第四章 第五节 数系的扩充与复数的引入.ppt

第五节数系的扩充与复数的引入 1 复数的有关概念 1 定义 形如a bi a b R i是虚数单位 的数叫作复数 其中a叫作 记作a Rez b叫作 记作b Imz 复数通常表示为 z a bi a b R 复数的全体组成的集合叫作复数集 记作 实部 虚部 C 2 分类 b 0 b 0 3 复数相等 a bi c di a b c d R 4 共轭复数 当两个复数的实部 虚部互为 时 将这两个复数叫作互为共轭复数 即z a bi a b R 则 a b R 5 复数的模 设复数z a bi在复平面内对应的点是Z a b 点Z到原点的距离 叫作复数z的模或绝对值 记作 z 显然 z a bi a b R 相等 相反数 a bi OZ 2 复数的几何意义 1 复平面的概念 当用直角坐标平面内的点来表示 时 称这个直角坐标平面为复平面 2 实轴 虚轴 在复平面内 x轴称为 y轴称为 实轴上的点都表示 除原点以外 虚轴上的点都表示 3 复数的几何表示 复数z a bi a b R 复平面内的点 平面向量 实轴 虚轴 实数 纯虚数 一一对应 一一对应 复数 Z a b 3 复数的四则运算 1 运算法则 设z1 a bi z2 c di a b c d R 则 a c b d i ac bd ad bc i 2 复数加法的运算律 设z1 z2 z3 C 则复数加法满足以下运算律 交换律 z1 z2 结合律 z1 z2 z3 3 乘法的运算律 z1 z2 交换律 z1 z2 z3 结合律 z1 z2 z3 乘法对加法的分配律 z2 z1 z1 z2 z3 z1z2 z1z3 z2 z1 z1 z2 z3 4 正整数指数幂的运算律 m n N zmzn zm n zm n z1z2 n zmn z1nz2n 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 方程x2 x 1 0没有解 2 复数z a bi a b R 中 虚部为bi 3 复数中有相等复数的概念 因此复数可以比较大小 4 原点是实轴与虚轴的交点 5 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离 也就是复数对应的向量的模 6 复数的加减运算类似于多项式的加减运算 乘法运算类似于多项式的乘法运算 除法运算类似于分母有理化 在乘除运算中要注意i2 1 解析 1 错误 在实数范围内 方程x2 x 1 0没有实数解 但在复数范围内 此方程有解 且解为故不正确 2 错误 根据复数的概念 在复数z a bi a b R 中 虚部应为b 故不正确 3 错误 只有当两个复数都为实数时 它们才能比较大小 其他情况不能比较大小 故不正确 4 正确 原点在实轴上 也在虚轴上 故正确 5 正确 根据复数的几何意义可知此结论正确 6 正确 根据复数的四则运算的法则 结论正确 答案 1 2 3 4 5 6 1 已知a R 若 1 ai 3 2i 为纯虚数 则a的值为 A B C D 解析 选A 1 ai 3 2i 3 2a 2 3a i为纯虚数 故得a 2 复数 i是虚数单位 的实部是 A B C D 解析 选A 实部为 3 若a b R i为虚数单位 且 a i i b i 则 A a 1 b 1 B a 1 b 1 C a 1 b 1 D a 1 b 1 解析 选C 由 a i i b i 得 1 ai b i 根据复数相等得 a 1 b 1 4 已知i为虚数单位 则复数对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解析 选C z 故复数对应的点为位于第三象限 5 设z1是复数 其中表示z1的共轭复数 已知z2的实部是 1 则z2的虚部为 解析 设z1 x yi x y R 则z2 x yi i x yi x y y x i 故有x y 1 则y x 1 答案 1 考向1复数的概念 典例1 1 2012 江西高考 若复数z 1 i i为虚数单位 是z的共轭复数 则的虚部为 A 0 B 1 C 1 D 2 2 2012 湖南高考 已知复数z 3 i 2 i为虚数单位 则 z 3 2012 江苏高考 设a b R a bi i为虚数单位 则a b的值为 思路点拨 规范解答 1 选A 因为z 1 i 所以 1 i 1 i 2 1 i 2 2i 2i 0 故虚部为0 2 由条件得z 3 i 2 9 6i 1 8 6i 答案 10 3 a bi a 5 b 3 a b 8 答案 8 互动探究 本例题 3 的条件不变 结论改为 则复数z a bi的共轭复数 结果如何 解析 由本例题 3 的解题过程可得z 5 3i 所以 5 3i 答案 5 3i 拓展提升 解答复数概念题的关注点 1 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题 解题时只需把复数化为a bi a b R 的形式 确定出实部 虚部即可 2 复数z a bi a b R 的模实际上就是指复平面上的点Z到原点O的距离 z1 z2 的几何意义是复平面上的点Z1 Z2之间的距离 变式备选 1 若复数 a R i为虚数单位 是纯虚数 则实数a的值为 A 2 B 4 C 6 D 6 解析 选C 复数是纯虚数 2 已知a R 复数z1 2 ai z2 1 2i 若为纯虚数 则复数的虚部为 解析 为纯虚数 故的虚部为1 答案 1 考向2复数的几何意义 典例2 1 在复平面内 向量对应的复数是2 i 向量对应的复数是 1 3i 则向量对应的复数是 A 1 2i B 1 2i C 3 4i D 3 4i 2 复数 i为虚数单位 在复平面内对应的点所在的象限为 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 2013 西安模拟 已知f x x2 i是虚数单位 则在复平面内复数对应的点在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 思路点拨 1 根据复数加法的几何意义求解 2 先把复数化为a bi a b R 的形式 再判断对应的点所在的象限 3 求出复数再判断对应的点所在的象限 规范解答 1 选D 向量对应的复数是2 i 则对应的复数是 2 i 对应的复数是 1 3i 2 i 3 4i 2 选B 故复数对应的点是 1 1 在第二象限 3 选A 故复数对应的点是 在第一象限 拓展提升 对复数几何意义的理解及应用 1 复数z 复平面上的点Z及向量相互联系 即z a bi a b R Z a b 2 由于复数 点 向量之间建立了一一对应的关系 因此可把复数 向量与解析几何联系在一起 解题时可运用数形结合的方法 使问题的解决更加直观 变式训练 1 已知i是虚数单位 则复数z i 2i2 3i3所对应的点落在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解析 选C z i 2i2 3i3 i 2 3i 2 2i 对应的点是 2 2 故选C 2 已知复数的对应点在复平面的第二 四象限的角平分线上 则实数a 解析 已知复数 1 a 1 i 由题意知a 1 1 解得a 2 答案 2 考向3复数代数形式的四则运算 典例3 1 2012 辽宁高考 复数 2 2012 安徽高考 复数z满足 z i 2 i 5 则z A 2 2i B 2 2i C 2 2i D 2 2i 3 若z cos isin i为虚数单位 则使z2 1成立的 值可能是 A B C D 思路点拨 1 将复数进行分母实数化 根据复数代数形式的四则运算法则计算 2 将等式化简 根据复数代数形式的四则运算法则进行计算 3 先求出z2 再根据条件得到关于 的三角函数关系式 验证求解即可 规范解答 1 选A 2 选D z i 2 i 5 z i 2 2i 3 选D z2 cos isin 2 cos2 isin2 1 cos2 1 sin2 0 k k Z 经验证知选项D成立 拓展提升 几个常用结论在进行复数的四则运算时 记住以下结论 可提高计算速度 1 1 i 2 2i 2 b ai i a bi 3 i4n 1 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i i4n i4n 1 i4n 2 i4n 3 0 n N 变式训练 1 2012 天津高考 i是虚数单位 复数 A 2 i B 2 i C 2 i D 2 i 解析 选B 2 复数z 1 i 为z的共轭复数 则z z 1 A 2i B i C i D 2i 解析 选B 依题意得z z 1 1 i 1 i 1 i 1 i 选B 创新体验 复数中的新定义问题 典例 2013 广州模拟 在实数集R中 我们定义的大小关系 为全体实数排了一个 序 类似地 我们在复数集C上也可以定义一个称为 序 的关系 记为 定义如下 对于任意两个复数z1 a1 b1i z2 a2 b2i a1 a2 b1 b2 R z1 z2当且仅当 a1 a2 或 a1 a2且b1 b2 按上述定义的关系 给出如下四个命题 若z1 z2 则 z1 z2 若z1 z2 z2 z3 则z1 z3 若z1 z2 则对于任意z C z1 z z2 z 对于复数z 0 若z1 z2 则zz1 zz2 其中所有真命题的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 思路点拨 规范解答 选B 对于复数z1 2 i z2 1 3i显然满足z1 z2 但不满足 z1 z2 故 不正确 设z1 a1 b1i z2 a2 b2i z3 a3 b3i 由z1 z2 z2 z3可得 a1 a3 或 a1 a3且b1 b3 故 正确 设z1 a1 b1i z2 a2 b2i z a bi 由z1 z2可得 a1 a2 或 a1 a2且b1 b2 显然有 a1 a a2 a 或 a1 a a2 a且b1 b b2 b 从而z1 z z2 z 故 正确 对于复数z1 2 i z2 1 3i显然满足z1 z2 令z 1 i 则zz1 1 i 2 i 1 3i zz2 1 i 1 3i 4 2i 显然不满足zz1 zz2 故 错误 综上 正确 故选B 思考点评 1 方法感悟 本题体现了类比方法的运用 即通过类比的方式 给出了复数中与实数类似的结论 借以考查阅读理解和应用新知识解决问题的能力 这种类比的方法在数学中可以帮助我们得到一些新的结论 2 技巧提升 利用复数与实数的类比来命题是一个新的考查方向 主要以给出新概念或新运算为主 用来考查学生的阅读理解 应用新知识解决问题的能力 从实质上看 此类问题考查的还是基础知识和基本技能 解题的关键是抓住新概念或新运算的特征 对所给的新信息进行分析 并且将所给信息与所学知识相结合 1 2013 南昌模拟 如果复数 b R 的实部与虚部互为相反数 则b A 0 B 1 C 1 D 1 解析 选B 由题意得6 b 2 3b b 1 2 2013 咸阳模拟 复数的共轭复数是a bi a b R i是虚数单位 则ab的值是 A 7 B 6 C 7 D 6 解析 选C i 1 7i i 7 由题意7 i与a bi互为共轭复数 a 7 b 1 ab 7 3 2012 新课标全国卷 下面是关于复数z 的四个命题 p1 z 2 p2 z2 2i p3 z的共轭复数为1 i p4 z的虚部为 1 其中的真命题为 A p2 p3 B p1 p2 C p2 p4 D p3 p4 解析 选C z 1 i 故 z p1错误 z2 1 i 2 1 i 2 2i p2正确 z的共轭复数为 1 i p3错误 p4正确 4 2012 陕西高考 设a b R i是虚数单位 则 ab 0 是 复数为纯虚数 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 选B 若ab 0 则a 0或b 0 是纯虚数或实数 不是充分条件 若复数为纯虚数 则 a bi a 0且b 0 ab 0 是必要条件 1 若M x x in n Z N x 1 其中i为虚数单位 则M A 1 1 B 1 C 1 0 D 1 解析 选B 依题意M 1 1 i i N