微分方程在数学建模中的应用.doc

信息与计算科学专业学年论文评审表学生姓名秦溶薪学 号3080942119指导教师孟 兵论文题目微分方程在数学建模中的应用中文摘要在实际问题的数学建模中，微分方程建模越来越受到人们的关注，因此，如何建立微分方程的方法也显得尤为重要。微分方程建模主要用于自然科学（如捕食问题）与社会科学方面（如人口预测、新产品的推广、减肥问题等）的研究。本文简单说明了几种建立微分方程的方法，以及通过减肥问题的例子的建模过程来论述微分方程在数学建模中的应用。指导教师评阅意见指导教师（签字）： 指导小组审定意见成绩填表日期桂林理工大学理学院信息与计算科学专业2008级学年论文微分方程在数学建模中的应用学生姓名：秦溶薪 学号：3080942119 指导老师：孟 兵 摘要：在实际问题的数学建模中，微分方程建模越来越受到人们的关注，因此，如何建立微分方程的方法也显得尤为重要。微分方程建模主要用于自然科学（如捕食问题）与社会科学方面（如人口预测、新产品的推广、减肥问题等）的研究。本文简单说明了几种建立微分方程的方法，以及通过减肥问题的例子的建模过程来论述微分方程在数学建模中的应用。关键字：数学建模；微分方程；减肥问题；方法；模型1 引言近年来，数学建模（Mathematical Modeling）和数学模型（Mathematical Model）这两个术语经常被人们所提及，就某种意义上来说，数学建模已经发展成为一个独立的数学分支。所谓的数学模型，就是对关于部分现实世界为一定目的而作的抽象的、简化的数学模拟结构。简言之，即是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系，是现实世界的简化而本质的描述。而数学建模，就是构造数学模型的过程，即是用数学语言公式、符号、图表等刻画和描述一个实际问题，然后经过数学处理计算、迭代等得到定量的结果，以供人们作分析、预报、决策和控制的全部过程。数学建模是一门实践性很强的学科，涉及的应用领域十分广泛，如在物理学、工程学、生物学、医学、经济学、军事学等方面均有不同层次上的应用。因此，在数学建模的过程中，往往要根据实际问题的需要，灵活地运用各种数学知识如微分方程、运筹学、概率统计、图论等去描述和解决问题。通常，在研究解决一个实际问题的时候，我们常会遇到许多表示“导数”的常用词，例如，在生物学以及人口问题的研究中，“速率”、“增长”等类的词出现的频率颇高；“衰变”一词总在放射性问题中出现以及在经济学的研究问题中，我们也可以常见到“边际的”等此类表示“导数”的词语。此时，建立数学模型就必须要用到微分方程。2 微分方程在数学建模中的应用2.1 建立微分方程的方法微分方程是现代数学的一个重要分支，是研究函数变化规律的有力工具，它在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用。在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题。建立微分方程的方法有多种，例如：设位于坐标原点的甲舰向位于轴上的点处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度(是常数)沿平行于轴的直线行驶，导弹的速度是，求导弹运行的曲线。又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？解 设导弹的轨迹曲线为，并设经过时间，导弹位于点，乙舰位于点。由于导弹始终对准乙舰。故此时直线就是导弹的运动轨迹曲线在点处的切线，即有亦即又根据题意，弧的长度为的5倍，即由此得整理得代入初值条件，解得所以，导弹的运动轨迹如下图1所示：图1 导弹的运动轨迹由上图可知，当时，即当乙舰航行到点处时被导弹击中，被击中的时间为。对于建立微分方程的方法，除了以上例子所举出的利用运用已知规律的方法外，还有微元法、机理分析法（模拟近似法）等。2.2 微分方程模型在数学建模中的应用微分方程模型一般用于实际问题中我们描述的实际对象的某些特性随着时间或空间的变化而无法直接得出方程而需要建立微分方程的问题 ，比如人口预测（或是人口增长）、捕食问题（或食物链问题）、战争问题、传染病问题、新产品推广问题等。下面，我们通过减肥问题来说明。随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个问题。如何正确对待减肥已是我们必须考虑的问题，于是了解减肥的机理成为关键。问题背景根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知：1、每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准。如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数，将对身体产生不利的影响。2、人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。3、人们热能需要量的多少，主要取决与三个方面：维持人体基本代谢所需的能量、从事劳动和其他活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用（将食物转化为人体所需的能量）所消耗的能量。4、一般情况下，成年男子每一千克体重每小时平均消耗能量为(焦耳)。5、一般情况下，使用普通的混合膳食，事物的特殊动力作用所需要的额外的能量消耗相当于基础代谢的。2.2.1 问题分析与模型假设1、人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式，而且也是减肥的主要目标。对于一个成年人来说，体重主要有三部分组成：骨骼、水、脂肪。骨骼和水大体上可以认为是不变的，我们不妨以人体脂肪的重量作为体重的标志。已知脂肪的能量转换率为，每千克脂肪可以转换为的能量。令，称为脂肪能量转换系数。2、人体的体重仅仅看成是时间t的函数，而与其他因素无关，这意味着在研究减肥的过程中，我们忽略了个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响。3、体重随时间是连续变化的，即是连续函数且充分光滑，因此可以认为能量的摄取和消耗是随时发生的。4、不同的活动对能量的消耗是不同的。例如：体重分别为客观和的人都跑，所消耗的能量显然是不同的。可见，活动对能量的消耗也不是一个简单的问题，但考虑到减肥的人会为自己制定一个合理且相对稳定的活动计划，我们可以假设在单位时间（一天）内，人体所消耗的能量与其体重成正比，记为每体重每天因活动所消耗的能量。5、单位时间内，人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于人体的体重。记为体重每天因新陈代谢所消耗的能量。6、减肥者一般对于自己的饮食有相对严格的控制，在本问题中，为了简单计算，可以假设每人摄入的能量是一定的，记为。变量符号规定如下：减肥者每天摄入的能量；体重每天因活动而消耗的能量；体重每天因新陈代谢而消耗的体重；脂肪的能量转换系数；体重对时间的关系函数；减肥前的最初体重；减肥后的最终体重。2.2.2 模型的建立假设以“天”为时间单位，根据上述的假设3，我们只考虑在任何一个时间段内考虑能量的摄入和消耗所引起的体重变化。根据能量平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量差。即在时间段内的能量变化有由积分中值定理得 其中，两边除以并取极限，得 这就是在一定简化层次上的减肥的数学模型。设为模型的初始时刻，这时人的体重为，对式，两边同时乘以,得即从到积分，并利用初值，得 2.2.3 模型的分析由上述模型中可以看出，是模型中的一个重要的参数。是每天由于能量的摄入而增加的体重；是每天由于能量的消耗而失去的体重。当时，体内的脂肪都消耗殆尽了，故不进食的减肥方法是不可行的。假设，即停止进食，无任何能量摄入，体重的变化（减少）完全是脂肪的消耗而产生，此时由式得故有所以这表明在时间段内体重减少的百分率为，称为内体重消耗率，且 时刻体重占初始体重的百分率为，即为体重的保存率。特别地，是单位时间内的体重的消耗率。基于上面的分析，由式可知，时刻的体重由两部分组成：一部分是初始体重中由于能量消耗而被保存下来的部分；另一部分是摄取能量而获得的补充量。由于衰减很快，即在有限的时间内，就很小，可以忽略。当足够大时，由式，有令也就是说当模型的解渐进稳定于时，它给出了减肥的最终结果，称为减肥的效果指标。这表明了从理论上讲，任何人都不必为自己的体重担心（肥胖或是瘦小），只要适当地调节(进食)、(活动）和(新陈代谢)。同时也说明了，任何的减肥方法都必须考虑到和调节上述的三个因素：节食是调节、活动是调节、减肥药是调节。由于是基础代谢和食物特殊动力的消耗，它不可能作为减肥的措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个人而言可以认为是一个常数，大量的事实表明，通过调整新陈代谢的方法（即食用减肥药）来减肥是值得推敲的。于是得到的结论如下：减肥的效果主要由两个因素控制：进食摄取能量和活动消耗能量，从而有减肥的两个重要的措施是控制饮食与增加活动量，且当且仅当时，才具有减肥效果。3 结束语有上述的例子可以看出，微分方程建模是数学建模中的一个极为重要且必需的方法，也是解决实际问题的一个非常有效的方法，使用微分方程建立的模型一般都是动态模型，其推导过程虽是复杂，结果却是简单易明。因此，微分方程建模越来越受到人们的关注喜爱，并且广泛应用在科技、工程、生态、环境、交通等各个领域中，成为解决实际问题不可或缺的一部分。参考文献1 赵静，但琦. 数学建模与数学实验M. 北京：高等教育出版社，2008.2 刘焕彬，库在强，廖小勇，陈文略，张忠诚. 数学模型与实验M. 北京：科学出版社，2008.3 徐全智，杨晋浩. 数学建模M. 北京：高等教育出版社，2008.4 焦宝聪，王在洪，时红廷. 常微分方程M. 北京：清华大学出版社，2008.5 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程M.北京：高等教育出版社，2006.The Application of Differential equation in Mathematical Modeling Student: Qin Rongxin ID: 3080942119 Teacher: Meng BingAbstract: In the actual problems of mathematical modeling, differential equation was more and more attention by people. So, how to set a differential equation of mathematical modeling is very important. Differential equation modeling is mainly used for research in natural sciences (such as: predation problems)and social sciences(such as: population projections, new products promotion, problem of losing weight, etc.). This paper describes several methods of establishing differential equation briefly, and through the process of setting a differen