高考数学 28函数与方程课件 北师大版.ppt

1 2012 天津高考 函数f x 2x x3 2在区间 0 1 内的零点个数是 a 0b 1c 2d 3 解析 因为函数f x 2x x3 2的导数为f x 2xln2 3x2 0 所以函数f x 2x x3 2单调递增 又f 0 1 2 1 0 f 1 2 1 2 1 0 所以根据根的存在定理可知在区间 0 1 内函数的零点个数为1个 选b 答案 b 法二 函数f x 的图象如图所示可观察函数f x 共有两个零点 答案 b 答案 b 5 2011 辽宁高考 已知函数f x ex 2x a有零点 则a的取值范围是 解析 由原函数有零点 可将问题转化为方程ex 2x a 0有解问题 即方程a 2x ex有解 令函数g x 2x ex 则g x 2 ex 令g x 0 得x ln2 所以g x 在 ln2 上是增函数 在 ln2 上是减函数 所以g x 的最大值为 g ln2 2ln2 2 因此 a的取值范围就是函数g x 的值域 所以 a 2ln2 2 答案 2ln2 2 1 函数的零点 1 函数零点的定义对于函数y f x x d 把使成立的实数x叫做函数y f x x d 的零点 2 几个等价关系方程f x 0有实根 函数y f x 的图象与有交点 函数y f x 有 f x 0 x轴 零点 函数的零点是函数y f x 的图象与x轴的交点吗 提示 不是 函数的零点是一个实数 是函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 3 函数零点的判定如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得 这个c也就是方程f x 0的根 f a f b 0 f c 0 1 在上面条件下 a b 内有几个零点 提示 不一定 可能有一个 也可有多个 2 若函数f x 在 a b 内有零点 一定有f a f b 0吗 提示 不一定 如函数f x x2 1在 2 2 内有两个零点 但f 2 f 2 0 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 2011 全国新课标高考 在下列区间中 函数f x ex 4x 3的零点所在的区间为 思路点拨 本题主要考查函数零点的求法 考查学生是否会判断零点所在的区间 在区间 a b 上存在零点的充分条件是f a f b 0 答案 c f x log2x x 3的零点一定在区间 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 思路点拨 利用零点存在性定理判断或数形结合在同一坐标系中作出y log3x和y 3 x的图象 观察交点的个数 尝试解答 法一 函数f x log3x x 3的定义域为 0 并且在 0 上递增连续 又f 2 log32 10 函数f x log3x x 3有唯一的零点且零点在区间 2 3 内 法二 方程log3x x 3 0可化为log3x 3 x 在同一坐标系中作出y log3x和y 3 x的图象如图所示 可观察判断出两图象交点横坐标在区间 2 3 内 答案 c 归纳提升 判定函数y f x 在某个区间上是否存在零点的常用方法 1 解方程 当对应方程容易解时 可以解方程 看方程是否有根落在给定区间上 2 利用函数零点的存在性定理判定 3 利用图象 当函数图象易作时 作函数的图象 观察函数的图象与x轴的交点是否落在给定的区间上 用二分法求函数f x x3 x 1在区间 1 1 5 内的一个零点 精确度0 1 思路点拨 依据二分法求函数f x 的零点近似值的步骤 尝试解答 由于f 1 1 1 1 1 0 f 1 5 3 375 1 5 1 0 875 0 f x 在区间 1 1 5 上存在零点 取区间 1 1 5 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算列表如下 1 375 1 3125 0 1 函数的一个零点为1 3125 归纳提升 1 二分法是把函数f x 的零点所在区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而求零点近似值的方法 它适合于 y f x 的图象在 a b 连续不间断 f a f b 0 满足这两个条件 才能利用二分法求函数零点的近似值 2 用二分法求函数零点近似值的步骤 可借助于计算器一步步地求解 也可以借助于表格或数轴逐步缩小零点所在的区间 而运算终止的条件是区间长度小于精确度 3 用二分法求零点近似值的口诀为 定区间 找中点 中值计算两边看 同号去 异号算 零点落在异号间 周而复始怎么办 精确度上来判断 2013 重庆模拟 对于函数f x 若存在x0 r 使f x0 x0成立 则称x0为f x 的不动点 已知函数f x ax2 b 1 x b 1 a 0 1 当a 1 b 2时 求f x 的不动点 2 若对任意实数b 函数f x 恒有两个相异的不动点 求a的取值范围 思路点拨 1 抓住不动点的定义解决 2 转化到方程的根进行解决 尝试解答 1 当a 1 b 2时 f x x2 x 3 由题意可知x x2 x 3 得x1 1 x2 3故当a 1 b 2时 f x 的不动点是 1 3 2 f x ax2 b 1 x b 1 a 0 恒有两个不动点 x ax2 b 1 x b 1 即ax2 bx b 1 0恒有两相异实根 b2 4ab 4a 0 b r 恒成立 于是 4a 2 16a 0解得0 a 1 故当b r f x 恒有两个相异的不动点时的a的范围为0 a 1 归纳提升 函数零点的应用主要体现了函数与方程的思想 函数与方程虽然是两个不同的概念 但它们之间有着密切的联系 方程f x 0的解就是函数y f x 的图象与x轴的交点的横坐标 函数y f x 也可以看作二元方程f x y 0 然后通过方程进行研究 许多有关方程的问题可以用函数的方法解决 反之 许多函数问题也可以用方程的方法来解决 函数与方程的思想是中学数学的基本思想 考情全揭密 函数的零点 方程根的个数是历年高考的重要考点 利用函数的图形及性质判断函数的零点 及利用它们求参数取值范围问题是重点 也是难点 题型以选择题和填空题为主 常与函数的图象与性质交汇命题 从命题方向上看 2014年高考仍将以函数的零点 方程的根的存在问题为主要考点 重点考查相应函数的图象与性质 命题新动向 函数零点个数的判定函数零点个数的判定有下列几种方法 1 直接求零点 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有