高中数学 第一部分 第一章 §3 3.1 第二课时 等比数列的性质及应用课件 北师大版必修5.ppt

3 1等比数列 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 第一章数列 考点一 考点三 考点二 第二课时等比数列的性质及应用 3 1等比数列 第二课时等数列的性质及应用 已知数列 an 是一个无穷等比数列 公比为q 问题1 将数列 an 中的前k项去掉 剩余各项组成一个新的数列 这个新数列是等比数列吗 如果是 它的首项与公比分别是多少 提示 是 首项是ak 1 公比仍是q 问题2 取出数列 an 中的所有奇数项 组成一个新的数列 这个新数列是等比数列吗 如果是 它的首项与公比分别是多少 提示 是 首项是a1 公比为q2 问题3 在数列 an 中 每隔k项取出一项 组成一个新的数列 这个新数列是等比数列吗 如果是 它的公比是多少 提示 是 公比是qk 1 问题5 数列中a5与a8的关系怎样 an与am有何关系 提示 a8 a5q3 an amqn m 例1 已知等比数列 an 中 若a1 a2 a3 7 a1a2a3 8 求an 一点通 等比数列的运算一般有两种 一种是基本运算 即转化为基本量 通过解方程或方程组求解的运算 一种是性质运算 巧妙避开解方程组 这种方法使问题简单化 起到事半功倍的效果 1 2012 沈阳高二检测 已知等比数列 an 若a1 a2 20 a3 a4 80 则a5 a6等于 a 480b 320c 240d 120 答案 b 3 已知等比数列 an a2a8 36 a3 a7 15 求公比q 例2 某人买了一辆价值13 5万元的新车 专家预测这种车每年按10 的速度贬值 1 用一个式子表示n n n 年后这辆车的价值 2 如果他打算用满4年时卖掉这辆车 他大概能得到多少钱 思路点拨 根据题意 前后两年车的价值存在倍数关系 所以可建立等比数列模型来解决 精解详析 1 从第一年起 每年车的价值 万元 依次设为 a1 a2 a3 an 由题意 得a1 13 5 a2 13 5 1 10 a3 13 5 1 10 2 由等比数列定义 知数列 an 是等比数列 首项a1 13 5 公比q 1 10 0 9 an a1 qn 1 13 5 0 9 n 1 n年后车的价值为an 13 5 0 9 n 1万元 2 由 1 得a4 a1 q3 13 5 0 93 9 8 万元 用满4年时卖掉这辆车 大概能得到9 8万元 一点通 解等比数列应用题的步骤 1 审题 解决数列应用题的关键是读懂题意 2 建立数学模型 将实际问题转化为等比数列的问题 3 解数学模型 注意隐含条件 数列中n的值是正整数 4 还原 即最后转化为实际问题作出回答 4 某工厂2010年生产某种机器零件100万件 计划到2012年把产量提高到每年生产121万件 如果每一年比上一年增长的百分率相同 则这个百分率是多少 2011年生产这种零件多少万件 解 设每一年比上一年增长的百分率为x 则从2010年起 连续3年的产量依次为a1 100 a2 a1 1 x a3 a2 1 x 即a1 100 a2 100 1 x a3 100 1 x 2成等比数列 由100 1 x 2 121 得 1 x 2 1 21 1 x 1 1或1 x 1 1 舍去 x 0 1 a2 100 1 x 110 万件 所以每年增长的百分率为10 2011年生产这种零件110万件 例3 12分 数列 an 的前n项和记为sn a1 1 an 1 2sn 1 n 1 1 求 an 的通项公式 2 等差数列 bn 的各项为正 其前n项和为tn 且t3 15 又a1 b1 a2 b2 a3 b3成等比数列 求tn 思路点拨 1 可借助sn sn 1 an n 2 来求出an 2 考虑方程的思想求出d 再求tn 精解详析 1 由an 1 2sn 1 可得an 2sn 1 1 n 2 2分 两式相减 得an 1 an 2an an 1 3an n 2 又 a2 2s1 1 3 a2 3a1 4分 故 an 是首项为1 公比为3的等比数列 an 3n 1 6分 2 设 bn 的公差为d 由t3 15 得b1 b2 b3 15 可得b2 5 7分 故可设b1 5 d b3 5 d 又a1 1 a2 3 a3 9 由题意可得 5 d 1 5 d 9 5 3 2 一点通 1 证明一个数列为等比数列 要严格根据定义 本题中给出了sn与an的关系 由an sn sn 1 n 2 得出an qan 1 从而可证明数列为等比数列 2 当题中有多个数列出现时 既要研究单一数列项与项之间的关系 又要关注各数列之间的相互联系 5 2012 临沂高二检测 已知等比数列 an 满足a1 3 且4a1 2a2 a3成等差数列 则a3 a4 a5等于 a 33b 84c 72d 189 解析 由4a1 2a2 a3成等差数列得 4a1 a3 4a2 即12 3q2 4 3q 解得q 2 a3 a4 a5 a1q2 a1q3 a1q4 3 22 23 24 84 答案 b 1 在解决与等比数列有关的计算问题时 我们首先想到的方法是通法 即通过解方程组求两个基本量首项