后 仍有四个等级的产品 但次品率降为1 一等品率提高为70 如果此时要求1件产品的平均利润不小于4 73万元 则三等品率最多是多少 分析求 的分布列时 要先求 取各值时的概率 解 1 的所有可能取值有6 2 1 2 1 p 6 0 63 2 p 2 0 25 3 p 1 0 1 4 p 2 5 故 的分布列为 7 2 e 6 0 63 2 0 25 1 0 1 2 0 02 4 34 9 3 设技术革新后的三等