黑龙江省虎林高级中学高三数学 第四讲 数学归纳法及其应用举例（第2课时）课件 新人教A版选修45.ppt

这种由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 或者由个别事实概栝出一般结论的推理 称为归纳推理 简称 归纳 归纳是立足于观察 经验 实验和对有限资料分析的基础上 提出带有规律性的结论 需证明 一 复习 什么是归纳推理 例如已知数列 an 的第1项a1 1且 n 1 2 3 试归纳出这个数列的通项公式 解 猜想 这个猜想对于前4项是成立的 但还不能对以后继续的项也成立 因此这个猜想要证明 费尔马 1601 8 1665 1 法国数学家 费马猜想 结论是错误的 对于某类事物 由它的一些特殊事例或其全部可能情况 归纳出一般结论的推理方法 叫归纳法 特点 二 归纳法定义 完全归纳法 优点 考查全面 结论正确 缺点 工作量大 有些对象无法全面考查 不完全归法 优点 考查对象少 得出结论快 缺点 观察片面化 结论不一定正确 从前 有个小孩叫万百千 他开始上学识字 第一天先生教他个 一 字 第二天先生又教了个 二 字 第三天 他想先生一定是教 三 字了 并预先在纸上划了三横 果然这天教了个 三 字 于是他得了一个结论 四 一定是四横 五 一定是五横 以此类推 从此 他不再去上学 家长发现问他为何不去上学 他自豪地说 我都会了 家长要他写出自己的名字 万百千 写名字结果可想而知 万百千 的笑话 万百千在学习上犯了什么错误 什么是数学归纳法 对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性 先证明当n取第一个值n0时命题成立 2 然后假设当n k k n k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 这种证明方法就叫做 数学归纳法 归纳小结 归纳法 由特殊到一般 是数学发现的重要方法 数学归纳法的科学性 基础正确 可传递 数学归纳法证题程序化步骤 两个步骤 一个结论 数学归纳法优点 克服了完全归纳法的繁杂 不可行的缺点 又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足 是一种科学方法 使我们认识到事情由简到繁 由特殊到一般 由有限到无穷 一定要用到归纳假设 看清从k到k 1中间的变化 数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法 主要有两个步骤一个结论 归纳奠基 1 证明当n取第一个值n0 如n0 1或2等 时结论正确 2 假设n k k n0 n n 时结论正确 证明n k 1时结论也正确 3 由 1 2 得出结论 归纳递推 注意 例1 1 2 22 2n 1 2n 1 n n 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 1 等式是成立的 2 假设当n k时等式成立 就是1 2 22 2k 1 2k 1那么 1 2 22 2k 1 2k 2k 1 2k 2 2k 1 2k 1 1这就是说 当n k 1时 等式也成立 因此 根据 1 和 2 可断定 等式对于任何n n 都成立 课本50页练习1 用数学归纳法证明1 3 5 2n 1 n2证明 1 当n 1时左 1 右 12 1 n 1时 命题成立2 假设n k时 命题成立 即1 3 5 2k 1 k2那么 当n k 1时左 1 3 5 2k 1 2k 1 k2 2k 1 k 1 2 右即n k 1时命题成立由1 2知原命题对n n 都成立 递推基础 递推依据 课本50页2 用数学归纳法证明证明 1 当n 1时 左 12 1 右 n 1时 等式成立2 假设n k时 等式成立 即那么 当n k 1时左 12 22 k2 k 1 2 右 n k 1时 原不等式成立由1 2知当n n 时 原不等式都成立 例2 用数学归纳法证明 1 2 2 3 3 4 n n 1 n 1时等式成立 假设n k时 命题成立 即 那么 当n k 1时 有 即n k 1时 命题成立 根据 问可知 对n n 等式成立 1 三个步骤缺一不可 第一步 奠基步骤 是命题论证的基础 称之为归纳基础 第二步 归纳步骤 是推理的依据 是判断命题的正确性能否由特殊推广到一般 它反映了无限递推关系 其中 假设n k时成立 称为归纳假设 注意是 假