高中数学 1.6.1垂直关系的判定课件 北师大版必修2 .ppt

直线与平面垂直的证明方法 1 定义法 证明直线与平面内的任何一条 或所有 直线都垂直 此法的缺点是 操作性 太差 直线与平面垂直的判定 2 判定定理法 本质 证线面垂直证线线垂直 重点问题 要与两条相交直线垂直 所体现的思想 将空间问题 平面化 的思想 此法便于操作 是证明线面垂直的主要方法 3 推论 若a b a 则b 若 a 则a 要特别注意在空间中线线垂直有两种情况 即 垂直 相交垂直 异面垂直 例1 如图所示 已知直角三角形abc所在平面外一点s 且sa sb sc 求证 点s与斜边ac的中点d的连线sd 平面abc 审题指导 根据题目中线段相等关系可以由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直 从而得到线面垂直 规范解答 取ab中点e 连接de se d是ac的中点 ed bc 又bc ab de ab sa sb e是ab的中点 se ab 又de se e ab 平面sed 又sd 平面sed ab sd sa sc d为ac中点 sd ac 又ab 平面abc ac 平面abc ab ac a sd 平面abc 互动探究 本例中若直角边ba bc 求证 bd 平面sac 证明 ba bc d是ac的中点 bd ac 又 sd 平面abc bd 平面abc sd bd sd ac d bd 平面sac 例 如图 已知 abc中 acb 90 sa 平面abc ad sc于d 求证 ad 平面sbc 审题指导 由于已知ad sc 所以要证ad 平面sbc 只要证明ad bc或ad sb 结合题目条件可知ad bc更易证出 规范解答 acb 90 bc ac 又sa 平面abc sa bc 又ac sa a bc 平面sac ad 平面sac bc ad 又sc ad sc bc c ad 平面sbc 变式备选 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 1 求证 ac 平面b1d1db 2 求证 bd1 平面acb1 证明 1 在正方体abcd a1b1c1d1中ac bd bb1 平面abcd bb1 ac 又bd bb1 b ac 平面b1d1db 2 由 1 知ac bd1 连接a1b 则a1b ab1 又 a1d1 平面a1b1ba a1d1 ab1 又a1b a1d1 a1 ab1 平面a1bd1 ab1 bd1 又ab1 ac a bd1 平面acb1 1 对平面与平面垂直的判定定理的理解 平面与平面垂直的判定定理告诉我们 可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直 通常我们将其记为 线面垂直 则面面垂直 因此 处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题 进一步转化为处理线线垂直问题 平面与平面垂直的判定 2 平面与平面垂直的判定方法 1 定义法 即证明这两个平面所成的二面角的平面角是直角 应用此法证明面面垂直的关键是正确地作出 或找出 二面角的平面角 2 判定定理法 本质 证面面垂直证线面垂直 关键 在其中一个平面内寻找另一个平面的垂线 例2 2010 湖南高考 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab ad 1 aa1 2 m是棱cc1的中点 1 求异面直线a1m和c1d1所成角的正切值 2 证明 平面abm 平面a1b1m 审题指导 1 由c1d1 b1a1可以得到异面直线a1m与c1d1所成的角 2 关键是要在矩形bcc1b1内用线段之间的长度关系证明bm b1m 规范解答 1 c1d1 b1a1 ma1b1为异面直线a1m与c1d1所成的角 a1b1 平面bcc1b1 a1b1m 90 而a1b1 1 故即异面直线a1m和c1d1所成角的正切值为 2 由a1b1 平面bcc1b1 bm 平面bcc1b1 得a1b1 bm 又b1b 2 同理 b1m2 bm2 b1b2 从而bm b1m 又a1b1 b1m b1 再由 得bm 平面a1b1m 而bm 平面abm 因此平面abm 平面a1b1m 变式训练 2011 江苏高考 如图 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab ad bad 60 e f分别是ap ad的中点 求证 1 直线ef 平面pcd 2 平面bef 平面pad 证明 1 e f分别是ap ad的中点 ef pd 又 pd 平面pcd ef 平面pcd 直线ef 平面pcd 2 连结bd ab ad bad 60 abd为正三角形 又 f是ad的中点 bf ad 又平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad bf 平面pad 又bf 平面bef 平面bef 平面pad 1 正确理解二面角及其平面角的概念 1 二面角是一个空间图形 而二面角的平面角是平面图形 二面角的大小通过其平面角的大小表示 体现了由空间图形向平面图形转化的思想 2 二面角的平面角的定义是两条 射线 的夹角 不是两条直线的夹角 因此 二面角 的取值范围是0 180 作二面角的平面角 2 定义法作二面角的平面角 1 在二面角的棱上找一个恰当的点 2 过此点分别在两个半平面内作棱的垂线 例3 如图 所示 在直角三角形abc中 acb 30 abc 90 d为ac中点 e为bd中点 ae的延长线交bc于点f 将 abd沿bd折起使fa 平面dbc 如图 试证 aef是二面角a bd c的平面角 并求 aef的余弦值 审题指导 折叠问题要注意折叠前后不变的长度或位置关系 规范解答 在直角三角形abc中 acb 30 abc 90 ac 2ab 又d为ac的中点 ab ad 又e为bd的中点 bd af 在图 中 bd ae bd ef aef是二面角a bd c的平面角 af 平面dbc ef 平面dbc af ef 在rt aef中 设ab 2a则在rt abe中 abe 60 be ab cos abe a 在rt bef中 fbe 30 变式训练 2011 山东高考 在如图所示的几何体中 四边形abcd为平行四边形 acb 90 ea 平面abcd ef ab fg bc eg ac ab 2ef 1 若m是线段ad的中点 求证 gm 平面abfe 2 若ac bc 2ae 求二面角a bf c的大小 解析 1 因为ef ab fg bc eg ac acb 90 所以 egf 90 abc efg 由于ab 2ef 因此bc 2fg 连接af 由于fg bc 在 abcd中 m是线段ad的中点 则am bc 且 因此fg am且fg am 所以四边形afgm为平行四边形 因此gm fa 又fa 平面abfe gm 平面abfe 所以gm 平面abfe 2 由题意知 平面abfe 平面abcd 取ab的中点h 连接ch 因为ac bc 所以ch ab 则ch 平面abfe 过h向bf引垂线交bf于r 连接cr 则cr bf 所以 hrc为二面角a bf c的平面角 由题意 不妨设ac bc 2ae 2 在直角梯形abfe中 连接fh 则fh ab 又所以hf ae 1 因此在rt bhf中 由于所以在rt chr中 因此二面角a bf c的大小为60 典例 12分 2010 陕西高考改编 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 pa 平面abcd ap ab 2 e f分别是ad pc的中点 证明 bc 平面pab pc 平面bef 审题指导 要证bc 平面pab关键是要证bc pa 要证pc 平面bef 关键要通过线段长度的计算发现等腰三角形 利用等腰三角形的性质证明线线垂直 规范解答 连接pe ec pa 平面abcd bc 平面abcd bc pa 2分 底面abcd是矩形 bc ab 又 pa ab a bc 平面pab 4分在rt pae rt cde中 pa ab cd ae de rt pae rt cde 6分 pe ce 即 pec是等腰三角形 又 f是pc的中点 ef pc 8分又f是pc的中点 bf pc 10分又 bf ef f pc 平面bef 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 1 画出二面角a b1c c1的平面角 2 求证 平面bb1d1d 平面ab1c 解析 1 如图 取b1c的中点e 连接ae ec1 ac ab1 b1c分别为正方形的对角线 ac ab1 b1c e是b1c的中点 ae b1c 又 在正方形bb1c1c中 ec1 b1c aec1即为二面角a b1c c1的平面角 2 d1d 平面abcd ac 平面abcd d1d ac 又 在正方形abcd中 ac bd 又 d1d bd d ac 平面bb1d1d 又 ac 平面ab1c 平面bb1d1d 平面ab1c 1 过平面 外一点p 1 存在无数条直线与平面 平行 2 存在无数条直线与平面 垂直 3 有且只有一条直线与平面 平行 4 有且只有一条直线与平面 垂直 以上说法中正确的个数是 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选b 由面面平行的性质知过点p与平面 平行的平面内任意一条直线都与平面 平行 故 1 正确 3 错误 过平面 外一点p有且只有一条直线与平面 垂直 故 2 错误 4 正确 故选b 2 下列说法正确的是 a 二面角的大小范围是大于0 小于90 b 一个二面角的平面角可以不相等 c 二面角的平面角的顶点可以不在棱上 d 二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直 解析 选d 由二面角及其平面角的定义知b c错误 由于二面角的大小范围是大于等于0 且小于等于180 故a错误 d正确 实际上 二面角的棱垂直于二面角的平面角的两条边 当然与二面角的平面角所在的平面垂直 3 一条直线和三角形的两边都垂直 则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 解析 因为三角形的两边相交 所以直线和三角形的两边都垂直就与三角形所在的平面垂直 因此这条直线和三角形的第三边垂直 答案 垂直 4 把rt abc沿斜边上的高cd折成直二面角a cd b 如图所示 互相垂直的平面有 对 解析 因为cd ad cd bd bd ad d 所以cd 平面abd 所以平面acd 平面abd 平面bcd 平面abd 又平面acd 平面bcd 所以共有3对 答案 3 5 如图 三棱柱abc a1b1c1的侧面bcc1b1是菱形 b1c a1b 证明 平面ab1c 平面a1bc1 证明 侧面bcc1b1是菱形 b1c bc1 又 b1c a1b 且a1b bc1 b b1c 平面a1bc1 又 b1c 平面ab1c 平面ab1c 平面a1bc1 一 选择题 每题4分 共16分 1 经过平面 外一点和平面 内一点与平面 垂直的平面有 a 0个 b 1个 c 无数个 d 1个或无数个 解析 选d 当两点连线与 垂直时 过此直线的所有平面都与 垂直 故有无数个 当两点连线与 不垂直时 过平面 外的此点向平面 作垂线 所作垂线与平面 内的点确定平面 则 故只有一个 2 已知二面角 l 和异面直线n m n m 且异面直线n与m所成的角为30 则二面角 l 的平面角 为 a 30 或150 b 60 或120 c 90 d 无法确定 解析 选a 以下面两个图为例说明 过点p作pa n pb m 可证二面角的棱垂直于平面pab aob为二面角 l 的平面角 因此可将二面角的平面角和两条异面直线所成的角放到同一个平面内研究 由图可知这两个角相等或互补 3 2011 杭州高二检测 如图 在三棱锥p abc中 已知pc bc pc ac 点e f g分别是所在棱的中点 则下面结论中错误的是 a 平面efg 平面pbc b 平面efg 平面abc c bpc是直线ef与直线pc所成的角 d feg是平面pab与平面abc所成二面角的平面角 解析 选d a正确 由三角形的中位线的性质可证eg bc fg pc 进而可证平面efg 平面pbc b正确 由pc bc pc ac可证pc 平面abc 又因为pc fg 所以fg 平面abc 所以平面efg 平面abc c正确 因为e f分别为所在棱的中点 所以ef pb 所以 bpc是直线ef与直线pc所成的角 d错误 因为ab与平面efg不垂直 4 在正四面体p abc中 d e f分别是ab bc ca的中点 下面四个结论中不成立的是 a bc 平面pdf b df 平面pae c 平面pdf 平面abc d 平面pae 平面abc 解析 选c d f分别是ab ca的中点 df bc 又 bc 平面pdf df 平面pdf bc 平面pdf ab ac e是bc的中点 bc ae 同理可证bc pe 且pe ae e bc 平面pae 又 df bc df 平面pae 又 bc 平面abc 平面pae 平面abc pa pe g是ae的中点 pg与ae不垂直 又 二面角p df e的平面角是 pge 平面pdf与平面abc不垂直 误区警示 解答本题易出现判断c正确的情况 出错的原因一方面是只从直观感知 忽视逻辑推理 另一方面是忘记了用面面垂直的定义判断 二 填空题 每题4分 共8分 5 已知平面 和直线m 给出条件 m m m 1 当满足条件 时 有m 2 当满足条件 时 有m 填所选条件的序号 解析 由面面平行和线面平行的定义知若m 则m 由线面垂直的定义知若m 则m 答案 1 2 6 如图 ab是圆的直径 pa垂直于圆所在的平面 c是圆上一点 不同于a b 且pa ac 则二面角p bc a的大小为 解析 pa 平面abc pa bc ab为直径 易得bc ac bc 平面pac bc pc pca为二面角p bc a的平面角 在rt pac中 pa ac pca 45 答案 45 三 解答题 每题8分 共16分 7 如图 在矩形abcd中 e为bc的中点 把 abe和 cde沿ae de折起 使点b与点c重合于点p 求证 平面ped 平面pad 证明 由矩形abcd知折叠前ab be 折叠后ap pe 同理pd pe pd 平面pad pa 平面pad pd pa p pe 平面pad pe 平面ped 平面ped 平面pad 8 2011 北京模拟 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 每个侧面均为正方形 d为底边ab的中点 e为侧棱cc1的中点 1 求证 cd 平面a1eb 2 求证 ab1 平面a1eb 解题提示 1 要证cd 平面a1eb 只要证cd与平面a1eb内的一条直线平行 这就必须连接点e与ab1和a1b的交点o 2 要证ab1 平面a1eb 关键要证ab1垂直于点e与ab1和a1b的交点o的连线eo 可利用eo cd转化为证明ab1 cd 证明 1 设ab1和a1b的交点为o 连接eo 连接od o为ab1的中点 d为ab的中点 od bb1 且又 e是cc1的中点 ec bb1 且所以ec od且ec od 所以四边形ecdo为平行四边形 所以eo cd 又 cd 平面a1be eo 平面a1be cd 平面a1be 2 三棱柱各侧