椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法.doc

椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法中学数学研究2009年第6期的直线方程.分析:要求a的内外角平分线所在的直线方程,只要分别求出它们的斜率即可,由角平分线到两边的角相等,很容易求出斜率.解:设a的角平分线为am,由ab到am的角等于am到ac的角可知:kac-kam,解得k-=711kacam或+.忌ab+.忌=一专,所以直线am的方程为:ll:7xy一17=0或z2:+7y一31=0,它们分别是a的内外角平分线所在的直线方程.因为内角平分线内分对边,所以点b,c应在am的异侧.经验证,点b,c在直线l1的异侧,而点b,c在直线z2的同侧.因而z1:7xy一17=0为a内角平分线所在直线方程,z2:z+7y一31=0为a的外角平分线所在的直线方程.例7已知集合a=(,y)iy一3z0,集合b=(z,y)i+(y一口)1,若anb=b,求a的取值范围.解:y一3z0表示直线y一3z=0右下方的平面区域,+(ya)1表示圆+(y一口)=1的内部和圆周上的点的集合,要使anb=b,只要z+(y一口)1的区域全部在y一3z0区域的右下方即可,所以圆心到直线的距离大于这个圆的半径就可以了.i一一i即d=l>1,由于a<0,所以口<一2.总之,线性规划不光能解决目标函数在线性约束条件下的最值问题,还可以解决与平面区域有关的问题,而且运算量较小.因此可以促进思维能力创新,请在复习中认真体会,仔细推敲.参考文献1高考复习专题二,2009年高考复习预测.中学数学教学增刊.2陈贵伦.直线与椭圆位置关系问题的换元解法,中学数学教学(.,).2009,1.簟j-_业,j-j-jkr,簟j.,ij1j-_j-j_j-1-j-_1j-j-椭圆,双曲线切线方程的一个简便求法江西省吉安县二中(343100)罗章军大家都知道,求椭圆,双曲线切线方程通常用导数法,法等,但运算量都较大.笔者运用线性规划知识找到一种求椭圆,双曲线切线方程新法,较为简便实用.现简述如下.定理1若直线z:y=如+m为椭圆f.znncosa,.(口>0,b>o,0,27f)的切线,(yoosm0设z=k.zo+myo,贝0仃mx=0或tili=0.其中k为直线z的斜率.证明:若l与椭圆相切,则椭圆上的点都在z的同侧,据线性规划知识可知,对于椭圆上任一点p(xo,yo),=kxo+myo>/o或0,.liii=0或一=0,当且仅当p为切点时等号成立.例1为使直线j,z+m与椭圆+25=1有两个公共点,求的范围.解:设=.z+6为椭圆+25=1的切线,令z=xo+b-yo,其中.1(x.o:=51s2icnoso.,27r),因为=13+b=0或z.m=一13+b=0.y=z13为已知椭圆的切线,所以m(一13,13).例2求函数s=的值域.解:令p(2cos0,sin0),q(一4,一3),则=一sino-一(f-一3)2coso42eoso4=足.s的值域+一(一)2009年第6期中学数学研究即为椭圆x0=2.cos0上的点p与q连线的斜ly0一slnu率范围,设过q的切线方程为y+3=k(z+4),令z=oy0+4k一3,则z=2kcososin0+4k一3,由=0或zmi:0,得4k一3而:0,.?.k:3+43.学,学.定理2若直线l:y=妇+为双曲线xo:=asect).,(a>0,b>0,0eyobtano(一号,)u(>,>,(一_兰_,)【j【=,22(詈,)的切线,其中k为直线z的斜率,令kzo+myo,则(zcos0)=0或(zcoso)=0.证明:.若直线与双曲线右支相切,当k>0时,因为双曲线的右支都位于l的右侧,据线性规划知识可知对于右支上任一点p(x0,yo),有=kcco+my0>/o,显然此时0(一,詈),.coso>0,.有zcoso0,因此(zcos0)ti1i:0,而当k<0同理可得(zcoso)=0.当且仅当p为切点时等号成立.若直线l与双曲线左支相切时,同样可得0e(詈,警)时有(cos0)ri1i=0或(zcos0).x=0.当且仅当p为切点时等号成立.又因为zcos0=(0+myo)ms0=ah+mcos0一bsin0,由正弦函数的性质可知,若zmso在开区间(一号,詈)与(号,萼)存在最大值或最小值,其值分别为+6+m2.一v厂.综合,若直线1:=taz+为双曲线的切线,则有(zcoso)=0或(zcos0)r=x=0.例3求过点(1,2)且与双曲线等一=1相切的直线方程的斜率.解:若p(xo,yo)为双曲线上任一点,则有c一苎,设切线方程为y一2=k(z一1),令=kxo0+2一k,.zcoso=3k一2sin0+(2一志)coso,由(zeoso)=0或(zcoso)一=0,得3k研:0,.忌:寺.坐坐业坐业业业坐业e,ale-ale-.ale-ale-业坐业业业业坐业尘业业业坐一道课本复习题的证法研究与拓展西北师范大学实验中学(730070)宋波人教版新教材高中数学第二册(下b)146页第8题(2)证明:c+2c2+3c3+十c:=?2(n).一,问题的证法研究笔者在教学中,根据此等式的结构特征,利用组合数的意义,运用联想,类比,转化等数学思想方法,多角度,多方向思维,得到了多种不同的证法.通过这种一题多解的教学,对激发学?42?生兴趣,拓宽思路,提高思维能力大有好处.下面给出这道题的六种证