2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.5.3定积分的概念学案新人教A版.docx

15.3定积分的概念1.了解定积分的概念，会用定义求定积分2.理解定积分的几何意义3.掌握定积分的基本性质1定积分的概念如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1，2，n)，作和式f(i)x_f(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x) dx，即f(x)dx_f(i)，其中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式2定积分的几何意义如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分f(x)dx表示由直线xa，xb，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积3定积分的性质(1)(k为常数)(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)1对定积分概念及几何意义的理解(1)定积分f(x)dx是一个常数实数，一般情况下，被积函数yf(x)的图象可以在x轴的上方，也可以在x轴的下方，在积分区间a，b上，只有yf(x)0(图象不在x轴的下方)时，f(x)dx才等于曲边梯形的面积，也就是说，在积分区间a，b上，当yf(x)0(图象在x轴的下方)时，f(x)dx0时，f(|x|)f(x)，故f(|x|)dx2f(|x|)dx2f(x)dx16.利用定积分的性质求定积分的方法(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的运算性质进行计算，可以简化计算(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算(3)如果函数具有奇偶性，应借助图象的对称关系及定积分的几何意义求值 1.若f(x)dx2，f(x)dx3，则2f(x)dx的值为()A5B10C7 D8解析：选B.2f(x)dx2f(x)dx22(23)10.2已知xdx2，则|x|dx_解析：法一：|x|dx|x|dx|x|dx(x)dxxdxxdxxdx224.法二：因为y|x|在2，2上为偶函数，所以函数图象关于y轴对称，所以|x|dx2xdx224.答案：41.1dx的值为()A0B1C2D. 解析：选B.由定积分的几何意义知，1dx的值等于由x0，x1，y0，y1围成的正方形的面积S，S111，故选B.2.图中阴影部分的面积用定积分表示为()A.2xdxB.(2x1)dxC.(2x1)dxD.(12x)dx解析：选B.根据定积分的性质，得阴影部分的面积为2xdx1dx(2x1)dx.3若f(x)dx1，g(x)dx3，则2f(x)g(x)dx_解析：2f(x)g(x)dx2f(x)dxg(x)dx21(3)1.答案：14.(2)dx_解析：原式2dxdx，因为2dx2，dx，所以(2)dx2.答案：2 知识结构深化拓展利用定积分的几何意义求定积分的两个关注点由直线xa，xb(ab)，x轴及一条曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积设为S，则有：(1)在区间a，b上，若f(x)0，则Sf(x)dx.如图(1)所示，即f(x)dxS.(2)在区间a，b上，若f(x)0，则Sf(x)dx，如图(2)所示，即f(x)dxS. A基础达标1下列各式中不正确的是()A.f(x)dxf(t)dtB.f(x)dxf(x)dxC.f(x)dxf(x)dxf(x)dxD.f(x)dxf(x)dxf(x)dx解析：选C.根据定积分的性质(3)，可知C不正确2设f(x)在a，b上连续，且t与x无关，则()A.xf(x)dxxf(x)dxB.tf(x)dxtf(x)dxC.tf(x)dxf(t)dxD.xf(t)dtxf(t)dx解析：选B.A中，x是一个变量，xf(x)是被积函数，不能直接把x提到积分符号的外边，所以A错误；B中，t是一个与积分变量x无关的数，可以应用定积分的性质(1)将t提到积分符号的外边；C显然错误，改变了被积函数；D同时犯了A，C中的错误，所以D错误3下列各阴影部分的面积S不可以用Sf(x)g(x)dx表示的是()解析：选D.定积分Sf(x)g(x)dx(ab)的几何意义是求由曲线f(x)，g(x)，直线xa，xb所围成的图形的面积，且函数f(x)的图象要在函数g(x)的图象上方对照各选项，可知D选项中函数f(x)的图象不全在函数g(x)的图象上方故选D.4曲线yx2与直线yx所围成的图形的面积S()A.(xx2)dx B.(x2x)dxC.(y2y)dy D.(y)dy解析：选A.画出曲线yx2与直线yx(如图所示)，由图象，得曲线yx2与直线yx所围成的图形的面积S(xx2)dx.5设函数f(x)，则f(x)dx()A.(3x21)dxB.3xdxC.(3x21)dx3xdxD.3xdx(3x21)dx解析：选D.因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与相应的解析式一致由定积分的性质，知选D.6计算(3x2)dx_解析：由定积分的几何意义，知所求积分值为直线x2，x3，y0，y3x2围成的直角梯形的面积，即(811)1.答案：7定积分|x|dx_解析：如图，|x|dx2.答案：8.dx的值为_解析：由于dx表示曲线y(4x0)与x轴、y轴所围成的图形的面积，即以原点为圆心，以4为半径的圆的面积的，所以dx424.答案：49已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，利用定积分的性质求：(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x22x3)dx.解：(1)3x3dx3x3dx3(x3dxx3dx)3()12.(2)6x2dx6(x2dxx2dx)6()126.(3)(3x22x3)dx3x2dx2x3dx32.10已知函数f(x)，求函数f(x)在区间0，5上的定积分解：作出函数f(x)的图象，如图所示，由定积分的几何意义，知xdx222，(4x)dx(12)1，()dx211，所以函数f(x)在区间0，5上的定积分f(x)dxxdx(4x)dx()dx21.B能力提升11若定积分dx，则m等于()A1 B0C1 D2解析：选A.根据定积分的几何意义知，定积分dx的值就是函数y的图象与x轴及直线x2，xm所围成的图形的面积y是一个半径为1的半圆，其面积等于，而dx，所以m1.12 (1sin x)dx_解析：函数y1sin x的图象如图所示由正弦型函数图象的对称性可知， (1sin x)dxS矩形ABCD2.答案：213利用定积分的几何意义求下列定积分：(1)(2x4)dx；(2)dx.解：(1)所求定积分是由y2x4，x0，x6，y0所围成的图形面积如图阴影部分，A(0，4)，B(6，8)，M(2，0)，C(6，0)，所以SAOM244，SMBC4816，所以(2x4)dx12.(2)设y ，即(x3)2y225(y0)如图所示，因为dx表示以5为半径的圆的四分之一面积，所以dx.14(选做题)如图所示，抛物