高中数学 423 直线与圆的方程的应用课件 新人教A版必修2.pptVIP

4 2 3直线与圆的方程的应用 用坐标方法解决平面几何问题一般分三步 第一步 建立直角坐标系 用坐标和方程表示问题中的几何元素 将几何问题转化为代数问题 第二步 通过代数运算 解决代数问题 第三步 把代数运算结果转化为几何问题 本节学习重点 圆的方程的应用 本节学习难点 实际问题向数学模型的转化 例1 圆拱桥的弓形弧如图 跨度 oa 8 弓形的高为2m 在如图所示平面直角坐标系中 求此弧所在圆的方程 解析 设圆心坐标为 4 b 圆的半径为r那么圆的方程是 x 4 2 y b 2 r2由于原点o 0 0 和圆弧最高点 4 2 在圆上解得 b 3 r2 25所以圆的方程是 x 4 2 y 3 2 25 据气象台预报 在s岛正东300公里的a处形成一个台风中心 并以每小时40公里的速度向西北方向移动 在距台风中心250公里以内的地区将受其影响 问从现在起 经过 小时台风将影响s岛 持续时间 小时 答案 26 6 解析 以a为原点 as所在直线为x轴建立坐标系如图 则s 300 0 以s为圆心 250为半径的圆的方程为 x 300 2 y2 2502 由题意台风中心从a处以每小时40公里的速度向西北方向移动 故台风中心的移动轨迹为射线y x x 0 据题意可知 距台风中心250公里以内地区将受其影响 即台风中心移动到线段mn上时 s岛受其影响 所以从现在起约经过2小时 台风将影响s岛 持续时间约6 6小时 例2 已知 aob中 ob 3 oa 4 ab 5 点p是 abo内切圆上一点 求以 pa pb po 为直径的三个圆面积之和的最大与最小值 分析 三个圆面积之和的最值问题实质上是求 pa 2 pb 2 po 2的最值 由于p是 abo内切圆上的点 若想找到p点坐标必须先从 abo内切圆的方程入手 解析 建立如图直角坐标系 则a b o三点的坐标分别为a 4 0 b 0 3 o 0 0 故内切圆的方程是 x 1 2 y 1 2 1 化简为x2 y2 2x 2y 1 0 又 pa 2 pb 2 po 2 x 4 2 y2 x2 y 3 2 x2 y2 3x2 3y2 8x 6y 25 由 可知x2 y2 2y 2x 1 将其代入 有 pa 2 pb 2 po 2 3 2x 1 8x 25 2x 22 x 0 2 故 pa 2 pb 2 po 2的最大值为22 最小值为18 三个圆面积之和为 例3 已知圆c x2 y2 2x 4y 4 0 问是否存在斜率为1的直线l 使l被圆c截得的弦ab为直径的圆过原点 若存在 写出直线l的方程 若不存在 说明理由 由条件知 an no ac 3 an 2 nc 2 ac 2 m 1或m 4 所求直线l的方程是x y 1 0和x y 4 0 一 选择题1 若直线3x 4y k 0与圆x2 y2 6x 5 0相切 则k的值等于 a 1或 19b 10或 10c 1或 19d 1或19 答案 a 解析 方程x2 y2 6x 5 0配方得 2 圆x2 y2 4上的点到直线x y 3的距离的最大值是 答案 c 点评 与圆有关的最值问题较多 常见的有以下几个方面 1 动点p到圆的切线长最短一般用勾股定理转化为二次函数求解 2 p为 c内一定点 过点p的直线l与 c相交弦中最长的为直径 该直径的两端点中 一个是圆上点到点p距离的最大值点 一个是最小值点 最短弦为以p为中点的弦 即与该直径垂直的弦 如图 弦ab与直径ef垂直 mn是过p的任一弦 中点为q 显然cp cq 从而abmp 可知e点是 c上到p点距离最大的点 又pf cf cp cn cp pn 知f点是 c上到点p距离最小的点 d为 c上任一点 则r pc dp r pc 3 直线l与 c相离 c上任一点p到l的距离取值范围是 d r d r 其中d是c到l的距离 例如 已知p是直线3x 4y 8 0上的动点 pa pb是圆x2 y2 2x 2y 1 0的两条切线 a b是切点 c是圆心 则四边形pacb面积的最小值为 解析 点p在直线3x 4y 8 0上 如下图 c点坐标为 1 1 s四边形pacb 2s pac ap ac ap ap 2 pc 2 ac 2 pc 2 1 试一试解决下列各题 1 由y轴上动点p 向 c x 3 2 y 1 2 1引切线 则切线长的最小值为 2 已知 c x 1 2 y 2 2 4 点p 0 1 q是 c上动点 则 pq 的取值范围是 3 已知 c x2 y2 9 点p 1 1 过点p的所有直线中 直线l被 c截得弦长最短 则l的方程为 二 填空题3 已知圆c x 1 2 y2 1 以m 4 4 为圆心 且与圆c外切的圆m的方程是 答案 x 4 2 y 4 2 16 解析 设所求圆半径为r 4 已知o为坐标原点 圆x2 y2 x 6y c 0与直线x 2y 3 0的两个交点为p q 若op oq 则c 答案 35y2 20y 12 c 0 直线与圆相交于两不同点 400 20 12 c 0 c 8 设p x1 y1 q x2 y2 op oq x1x2 y1y2 0 三 解答题5 设ab是圆x2 y2 1的