空洞上方浅基础地基破坏模式与极限承载力分析.docx

文章编号：10007598 (2010) 11337306空洞上方浅基础地基破坏模式与极限承载力分析辉 1，杨峰 2，阳军生 2刘（1. 长沙理工大学 土木与建筑学院，长沙 410076；2. 中南大学 土木建筑学院，长沙 410075）摘 要: 利用极限分析上限法求解地基极限承载力问题的关键在于构造合适的破坏模式。当地基下方存在空洞时，地基的破坏模式变得相当复杂。通过分析空洞存在时地基的受力特点及破坏形态，将地基破坏范围划分成为不同的刚性区和过渡区， 构造了空洞上方条形基础地基的破坏模式。利用上限法，建立与破坏模式对应的速度场，推导了破坏模式不同区域内的耗散 功率和外力功率，得到地基极限承载力的目标函数，并采用数学优化方法进行求解，获得了极限承载力的上限解。通过算例 分析，讨论了空洞顶板厚度、空洞大小与地基极限承载力的关系，并与无空洞条件下地基极限承载力进行对比分析。结果表 明，随着空洞顶板厚度增加，地基极限承载力增加，破坏模式也由地基与空洞之间扩散到地基两侧；空洞顶板厚度存在临界 值，当超过此临界值时，空洞对地基极限承载力的影响可忽略。关 键 词：地基基础；条形基础；空洞；极限承载力；上限法中图分类号：tu 47文献标识码：afailure mechanism and ultimate bearing capacity of strip footing above voidliu hui1，yang feng2，yang jun-sheng2（1. school of civil engineering and architecture, changsha university of science and technology, changsha 410076, china;2. school of civil and architectural engineering, central south university, changsha 410075, china）abstract: the most important step of solving ultimate bearing capacity problem by using upper bound limit analysis is to form asuitable failure mechanism. the failure mechanism becomes complex when there is a void beneath the footing. by analyzing the mechanic properties and failure shape of strip footing above void, its failure mechanism was formed and the failure range was divided by various rigid and transition area. upon upper bound method, the velocity field corresponding to failure mechanism was built, and the energy caused by external force and energy dissipation under limit state was deduced. thus the object function of ultimate bearing capacity can be obtained and solved by mathematic optimization. finally, the influence factors of ultimate bearing capacity, such as void roof thickness and size, were analyzed by using calculating example. the obtained results were also compared with the case which no void contains. it shows that ultimate bearing capacity is increased with the increase of void roof thickness and the range of failure mechanism is therefore diffusing from area beneath the footing to both sides of footing. and there also exists a critical void roof thickness beyond which, the influence of void can be neglect.key words: foundation; strip footing; void; ultimate bearing capacity; upper bound method与实际有一定的差距。有限元法是目前进行空洞上方地基承载力的估算普遍应用的方法，文献25 利用有限元结合模型试验的方法，研究了不同条件 下空洞上方条形基础地基极限承载力问题，得到了 相应的计算图表；文献67利用有限元法，分别 研究了溶洞上方圆形和条形基础地基极限承载力问 题，并对影响因素进行分析；文献8利用有限元， 分析了一个空洞存在时其位置的不同对浅基础承载 力与沉降的影响，并对其发生机制进行了研究。引言1在天然和人工空洞上方进行基础的设计与施工时，需考虑空洞存在对地基承载力的影响。空洞上 方基础的承载力不仅与顶板厚度、岩土体的力学性 质有关，还与基础的尺寸、空洞大小等因素相关。 对于计算空洞顶板的稳定性问题，常采用梁、 板模型以及塌落拱和压力拱等方法进行分析1。然 而采用梁、板模型对问题进行简化，计算结果往往收稿日期：2009-08-10第一作者简介：刘辉，男，1963 年生，博士，副教授，长期从事岩土工程的教学与研究工作。e-mail: 3374岩土力学2010 年目前，极限分析上限法在边坡稳定、地基承载力以及土压力等问题得到了应用911，而对于空洞 上方条形基础地基承载力问题，由于空洞的存在， 边界条件和地基破坏模式变得复杂，利用上限法研 究空洞上方条形基础地基承载力的文献还较少。本文针对空洞上方条形基础地基极限承载力问 题，分析了空洞存在时地基的破坏模式及其演变过 程，并利用极限分析上限法确定地基极限承载力， 讨论了空洞顶板厚度和空洞大小等因素对极限承载 力的影响。2 地基破坏模式2.1基本假定 为利用极限分析上限法并适当简化计算，本文对于空洞上方条形基础地基承载力问题假定：地 基岩土体为理想弹塑性体，服从摩尔-库仑屈服准则的 c- 材料，且材料性质均一。地表为水平，空洞为圆形，圆心与条形基础中心位于竖向同一直线上，且空洞与条形基础延伸方向相同，即可按照 平面应变问题考虑。空洞在未承受基础荷载前是 稳定的。2.2地基破坏模式构造 极限分析上限定理表明，在所有的与运动许可的速度场对应的荷载中最小的荷载，即为极限荷载 的上限。因此，利用极限分析上限法求解地基极限承载力问题的关键在于构造合理的破坏模式以及相应的速度场。图 1 为 prandl 提出的地基破坏模式9。由朗肯 主动区、过渡区(对数螺旋线剪切区)和朗肯被动区 组成，相应的速度场见图 2(a)。当不考虑土体自重 并假定基底无摩擦力时，破坏模式可惟一确定。此 时， 1 = /2 + /2 ， 2 = /2 ，而考虑土体自重及基底无相对滑动时，1 和2 为变量，可以利用上限法经数学优化得到。运动方向均偏向空洞。笔者认为，空洞存在一定埋深时，也可能同时出现基础两侧偏向地表的破坏形 态。由文献9可知，由任意一个运动许可的速度场， 均可得到一个上限解。由此，本文提出如图 3 所示 的破坏模式(满足运动许可条件)。从图可知，在极 限荷载 p 的作用下，由对称性，地基正下方 s1 和 s3 区域整体向下运动。地基两侧土体与图 1 相似，由 过渡区(对数螺旋线剪切区)和朗肯被动区 s2 组成。 空洞两侧速度由竖向逐渐变为偏向空洞内部，由过 渡区(对数螺旋线剪切区)和刚性区 s4 组成。破坏模 式中的刚性滑动区域边界上的速度间断线包括 l1 、l4 、 l7 、 l9 ，破坏模式相应的速度场见图 2(b)。由于空洞半径 r，顶板厚度 h 以及条形基础宽度 b 已 知，破坏模式可由图 3 中的角度1 、2 、3 、4 这 4 个变量所确定。v2v22v14v0,1 1 3v42v0/2+ -1v31/2+v1v0,1/2+v5v3,5v0,5v0/2+ -1(a) 无空洞(b) 有空洞图 2无空洞和有空洞时地基破坏模式相应的速度场fig.2velocity field of failure mechanismwithout and with voidbp2b10pl321l4s2s1l2l1图 3存在空洞时条形基础地基破坏模式fig.3 failure mechanism of strip footing with void图 1 无空洞条形基础地基破坏模式fig.1 failure mechanism of strip footing without void从图 1、3 可以看出，存在空洞时，地基破坏模式与无空洞的情况有较大的差别，地基和空洞之间 区域主要为剪切破坏。当空洞顶板厚度较大时，地基破坏范围(图 3 中 s1 、 s3 )向空洞方向扩散的同时当存在空洞时，地基破坏模式与图 1 不同，可通过模型试验或有限元法进行确定。文献4提出了3 种由刚体滑块体系组成的破坏模式，其中滑块的l3l4s l2l7l82 1s1l1hl5s3 l6l93 s4l4l11r第 11 期刘 辉等：空洞上方浅基础地基破坏模式与极限承载力分析3375可能对两侧岩土体产生强烈的挤压并受其夹制作用，其速度方向必然为竖直向下；当破坏范围逐渐 扩散至地基以及空洞两侧时，受地表和空洞边界的 影响，该范围的速度方向逐渐发生偏转。而且，在 相邻区域之间，速度发生间断，变化剧烈。在速度间断线上，其相对速度矢量与之夹角均为 ，满足相关联流动法则。3 地基极限承载力计算3.1 对数螺旋线剪切区重力功率和耗散功率图 1、3 为破坏模式均包含对数螺旋线剪切区， 图 4 为 oab 为一个标准的对数螺旋线剪切区，其起 始边 r0 与水平方向夹角为 ，速度为 v0 ，方向垂直于 r0 ，终止边 r 上的速度为 v ，r0 与 r 之间夹角为 。ab 是以 o 为圆心的对数螺旋线，可以认为 oab 由无数个三角形刚性滑块组成，其整体的重力功率和 耗散功率可由计算微三角形块的重力功率和耗散功 率，之后在 角范围内积分得到。如图 4 所示，对数螺旋线剪切区的重力功率为v = v cos( ) cos ; v= v sin cos 1 010,1 0 1 （3）v = v a cos( ) cos2 0 11几何关系为l1 = b (2 cos1 ) ; l2 = ba1 (2 cos1 )l3 = ba1 cos 2 cos1 sin(1 + 2 / 2)l4 = ba1 sin(1 + 2 ) 2 cos1 sin(1 + 2 /2)（4）刚性滑块面积为2s1 = b (8 cos1 )（5）s2 = l2 l3 sin(1 + 2 ) 2 破坏模式重力功率计算如下，其中 s 和 s 区域1 2重力功率 p 和 p 为 1 22p 1 = b v0 (8 tan 1 )（6）p 1 = v2 l2 l3 sin(1 + 2 ) cos(1 + 2 ) 2 令式(1)中的 r0 = l1 ， v0 = v1 ， = 1 ， = 2 ，即可得到对数螺旋线剪切区的重力功率 p 3 。速度间断线 l1 和 l4 上的耗散功率和 pc1 为 1 r 2 v e3 tan cos( + )d = 0 20 0 r 2 v e3 tan sin( + ) + 3 tan cos( + ) pc1 = c cos(v0,1l1 + v2l4 )（7）0 0sin 3 tan cos 2(1 + 9 tan 2 )令式(2)中的 r = l ，v = v ， = ，即可得到0 1 0 1对数螺旋线剪切区的耗散功率 pc2 。2（1）对数螺旋线剪切区的耗散功率由对数螺旋线上 和内部的耗散功率两部分组成，这两部分数值相 等，于是总的耗散功率为由虚功率平衡方程可得地基极限承载力 pu 为 23pu = 2 pci p i （8）(bv0 ) i =1i =12 tan 2c 0 rvd = cv0 r0 (e 1)tan （2）为使破坏模式满足几何及物理意义，变量 和12 应满足以下关系： /2 + 1 + 2o（9）01 / 2; 2 r0v0在变量1 和2 满足约束关系式(9)的条件下，对地基极限承载力 pu 的目标函数进行优化求解，得到最小的 pu 即为所求，可通过 matlab 编程实现。3.3存在空洞时条形基础地基极限承载力如图 2(b)和图 3 所示，由对称性，只需计算左半部分，速度 v1 、 v0,1 和 v2 的计算同式(3)(5)。令v=v0 e tanarb图 4 对数螺旋线剪切区示意图fig.4 logarithmic spiral curve shear region3 tan a2 = e， a3 = e，图 2(b)中的角度 为4 tan = arccos(1 a2 cos3 )（10） ( a2 2 a cos+ 1)1/2 3.2无空洞时条形基础地基极限承载力如图 1 和图 2(a)所示，考虑问题的对称性，只2 2 3绝对速度和相对速度为计算左半部分，令 a = e2 tan ，各区域的绝对速度1v3 = a2 v0 ；v4 = v0 ( a2 + a3 )（11）和相对速度为3376岩土力学2010 年3l8o2v= v sin( + + /2)( a2 2 a 0,5 0 32 2sin(2 + )cos+1)1/2l9433（12）v cos( + )( a2 2 a cos+ 1)1/2r= 0 2 2 3 v3,5sin(2 + 3 )l10v = (v2 + v2 + 2v vsin )1/2l5 0 0,5 0 0,511o1几何关系为l1 = (h l6 ) sin 1 ; l2 = a1 (h l6 ) sin 1ra1 (h l6 ) cos图 5 不规则对数螺旋线剪切区示意图fig.5 irregular logarithmic spiral curve shear regionl =3sin 1 sin(1 + 2 /2)a1 (h l6 ) sin(1 + 2 )l =不规则对数螺旋线剪切区的重力功率 p 4 的计 算方法为：由图 5 阴影所示微条的重力功率，在4范围内经积分可得4 sin 1 sin(1 + 2 /2)l5 = b/2 (h l6 )cot1= l11 / (a2 a3 ) + hcot1 + r tan(3 / 2) b/2l1 46( tan + cot1 ) tan 2 2 tan 2p 4 =v3e cos(3 + )(l9 + l10 ) e d（17）02l7 = l6 cos ; l8 = l11 (a2 a3 )l9 = r tan(3 / 2); l10 = l11 a3 r tan(3 / 2)l11 = r sin(3 /2+4 ) cos(3 /2) +式(17)直接积分较繁琐，可通过数值计算求解。破坏模式速度间断线 l1 、l4 、l7 、l9 (图 2)上的 耗散功率之和 pc1 为pc1 = c cos (v0,1l1 + v2 l4 + v0 l7 + v0,5l9 + v3,5l9 ) （18）同样，把 r0 = l1 、v0 = v1 、 = 2 代入式(2)，即 可得到地基一侧对数螺旋线剪切区的耗散功率 pc2 ； 而将 r0 = l8 和 = 3 代入式(2)，即可得到空洞一侧r sin 2 ( /2+ ) cos2 ( /2) tan 2 ( /2)1/2 3（13） 刚性滑动区 s2 面积计算同式(5)，其余为3 43s1 = (h l6 )(b/ 2 + l5 ) 2（14）s3 = l6 (l5 + l8 + l9 ) 2 ; s4 = r (l9 r3 /2) 对数螺旋线剪切区的耗散功率 p 。c3不规则对数螺旋线剪切区的耗散功率由对数螺旋线上的耗散功率 pc4 和其内部耗散功率 pc5 组成， 其中 pc4 为式(2)中的 1/2，即破坏模式中的刚性滑动区域 s1 、 s2 、 s3 、 s4 的重力功率之和 p 1 为p 1 = v0 (s1 + s3 ) + v2 s2 cos(1 + 2 ) +s4 (v0 + v0,5 sin )24 tan 1) (2 tan )（19）pc4 = cv3l10 (e（15）同样，pc5 可由图 5 中阴影所示微条上的耗散功率在4 确定的范围内经积分得到令式(1)中 r0 = l1 ，v0 = v1 ， = 1 ， = 2 ，可得地基一侧对数螺旋线剪切区的重力功率 p 2 。而 令式(1)中 r0 = l8 ， = 0 ， = 3 ，可得空洞一侧对 数螺旋线剪切区的重力功率 p 3 。图 3 中破坏模式在空洞边墙处包括一不规则对数螺旋线剪切区(图 5)，图 5 中，o1 为空洞圆心；o2为对数螺旋线圆心。圆弧线在以 o2 为极点、 l8 为极轴的极坐标系中 的方程为 = f ( ) = r sin(3 + ) r tan(3 /2) cos(3 + ) +4 tan tan pc5 = 0c(l9 + l10 )e v3e d（20）式(20)仍需通过数值计算求解。至此，由虚功率平衡方程可得存在空洞时地基 极限承载力 pu 为 54pu = 2 pci p i （21）(bv0 ) i =1i 考虑破坏模式的几何及物理意义，变量 、 、1 23 、4 和几何参数 l6 应满足以下关系：r tan( /2) cos( + ) r sin( + )2 333/2+ + ; 0+ /2 1 23 4r 2 tan 2 ( /2)1/22 /2 + ; 0 3（22）31203/ 2; 04/ 2; 0l6h（16）第 11 期刘 辉等：空洞上方浅基础地基破坏模式与极限承载力分析3377于是，存在空洞时地基极限承载力 pu 的计算转化为解决当变量1 、2 、3 和4 满足式(22)确定的约束条件时， pu 的目标函数，即式(21)的最小值问题。计算过程可通过 matlab 编程实现。4 算例分析4.1 计算参数及结果选取浅基础宽度为 b，采用无量纲形式表示其 余参数。空洞的半径 r 取 0.5b、1.0b、1.5b、2.0b、2.5b，空洞顶板厚度 h =1.0b5.0b，见表 1。地基 岩土体重度取 20 kn/m3，内摩擦角 和黏聚力 c 分 别取 24和 0.55 mpa。按照上述计算方法，利用 matlab 编程，对包括无空洞情况下不同顶板厚度和 空洞半径的地基极限承载力进行计算，结果见表 1。示。由图可以看出，当空洞顶板厚度一定时，随空洞跨度的增加，地基极限承载力逐渐减小。文献7 中讨论了矩形溶洞的跨度与承载力的关系，顶板跨 度增加，地基承载力减小，这与本文空洞大小与地 基承载力的规律也是一致的。当空洞半径继续增加 时，地基极限承载力逐渐趋向于定值，即表明空洞 半径较大时破坏只可能在空洞顶板处发生，不会向 两侧较大范围扩展。1.00表 1 极限承载力计算结果table 1 results of ultimate bearing capacities（mpa）1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5h/b图 6 空洞顶板厚度与地基极限承载力比的关系 fig.6 relationships of void roof thickness vs. ultimate bearing capacityh /br =0.5br =1.0br =1.5br =2.0br =2.5b1.01.52.02.53.03.54.04.55.0无空洞4.3566.2358.14010.0682.3803.8375.4327.1188.87110.6741.7452.7493.9835.3806.8818.46310.1131.5292.3473.2664.3235.5716.9388.3929.9171.4192.1572.9553.8294.7955.8827.1298.4859.9121.0010.7543.00.51.01.5r/b2.02.54.2空洞顶板厚度与地基极限承载力的关系空洞顶板厚度是影响地基极限承载力的重要因 素。为方便讨论，这里定义地基极限承载力比：图 7fig.7空洞大小与地基极限承载力比的关系relationships of void size vs. ultimate bearing capacity = pu1（23）pu 2式中： pu1 为存在空洞时的地基极限承载力； pu2 为无空洞时的地基极限承载力。4.4地基破坏模式随空洞顶板厚度的演变空洞上方条形基础地基的破坏模式受多种因素 的影响。随着空洞顶板厚度的增加，地基的破坏模 式和相应的速度场也逐渐发生变化。图 8 为空洞半 径 r =1.5b、空洞顶板厚度 h 为 1.0b、2.0b、3.0b、4.0b 和不考虑空洞时经数学优化得到的地基破坏模 式和相应的速度场。从图中可以看出，地基破坏模 式随空洞顶板厚度的演变过程。随空洞顶板厚度的 增加，地基的破坏范围从地基与空洞之间的区域逐 渐扩散到地基两侧，而且随空洞顶板厚度的增加， 破坏向地基两侧扩散范围也逐渐增加。当空洞顶板 厚度超过安全厚度时，地基更容易发生无空洞条件 下的破坏模式，即破坏仅发生在基础两侧一定范围， 此时空洞对地基承载力的影响可以忽略。从相应的 速度场可以看出，当空洞所处位置的顶板厚度小于空洞顶板与地基极限承载力的关系如图6 所示。当空洞大小一定时，随顶板厚度增加， 相应增加，条形地基极限承载力增加，并逐步接近无空洞时的承载力( 接近于 1)，也就是当顶板厚度超过 一定数值时，空洞的存在对地基极限承载力的不产生明显的影响，这与文献7的结论一致，此时的顶 板厚度可称为安全厚度或临界厚度。由于本文提出的破坏模式并非最优，主要表现为刚性区范围较大，由此得到的速度场较粗糙，反 映在图 6 中即为曲线较生硬的接近 = 1 的位置，但 可以肯定文中的结果仍为上限解。4.3 空洞大小与地基极限承载力的关系空洞大小与地基极限承载力的关系如图7 所h/b =1.0 h/b =1.5 h/b =2.0 h/b =2.5 r/b =0.5 r/b =1.0 r/b =1.5 r/b =2.0 r/b =2.53378岩土力学2010 年参 考 文 献安全顶板厚度时，地基两侧过渡区和被动区的速度比地基正下方区域的速度要小，说明此时破坏模式 以地基正下方破坏为主导，顶板承担较大的荷载。1工程地质手册编写委员会. 工程地质手册m. 北京:中国建筑工业出版社, 1992baus r l, wang m c. bearing capacity of strip footing above voidj. journal of geotechnicalengineering division, 1983, 109 (1): 114.wang m c, badie a. effect of underground void on foundation stabilityj. journal of geotechnicalengineering division, 1985, 111(8): 10081019.wang m c, hsieh c w. collapse load of strip footing above circular voidj. journal of geotechnicalengineering, 1987, 113(5): 511515.hsieh c w, wang m c. bearing capacity determination method for strip surface footings underlain by voidsj. transportation research record, 1996,1336: 9095.阳军生, 张军, 张起森, 等. 溶洞上方圆形基础地基极 限承载力有限元分析j. 岩石力学与工程学报, 2005,24(2): 296301.yang jun-sheng, zhang jun, zhang qi-sen, et al. finite element analysis of ultimate bearing capacity of circular footing above karst cavej. chinese journal ofrock mechanics and engineering, 2005, 24(2): 296301.胡庆国, 张可能, 阳军生. 溶洞上方条形基础地基极限 承载力有限元分析j. 中南大学学报( 自然科学版),2005, 36(4): 694697.hu qing-guo, zhang ke-neng, yang jun-sheng. finite element analysis of ultimate bearing capacity of strip footing above karst cavej. journal of central south university (science and technology), 2005,36(4): 694697.彭芳乐, 清住真, 高伟, 等. 空洞的存在对浅基础承载 力与沉降影响分析j. 岩石力学与工程学报, 2007,26(6): 11231