球杆系统的控制设计优秀毕业论文.pdf

1 工学硕士学位论文 球杆系统的控制设计 周长浩 哈尔滨工业大学 2006 年 6 月 2 国内图书分类号 tp273 国际图书分类号 681 5 工学硕士学位论文 球杆系统的控制设计 硕 士 研究生 周长浩 导 师 何朕副教授 申 请 学 位 工学硕士 学科 专业 控制理论与控制工程 所 在 单 位 控制科学与工程系 答 辩 日 期 2006 年 6 月 授予学位单位 哈尔滨工业大学 3 classified index tp273 u d c 681 5 dissertation for the master s degree in engineering control design of ball and beam system candidate zhou changhao supervisor associate prof he zhen academic degree applied for master of engineering specialty control theory and engineering affiliation control science and engineering date of defence june 2006 degree conferring institution harbin institute of technology 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 i 摘要摘要 球杆系统是大学控制实验室里常见的实验设备 通常用来检验控制策略 的效果 由于球杆系统与机器人有很多的相似性 并且很多实际系统都可以 抽象为球杆模型 因此对球杆系统的研究引起了国内外学者关注 本文第一部分先从球杆系统的运动方程式入手 分析球杆系统的物理特 性 经过实际调试中的仿真曲线 发现球杆系统并不是像文献中的数学模型 所描述的那么单纯 于是依据对理论和试验数据的分析 重点指出了球杆系 统极易出现自振荡非线性问题的本质 不是大行程下的非线性现象 而是 平衡点上的自振荡问题 最后提出了一种避免产生自振荡方法 控制系统仿真是控制系统研究必不可少的手段 通过仿真设计者能够找 到系统模型的最佳控制方案 但是由于实际系统同理论模型的差异 当该方 案应用于实际系统 效果却不一定好 需要反复修改甚至重新设计 这样就 会导致设计周期太长 投入过大等缺点 如何将仿真和测试实际应用效果这 两者统一于同一个平台上 克服问题的关键 本文第二部分利用 matlab simulink rtw 实时方案对球杆系统进 行开发 使用自定义设备驱动模块代替数学模型进行实时控制 实验证明这 种方法是可行性 这有助于设计人员将精力集中到系统设计 省去消耗在控 制算法和界面等软件设计相关方面的时间和精力 有效地缩短了开发周期 论文总结了如何编写自定义的设备驱动模块的方法 为 rtw 实时控制的广 泛应用提供了便利的条件 关键词关键词 球杆系统 自振荡 极点配置 rtw 自定义设备驱动模块 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 ii abstract ball and beam system is the common controls system in the laboratory of the university usually uses for testing the control strategy because the ball and beam have many similarities with the robot and a lot of actual system s models can be deemed to ball and beam system the domestic and foreign scholars pay attentions to research of the system in the first part the article start from the ball and beam system movement equation get the ball and beam system physical property according to the experiment we find that the real problem of the ball and beam system is not the nonlinear behavior under large excursions but the limit cycle around the equilibrium point it is pointed out that the limit cycle is caused by the hysteresis behavior of the ball during rolling a pole placement method is proposed to avoid the limit cycle simulation of the control system is an indispensable means for studying the control system through simulation the designers can find out the best control plan for the model because the deference between the concrete system and the model the plan is not very effective when it s applied to the concrete system it need be revised again and again and even designed again this leads to the long design period and high costs how to integrate simulation with testing the practical results in a platform is a key to conquer the problem in the second part the article use matlab simulink real time workshop to develop the ball and beam system by equipping the costumed device driver to replace the mathematical model to carry on the real time control as the result we know that this method is available this method is advantageous for designing person to concentrate on the system design leaves out time and energy consumption in software design control algorithm and interface effectively reduce the development period the paper summarizes the definition of the costumed device driver this method provide the convenient for 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 iii the rtw application keywords ball and beam limit cycle pole placement rtw costumed device driver 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 iv 目目 录录 摘要 i abstract ii 第 1 章 绪论 1 1 1 问题的提出 1 1 1 1 球杆系统 1 1 1 2 系统仿真与 rtw 2 1 2 国内外的研究状况 3 1 2 1 控制理论 3 1 2 2 rtw 典型应用实例 5 1 3 本文研究的主要内容 6 1 3 1 课题研究的对象 6 1 3 2 工作重点 7 1 4 本章小结 8 第 2 章 球杆系统的非线性研究 9 2 1 系统模型 9 2 1 1 球杆系统运动方程 9 2 1 2 拉格朗日方程的线性化方法 13 2 2 球杆系统中非线性因素 15 2 3 球杆系统的设计 20 2 4 本章小结 21 第 3 章 matlab simulink rtw 方案分析 22 3 1 系统的快速原型化 22 3 1 1 快速原型化 22 3 1 2 matlab 及其工具箱 23 3 2 rtw 实时系统开发环境 25 3 2 1 rtw 的安装 25 3 2 2 rtw 代码自动生成过程 25 3 2 3 rtw 外部模式 30 3 2 4 real time workshop 目标环境 30 3 2 5 rtw 目标的选定 32 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 v 3 3 本章小结 32 第 4 章 球杆系统的 rtw 实验设计 33 4 1 实时仿真系统组成 33 4 1 1 i o 设备驱动模块介绍 34 4 1 2 分析球杆系统驱动程序 35 4 1 3 编写 dac98 卡设备驱动模块 38 4 1 4 封装设备驱动 42 4 2 仿真测试 43 4 2 1 搭建 simulink 模型 43 4 2 2 创建和下载实时应用程序 44 4 3 实时控制输出曲线 46 4 4 本章小结 47 结论 48 参考文献 49 附录 52 攻读学位期间发表的学术论文 59 哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明 60 哈尔滨工业大学硕士学位论文使用授权书 60 哈尔滨工业大学硕士学位涉密论文管理 60 致谢 61 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 1 第第 1 章章 绪论绪论 1 1 问题的提出问题的提出 1 1 1 球杆系统球杆系统 球杆系统是一套典型的四阶非线性系统 对球杆系统的理论研究主要见于 国外的相关文献 1 8 对于这样的非线性系统 它的分析与设计往往比线性系统 要困难的多 把非线性动态特性线性化是实际工程控制人员通常采取的办法 然后再用熟知的线性系统设计方法完成控制系统的分析与综合 近二十多年来 以微分几何为主要工具发展起来的精确线性化方法 为解 决一类非线性控制系统的分析与综合提供了强有力的手段 能够解决一定的应 用背景的问题并具有理论意义 但是其缺点在于满足苛刻的条件 且结构复 杂 因而研究非线性系统的近似处理方法就具有一定的理论意义 近似线性化 方法被证明在平衡点的某一邻域内是有效的 误差可以接受 其线性化主要包 括以下几种方法 1 伪线性化方法 2 扩展线性化方法 3 线性化族 4 近似 输入 输出线性化 5 平均化法 6 最佳拟线性化法等 9 对于此系统 john hauser 与 shankar sastry 进行了研究并做了实验 二人 在 1992 年运用上述第四种线性化方法对此类球杆进行了研究 结果证明系统 能很好跟踪的幅值为 3 米 角频率为5 弧度 秒的余弦信号 5 3cosyt 对于一个实际的球杆系统 其导轨总长度一般为1米左右 1 所以这只是一个 仿真结果 1998年 认为反馈输入输出线性化有一定的局限性的b c chang 在文章 中指出这种方法是并没有精确的对消掉系统的全部动态性能 精确的对消在实 际应用中是不可能的 因为存在模型的不确定性 扰动以及不精确的测量值等 因素 他们虽然没有太多的讨论关于鲁棒稳定性的问题 但是很明显不精确的 对消一般会影响这种技术的应用 他将系统分为内环和外环来分别考虑 用近 似输入输出线性化的方法来设计一个内环的控制器 然后用 综合的方法去设 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 2 计外环控制器 用来保证系统鲁棒稳定性 结果表明 这种设计方法能保证鲁 棒稳定性 取得了比 h更好的稳定性和指标 其缺点在于 综合控制器是一 个高阶控制器 不过它从却为从非线性系统的鲁棒稳定性提过了一种研究的思 想 5 实际的球杆系统确实是一个非线性系统 但其中的非线性特性却尚未见有 报道 实际调试发现球杆系统并不是像文献中的数学模型所描述的那么单纯 因此研究和分析球杆系统的非线性特性是对加深对这类定位系统的理解 进而 采用有效的控制方法是很有必要的 10 1 1 2 系统仿真与系统仿真与 rtw 系统仿真成为控制系统分析设计必不可少的手段 它是以系统数学模型为 基础 以计算机为工具 对实际系统进行实验和研究的一种方法 先需要在计 算机上建立数学模型 设计控制算法 进行计算机非实时仿真 用来测试算法 的优劣和可行性 然后将控制算法写入到相应的控制器中进行实时控制 如果 仿真得出的算法控制策略达不到好的效果 则需修改控制策略或控制参数 甚 至修改系统模型 再仿真运行 这样反复 凑试 使系统设计的周期过长 不 能满足产品快速开发的目的 而且易使研究经费耗费过多 研究效率低 11 matlab作为数学分析和工程技术软件得到了广泛的应用 rtw是 mathworks公司提供的matlab工具箱之一 是一个基于simulink的代码自 动生成环境 它能直接从simulink的模型中根据目标配置自动生成多种环境下 的程序 产生优化的 可移植的和个性化的代码 并可以下载到实时内核中运 行 实时视窗目标 real time windows target 是基于rtw体系框架的附加产 品 是一种应用于pc机的实时控制解决方案 针对matlab的rtw工具箱提供的实时控制的功能 我们就可以用来 解决以上系统设计和产品开发中的缺陷 我们希望能构建一个把仿真和验证实 际效果集成一起的平台 使仿真获得的控制算法或方案能随时用于实际系统 测试出控制效果 如果控制效果不佳 能随时修改控制方案甚至修改系统数学 模型 simulink rtw实时仿真实验平台可以把离线仿真和实时控制结合起 来 该实验平台具有的开放性和通用性 提高实验效率 缩短了系统设计和算 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 3 法开发的周期 另外 实时仿真实验平台的构想 可以推广到其它控制实验的开发中 对 促进实验室建设具有一定推动作用 1 2 国内外的研究状况国内外的研究状况 1 2 1 控制理论控制理论 自动控制就是让对象按照预期要求运转 其实质就是反馈控制 即比较被 控制信号与所要求的参考信号 然后用其差来计算所需的校正作用基础 12 13 控制系统分析与设计分为频率域理论学派和时间域理论学派 14 15 这两大学派 一直贯穿于控制理论的发展史中 它们以微分方程为基础 互相补充 互相促 进 交替前进 处于螺旋式上升 控制理论刚刚创立时 是时间域的理论 1868年maxwell的 论调速 器 和1876年vyschnegradsky的 调节器的一般理论 是历史上发表最早的 两篇控制理论著作 都以线性微分方程为数学工具 分析了控制系统稳定条件 和系统的动态性能 1892年 俄国的李雅普诺夫发表了 运动稳定性的一般问 题 他用严格的数学分析论述了稳定性问题 一些非线性系统仍利用李雅普 诺夫稳定性理论进行系统设计 1877年e routh和1895年a hurwitz分别提 出利用特征方程的系数来判断系统稳定性 13 20世纪初 通过分析特征方程 的根来判断系统稳定性 这些关于稳定性的研究 都是针对当时闭环系统自持 振荡产生的 从本世纪30年代起 控制理论得到了空前的发展 逐步发展成为一套完 整且严密的理论体系 1932年h nyquist提出了稳定性判别准则和稳定裕度的 概念 1945年h w bode提出了用bode图分析综合反馈控制系统的方法 即 频率法 1948年w r evans提出了根轨迹法 从而奠定了经典控制理论的基 础 16 至今仍受瞩目的pid控制 17 即属此类方法 经典法主要研究单输入单 输出 single input single output 简记为siso 的线性定常系统 利用劳斯判据 和乃氏判据 bode图 根轨迹等方法分析传递函数 得到系统的动态特性和 稳态性能 但不能表现系统内部的运动状态 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 4 受航天技术发展的影响 尤其是计算机的诞生和应用 促进形成了以状 态空间为基础的现代控制理论 现代控制理论用状态方程代替频率响应 多输 入多输出 multiple input multiple output 简记为mimo 代替单输入单输出 推动了控制理论的发展和应用 1960年代 r e kalman基于状态空间概念 用二次型性能指标处理线性多变量最优控制问题 进而与kalman bucy滤波器 29 相结合 提出了 lqg linear quadratic gaussian 法 lqg法设计的控制器是 由状态反馈控制器和kalman滤波器组成的 能够很好处理外界干扰信号是白 噪声的情况 在宇航领域 关于空间飞行器的发射 制导 跟踪等方面的设计 都取得了极大成功 但是 lqg法将系统的信号不确定性假设为一高斯白噪 声过程 许多实际控制系统的信号不确定性不能满足这一假设 伴随着状态空间的发展 以英国学者h h rosenbrock为代表的学者 对 频域法进一步研究 提出了多变量频域设计方法 这种方法属于古典控制理论 和现代控制理论的交叉内容 它融合了现代控制理论与古典控制理论的优点 1969年 h h rosenbrock 17 首次提出多变量控制系统的逆奈奎斯特阵列设计 方法 这种方法对被控对象进行预补偿 使其传递函数矩阵具有对角优势 对 角优势的概念和对角优势系统的奈奎斯特稳定判据是这种方法的理论基础 解 决了精馏塔 燃气轮发电机组和飞机控制系统等许多工程实际问题 1970年 英国学者a g j macfarlan提出多变量控制系统的特征轨迹设计方法 18 该方 法对控制系统的传递函数矩阵定义一组特征函数 通过特征函数的轨迹 确定 系统稳定性 并且提出了一种设计控制器传递函数矩阵的方法 80年代 以状态反馈为中心 得到了闭环系统的极点配置 19 20 特征结 构配置 21 状态观测器 22 模型匹配 23 等设计方法 还得到了系统稳定性 能控性 能观性等分析方法 在广泛的实际应用中 发现上述这些方法存在重大缺陷 主要是许多控 制对象很难被精确描述 在其数学模型中不可避免地存在各种形式的不确定 性 控制系统常见的不确定性主要包括参数不确定性和未建模动态不确定性 或称为动态不确定性 两种 动态不确定性又可分为加性不确定性 乘性不确 定性 互质因子不确定性三种形式 参数不确定性对系统的影响通常发生在低 频 未建模动态不确定性主要表现在高频 对象的不确定性问题是工程实际经 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 5 常遇到并迫切需要解决的问题 引起了人们的广泛重视 随着控制理论及其相关分支的不断发展 对于球杆控制系统的控制器也提 出了许多不同的设计方法 最为常用的方法就是状态反馈法 状态反馈法属于 现代控制理论 特别适用与多输入多输出系统 状态反馈使用了系统状态变量 的线性组合 作为反馈变量来配置系统的极点 将系统的闭环极点转移到期望 的位置上 从而满足系统的性能要求 具体又可以分为全状态反馈和部分状态 反馈 取决于所取得状态变量的多少 全状态反馈使用了全部状态变量的线性 组合来构成反馈系统 而部分状态反馈只是使用一部分状态的线性组合来构成 反馈系统 在状态空间中 状态反馈的优越性在于可将系统的状态和输入综和 起来组成系统的控制信号 从而可以完全确定系统的未来行为 得到较好的控 制效果 一般的控制器中 应用最广泛的是pid控制器 其结构简单 使用方便 运行可靠 在控制之中常被采用 不过其在解决系统中存在的非线性因素显得 力不从心 对此 国内外许多学者都在寻求新的控制策略 提出了一些实用而 高效的控制策略 据有关文献 很多人利用球杆系统进行相关研究 1 14 包括 遗传算法 2 鲁棒性能分析 5 24 trajectory planning方法 4 球杆系统的近似 线性化处理 1 利用状态观测器进行扰动补偿 7 和极点配置等理论 1 2 2 rtw 典型应用实例典型应用实例 rtw作为matlab实时控制重要的工具箱 以其方便 高效的性能得到 设计人员的广泛应用 下面仅列举一些相关的文章 借以说明其应用领域 1 在matlab环境下利用real time workshop实现实时数据采集与处理的 一种方法实现了风机机组状态 25 2 针对控制系统的建模和仿真中simulink 和visual c vc 不能直接互 用 传统的设计阶段和实现阶段被断开的问题 该文通过利用实时代码生成工 具箱 rtw 将simulink 模块图自动转换为c 代码 经过少量改写和加入实时控 制机制 提供了一种从simulink 模块图平滑过渡到vc集成开发环境的途径 从而实现了设计阶段和实现阶段的无缝连接 省去了在vc中编写模型代码和 仿真控制代码的繁琐工作 而且大大便利了系统的二次开发和整合 该文给出 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 6 了利用此方法开发系统的具体步骤和系统框架 并详细讨论了实时控制系统开 发中的定时和资源分配问题 26 3 彻底地阐述rtw的应用 并将xpc模式应用于卫星中 对卫星对地定向 高精度姿态的加以控制 27 4 介绍了一种新的基于matlab rtw real time workshop 和vxworks 实时操作系统的仿真方法 构建了基于simulink的某型无人机飞控系统仿真模 型 可自动生成优化的嵌入式实时仿真代码 在线调整模型参数并监视仿真数 据 与传统的手工编写和修改仿真模型代码的方法相比 加速了半物理仿真平 台的研制 通过使用该平台对某型无人机飞控系统进行了大量的实时半物理仿 真 优化了控制律 28 以上只是rtw应用的一些例子 它十分适用于加速仿真 快速原型化 形 成完善的实时仿真解决途径和生成产品级嵌入式实时应用程序 在matlab环 境下实时控制的两种实现方法 采用基于mex文件进行实时控制 具有简单易 学 控制方便等特点 但运行速度稍慢 使用simulink和real time workshop 进行实时控制 具有控制系统参数修改方便 运行速度快 在完成仿真和调试 后可生成c代码并移植到硬件直接使用 使控制系统得以快速成形 总而言 之 rtw提供了一个系统设计到硬件实现的直接途径 1 3 本文研究的主要内容本文研究的主要内容 1 3 1 课题研究的对象课题研究的对象 本文的研究对象为德国amira公司生产的ball and beam实验装置 bw500 如图1 1所示 该装置用位于装置底部的直流伺服电机 direct current 通过齿形橡胶带带动杆转动 杆上放置一个小钢球 当杆偏离水平位 置一个角度时 小球便在自身重力的作用下沿杆上的光滑金属导轨自由滚动 球的位置使用顶部的光学系统来测量 杆的角度由装置底部的码盘测量 通过 控制杆的转动 使球停止在给定的位置上 小球在杆两端的最大滚动范围为 0 4m 杆的最大摆角为 0 2rad 30 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 7 图 1 1 amira 公司球杆系统 fig 1 1 the ball and beam of the amira 球杆系统是先进国家大学控制实验室里常见的实验设备 通常用来检验控 制策略的效果 是控制理论研究中较为理想的实验手段 由于球杆系统与机器 人有很多的相似性 而且很多实际系统都可以抽象为球杆模型 因此对球杆系 统的研究引起了国内外学者关注 1 3 2 工作重点工作重点 本文侧重于在 matlab 环境中实现球杆系统的rtw实时控制实验的开 发 对于这一目标 我们需要解决的问题有 1 rtw实时性的分析 2 dac98设备驱动模块的编写 3 基于该平台设计一套合理的控制实验 下面是在本论文研究的主要内容 1 分析球杆系统模型 基本控制方法以及系统非线性的问题 2 学习rtw实时控制的目标环境 3 编写dac98设备驱动模块 4 设计该实验平台 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 8 5 测试该平台 检验控制效果 1 4 本章小结本章小结 本文将依据试验结果 分析球杆系统的非线性模型 并提出一种极点配 置的方法 避免系统的自振荡现象的产生 基于对matlab simulink rtw 的学习 提出球杆系统试验平台改造方案 最后设计摆脱原系统控制软件对控 制算法的限制的控制平台 并在此基础上进行了简单的控制算法设计 用以检 验rtw实时控制的有效性 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 9 第第 2 章章 球杆系统的非线性研究球杆系统的非线性研究 本章基于拉格朗日方程的线性化方法 通过此方法建立起球杆系统简洁而 直观的数学模型 分析球杆系统中的非线性特性 并寻求到了一种方法来避免自 振荡 仿真和实验验证了这一方法的正确性 2 1 系统模型系统模型 2 1 1 球杆系统运动方程球杆系统运动方程 1788年拉格朗日发表了名著 分析力学 建立了经典力学的拉格朗日形 式 如果一个动态系统具有动能为 t 势能为 v 且其能量耗散函数为 r 则 其运动可用拉格朗日微分方程来描述 31 d d tt t q q v q r q tu 2 1 式中 t 1 k qq q为k维的广义坐标向量 t 1 k uu u为作用于系统的外 力向量 一般来说 系统的所有可能的运动是由n个自由坐标 j j n 1 来确定 的 但是对于一个机械系统来说 因为存在着几何的或运动学上的约束 真正 需要用来描述运动的坐标数目要减掉这 个约束条件 剩余的坐标用 i q表示 称为广义坐标 i q 1 ik 广义坐标的数目k 就是系统的自由度 即能 完全描述体系的运动所需要的可独立变化的坐标参量数目 称为体系的自由 度 以下为变量表示的物理意义 m 球的质量 m 杆的质量 g 重力加速度 r 球的旋转半径 b i 球的惯性力矩 w i 杆的惯性力矩 x 球相对于杆的坐标 y 球相对 于杆的坐标 球相对于杆的转角 杆与水平线的夹角 由图2 1可见 该球 杆对象的自由坐标有3个 球在杆上的坐标x 球的滚 转角 和杆的转角 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 10 但是因为系统有r x 这就成为了一个约束条件 1 这样球杆系统 的广义坐标有两个 球在杆上的坐标 1 xq 杆的转角 q2 为了求得系统的动能 首先要计算小球与导轨的转动惯量 小球的转动惯量ib 252 1032 4 5 2 kgmmrib 2 2 w i 2 0 1402kgm 2 3 图 2 1 球杆系统坐标系 fig 2 1 the coordinate of the ball and beam 系统的动能分为小球的动能 w t和导轨的动能 b t 导轨的动能为 w t 2 2 1 w i 2 4 tb 2 2 2 1 2 1 b v b im 2 5 式 2 5 中v是球的线速度 可通过向量积来表示 rvv 2 6 其中小球的动能包括两部分 第一部分是小球的线速度产生的动能 第二 部分是小球在杆上绕杆中心转动产生的动能 式中 v 是球在杆坐标系中的线速度 等于 x 负号是按图2 2中的向 x的负方向 r 是球的质心在杆的坐标系中的位置向量 mg x y m ib m iw 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 11 是杆坐标系的转速 即 将这几个量用向量来表示 代入 2 6 式得 00 0 0 0 0 x rx r xx v 2 7 式 2 7 表明 理论上v的水平分量中除 x 外 还受到杆转动 的影响 但由于 球的半径r很小 的数值也很小 所以 r与 x 相比可以忽略 这样球的线 速度v为 0 x x v 2 8 222 xxv 2 9 式 2 5 中的 b 也是由两个分量组成的 球在杆上的滚动rx 要加上杆的转速 即 b r x 2 10 222 2 r x r x b 2 11 因为 的数值很小 因此 在式 2 10 中 可忽略后两项 即 22 r x b 2 12 把 2 9 2 11 代入 2 5 得 b t 2 1 2222 r x ixxm b 2 13 由 2 12 2 13 得系统动能为 wb ttt 2 1 22222 r x ixxmi b 2 14 系统的势能为 v sinmgx 2 15 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 12 式 2 15 中的负号表示向y的负方向 现将各已知条件带入到拉格朗日方程来推导系统的运动方程 其推导过程 如下 2 1 22222 r x ixxmi xx t b x r i m b 2 2 16 由 2 16 式得 dt d x r i m 2 b dt d x t x r i m b 2 2 17 动能对x求偏导 2 1 22222 r x ixxmi xx t b 2 mx 2 18 对系统势能进行求偏导 sinmgx xx v sinmg 2 19 因为忽略了系统的阻尼 即 q r 项为零 而作用在系统的外力为0 所 以 对于广义坐标x拉格朗日方程右边后两项为零 即 x v x t x t dt d 代入式 2 17 2 18 2 19 得到关于广义坐标x的方程为 sin 2 2 mgmxx r i m b 2 20 对于广义坐标 导轨的偏角 2 1 2 r x i xxm i t b 2222 2 mxiw 2 21 由 2 21 式得 dt d dt d 2 w mxi t xmxmxiw2 2 2 22 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 13 对 求偏导 2 1 22222 r x ixxmi tt b 0 2 23 对系统势能进行关于 求偏导 sinmgx v cosmg 2 24 这时 由于忽略了系统的阻尼 即 q r 项为零 电机力矩 在广义坐标 上就 是对应的一个广义力 可得到系统关于广义坐标 的拉格朗日方程为 vtt dt d 代入式 2 22 2 23 2 24 得到关于广义坐标 的拉格朗日方程为 cos2 2 mgxxmximx 2 25 联立式 2 20 与式 2 25 可得球杆对象的运动方程为 2 2 sin b i mxmxmg r 2 26a cos2 2 mgxxmximx 2 26b 至此 球杆系统的运动方程通过拉格朗日方程已建立起来 32 2 1 2 拉格朗日方程的线性化方法拉格朗日方程的线性化方法 一般来说 拉格朗日方程所导出的式 2 26 是非线性方程 若系统的运动 方程可以线性化 那么就可以用线性系统理论来分析平衡点的稳定性 如果在 平衡点附近的小偏差范围内 忽略各高次方而得到一个与微小偏差成线性的关 系式则称为线性化 如果要研究该系统在平衡点的稳定性 可以采用微小偏移 下的线性化方程 但这并不是指在上式的基础上进行线性化 而是应该在动能 t的表达式 2 14 上进行线性化处理 具体来说 式 2 14 中的 22 mx项系数 2 mx是与工作点坐标x有关 例如设要分析的是x x0处的稳定性 那么这个系 数就是 2 0 mx 故列写线性化方程时就认为 2 mx是常系数 与广义坐标的微小变 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 14 化无关 这时 拉格朗日方程中的有关导数项就消失了 系统运动方程组就成 为 sin 2 mgx r i m b 2 27a cos 2 mgximx 2 27b 在这种情况下 考虑到是研究微小偏差下的性能 可取 sin 1cos 故得最终的线性化方程式为 mgx r i m b 2 2 28a mgximx 2 2 28b 上面公式中的 2 mx是与工作点x0有关 等于 2 0 mx 这一组线性化方程将球杆系统的特点描绘得非常清楚 式 2 28a 表示杆转 动 角引起的重力加速度分量使球沿杆运动 2 28b 则说明球处于不同位置产 生的力矩与外力矩使杆偏转 杆和球在一起的转动惯量是 2 mxi 随球在 杆上的位置而变 而球位置的影响是正反馈 可见不光是这种线性化处理过程 比较直观 简单 处理结果的物理概念也非常清晰 根据球杆对象的线性运动方程式 2 28 选取系统变量 1 xx 2 xx 3 x 4 x 则 1 x代表球在杆上的位置 2 x代表球在杆上的线速度 3 x 代表杆的倾斜角度 4 x代表杆的旋转角速度 将具体数据代入式 2 28 有 12 xx 2 29 1 23 2 7 b i xmmgx r 2 30 34 xx 2 31 21 4011 18 8737 133 w xmximgxx 2 32a 由于球杆系统中 电机的输出为控制力u 力臂为0 49m 令ul u 为电机输出力 l为力臂 即0 49u 式 2 32a 变为 21 4011 18 8733 495 w xmximgxxu 2 32b 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 15 将式 2 29 2 30 2 31 2 32b 写成矩阵形式如下 11 22 33 44 01000 00700 00010 18 8730003 495 xx xx u xx xx 2 33 1 2 3 4 1000 0010 x x y x x 2 34 2 2 球杆系统中非线性因素球杆系统中非线性因素 球杆系统的运动方程式如式 2 26 为 cos2 sin 2 2 2 mgxxmximx mgmxx r i m b 设原点为平衡点 如果按原点展开 其小偏差线性化方程为这组线性方程 就是这个球杆系统作为现代控制理论课程实验装置的数学模型 可在此基础上 开展有关的研究 mgx r i m b 2 2 35a mgxi 2 35b 近来还有作者将球杆系统作为一种典型的非线性系统来进行研究 33 但是 这个系统极易出现自振荡 也许因为是这个缘故 促使人们从非线性的角度来 研究这个系统 一般在进行非线性研究时都是以式 2 26 的非线性方程作为出 发点 但是式 2 26 中的 项是向心加速度 x 项是哥氏 coriolis 加速度 这两项在实际系统中是非常小的 以致于最后的结论是当x 5m 1 中是3m 时 系统是不稳定的 要知道实际装置上球的行程只有m4 0 所以这种理论分析 的结果 并无助于实际问题的解决 对球杆系统来说 现在的问题是围绕着平衡点出现自振荡 因此球杆系统 2 x 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 16 的主要问题是平衡点的稳定问题 平衡点是指杆处于水平位置 0 而球停 在某一位置 0 xx 当研究平衡点稳定性时 1cos sin 2 0 2 mxmx 可视为常数 由于实际系统中mx4 0 或0 的特性 图2 4所示 对球 杆系统来说 实 验表明在平衡点附近的小区域内还存在一个死区特性 所以这是一种带死区的 滞环特性 设用 表示相空间中的这个区域 2 2 37 则该非线性特性可描述如下 时 0 11 1 aa signa 2 38 时 22 2 22 0 aa a aa 2 39 式 2 38 所表示的就是滞环特性 而式 2 39 为死区特性 式中 是杆的转角 也就是原式 2 35b 中的 非线性的输出 就是式 2 35a 右项中的 也就是 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 20 说 要在这两个线性方程之间插入上述的非线性环节 图2 5中线性部分的频 率特性 jwg就是根据这种系统结构来计算的 仿真研究时需要在式 2 38 2 39 之间进行切换 为方便应用可以将式 2 38 2 39 在simulink环境下封装成一 个模块 36 仿真分析中 1 a仍取其标称值rad007 0 而死区部分 的参数为 2 40 按式 2 40 参数仿真所得的结果见图2 7 角度振荡一次后就稳定下来 了 与图2 2的前一个方波周期内的波形有相似的特性 当参数不变 仅改变 2 a 将 2 a从式 2 30 的rad0065 0改成rad0064 0时 系统就出现与图2 6一样的 自振荡 这说明这个系统对 1 a与 2 a的相对关系极为敏感 稍有变化时就会从进 入死区的稳定状态跳变为自振荡 或相反 而这个 1 a和 2 a是由于球压在杆上的 弹性变形引起的 本身就带有不确定性 因此这个实验系统就会出现图2 2所 示的情况 有时是稳定的 进入死区 有时则出现自振荡 一直停不下来 图2 7 式2 40的仿真曲线 fig 2 7 the simulation figure of 2 40 2 3 球杆系统的设计球杆系统的设计 由于球杆系统极易出现自振荡 所以这个实验装置一般来说是很难调试 的 现在有了这个非线性模型式 2 38 2 39 就可以来讨论调试问题了 因为这 里有死区特性 所以杆和球是可以停下来的 但 1 a和 2 a相差不大 球只要一滚 rad sec002 0 rad0001 0 rad0065 0 2 a 01020304050 0 02 0 0 02 0 04 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 21 出 区域就会出现自振荡 所以状态反馈增益 d k选择时应使系统的主导极点 是一个单极点 即应该使系统呈现出一阶系统的特性 因为如果是一阶的特 性 则其相轨迹是单侧趋近于死区的 如果按常规的复数主导极点来设计 则 其相轨迹有可能要绕过死区 即有可能离开 区域 进入自振荡状态 基 于 这 个 认 识 先 按 连 续 系 统 设 计 将 极 点 配 置 在 0 8 4 12 3382 j19 6387 当然也可以配置其他极点 主要是设法让只有一个单极点 靠近原点 将这些极点按 s st ez 的关系式转换为离散极点 再根据极点配置理 论 得离散的状态反馈阵为 6962 62558 978261 505559 37 2 d k 2 41 图2 8所示就是在这个反馈阵 2d k控制下球杆系统跟踪方波信号的记录曲线 每 次阶跃变化后系统都能稳定下来不再出现自振荡 这个实验结果表明 上节对非线性特性的认识是正确的 用这个思路来指 导设计可取得预期的效果 图 2 8 球位置x试验曲线图 fig 2 8 position of the ball 2 4 本章小结本章小结 经过本章的分析 实际的球杆系统确实是一个非线性系统 并不是像文献 中的数学模型所描述的那么单纯 其真正的问题并不是大行程下的非线性现 象 而是平衡点上的自振荡问题 采用本章提出的极点配置的方法 可以看到 有效地避免了自振荡的现象 27 9 2005 16 48 5 measured position m ball position time s 04080120160200 0 15 0 05 0 05 0 15 ball position 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 22 第第 3 章章 matlab simulink rtw 方案分析方案分析 rtw real time workshop 实时工作间 是matlab的重要组成部 分 rtw与matlab simulink的无缝连接为实现cad与实时仿真一体化提 供了很好的技术途径 本章先从快速原型化谈起 进而介绍了rtw实时系统 开发环境和目标 最后确定了球杆系统实时控制目标的选择方案 3 1 系统的快速原型化系统的快速原型化 3 1 1 快速原型化快速原型化 rcp rapid control prototyping 快速控制原型 原型设计法是现代设计开发的一种常用方法 广泛应用于控制及信息领域 等各个领域 让我们先回顾一下传统的系统开发过程 传统的开发过程完成一 个开发项目通常需要涉及到几个工作组 如算法设计组 软件开发 硬件实现 组和测试组等 可以说整个开发过程是顺序的 而不是迭代式的 因为在每个 阶段使用的工具也不尽相同 各个阶段的交流需要通过文档来完成 这样就对工程的进度有了很大程度的影响 其原因在于开发者在进行下一 阶段前必须首先重新输入上一阶段的结果 这样很容易造成错误 而且发现错 误的阶段越晚 则需要越多的代价和时间进行更正 当测试发现错误的时候 上一步的设计工作就需要重复做起 37 对于进行控制算法研究的人而言 急需的是一个方便而又快捷的途径 可 以将他们用控制系统设计软件开发的控制算法在一个实时的包含控制对象硬件 的平台上实现 以检验控制算法的性能 具体说来 如果控制算法不理想 则 必须进行反复设计 反复试验直到找到理想的合适的控制方案 38 快速控制原型化的方法最大的优点就在于 给设计 开发者以无穷的思维 空间 使他们可以在用户需求不十分明确的情况下 首先进行原型的设计 并 在设计过程中不断地根据用户的需求变化来调整设计参数 甚至于设计方案 最终可以完全实现用户的需求 它与传统的模型法的最重要的区别就在于 用 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 23 传统的方法您必须在开发之前就准确地定义用户需求 但由于现在用户需求的 多样性 可能在系统开发成功之时 由于需求的变动也正是系统寿命结束之 际 而原型法在开发初期不必十分准确地定义用户需求 对需求的满足是在开 发过程中不断地修改原型参数来得以满足的 简单地说 快速控制原型就是远在产品型开发之前 使您的新的控制思路 方法 能在实时硬件上方便而快捷地进行测试 通过实时测试 就可以在设 计初期发现存在的问题 反过来修改原型或参数 再进行实时测试 这样反复 进行 最终产生一个完全面向用户需求的合理可行的控制原型 利用rcp进 行控制系统的设计有以下优点 1 缩短开发周期 为控制算法研究人员提供了良好的开发平台 2 开发早期减少 消除可能的错误及缺陷 从而达到节省开支 这种设计过程实现各个阶段之间快速的迭代过程 使我们将精力集中在具 有创造性的工作上 3 1 2 matlab 及其工具箱及其工具箱 如果要具有上述开发特点 必须使用可以很容易实现从一个阶段过渡到另 一个阶段的工具 例如 控制系统工程师可直接在快速原型化系统阶段对控制 算法进行校验 并根据结果对算法进行相关的设计 提高系统性能 这种螺旋 型的设计过程从本质上更接近于并行开发过程 众所周知 matlab本身是一种科学计算软件 专门以矩阵的形式处理 数据 它是美国公司 mathworks 开发的用于教育 工程与科学计算的软件产 品 它集各学科相关工具箱于一身 具体包括科学计算 自动控制 信号处 理 神经网络和图象处理等 simulink 产品是对复杂的动态系统进行建模和仿真的图形化交互式平台 利用该产品 用户只要通过简单的鼠标操作就可以建立复杂的动态系统 它是 marlab族中重要的组成部分 它主要用于系统级的设计和仿真 同时也用 于算法开发 rtw为real time works的缩写 该产品是将simulink框图模型转变成此 标准c语言的工具 这样的c源程序结合具体的实时软件和硬件 可以完成 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 24 实时条件下的动态系统测试仿真 例如快速控制原型仿真和硬件在回路的仿 真 用 simulink 搭建的模型通过real time workshop 可以自动生成面向不同 目标的代码 以 matlab 和 sim