（基础数学专业论文）一类可解区传递自同构群.pdf

摘要 随着旗传递线性空间的分类完成以后，人们开始关注线传递白 同构群对这种线性空间的研究是当今有限群论、代数组合的前沿 课题本文是这方面的研究成果 t 一设计是一类十分重要的组合设计，几年前，b u e k e n h o u t ， d e l a n d t s h e e r ，d o y e n ，k l e i d m a n ，l i e b e c k 和s a x 成功的分类了具 有旗一传递的设计。最近，a r c a m i n a 提供了分类具有区一传递白同 构群的设计的一个纲领，他说，如果g 是区一传递且点一本原，则g 的柱( s o c l e ) 要么是初等交换群，要么是非交换单群因此，我们 可以利用有限单群分类定理去讨论g 的结构 在第一章中，我们将介绍群论与设计( 线性空间) 理论的研究历 史与现状由此，我们可以知道群论和设计( 线性空间) 关系的研究， 尤其是对旗传递白同构群的研究是当今代数学和组合数学领域一个 比较受关注的课题 在第二章中，我们将介绍关于群论的有关基础知识这些都是本 文所要用到的最基本的相关概念，从而我们就建立起了本论文的基 本理论体系和构架 第三章是本文的精髓我们利用群论知识，讨论了2 一( v ，1 2 ，1 ) 设 计上的可解区传递的自同构非本原群的存在性，进而介绍了 2 一( v ，1 2 ，1 ) 设计上的可解区一传递自同构群是点本原时的情况，为此我 们得到下面的主要定理： 主要定理：设d 是一个2 一( 1 ，1 2 ，1 ) 设计，g a u t ( d ) 且g 是可解区一传 递，则g 是点一本原的，且下列之一成立： ( 1 ) ，：3 1 0 ，g = 乏o ：h ，这里日是g l ( 1 0 ，3 ) 的可解且不可约子群 ( 2 ) v = p ”，其中p 为一奇素数，疗是一个正整数。当p = 3 时，l o i n ， g a f l ( 1 ，3 ”) 且3 ”兰l ( m o d 4 4 ) ；当p 5 时，g a f l ( 1 ，p ”) 且p ”三l ( m o d l 3 2 ) 。 关键词设计，区一传递，自同构，可解群 a b s t r a c t a f t e rt h ec l a s s i f i c a t i o no ff l a g t r a n s i t i v el i n e a rs p a c e s ，a t t e n t i o nh a s n o wt u r n e dt ot h ef l a g - t r a n s i t i v ea u t o m o r p h i s mg r o u p s t h i st h e s i si sa p a r to ft h i sp r o je c t t h er e s e a r c ho n ，一d e s i g n si sv e r yi m p o r t a n ti nc o m b i n a t i o n sa n d d e s i g n s f e wy e a r sa g o ，b u e k e n h o u t ，d e l a n d t s h e e r , d o y e n ，k l e i d m a n ，l i e b e c ka n ds a xe f f e c t i v e l yc l a s s i f i e da l lr e g u l a rl i n e a rs p a c e sw i t ha na u t o m o r p h i s mg r o u pt r a n s i t i v eo nf l a g s r e c e n t l y ，a r c a m i n ap r o v i d e sa s c h e m et oc l a s s i f yt h eb l o c k t r a n s i t i v ed e s i g n s i ts a y st h a ti fgi sb l o c k - t r a n s i t i v ea n dp o i n t p r i m i t i v e ，t h e nt h es o c l eo fgi se i t h e re l e m e n t a r ya b e l i a ng r o u p so rn o n a b e l i a ns i m p l eg r o u p s s ow ec a nd i s c u s st h e s t r u c t u r eo fg b yu s i n gt h ec l a s s i f i c a t i o no ff i n i t es i m p l eg r o u p st h e o r e m t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ew i l lg i v es o m ei n t r o d u c t i o na b o u tt h eh i s t o r ya n d c u r r e n tr e s e a r c hs i t u a t i o no ft h eg r o u pt h e o r ya n dd e s i g n ( 1 i n e a rs p a c e s ) t h e o r y t h e nw ec a nr e a l i z et h es i t u a t i o na b o u tt h ed e v e l o p m e n ta b o u t t h i sr e s e a r c hf i e l d s i nc h a p t e r2 ，w ew i l li n t r o d u c et h ee l e m e n t a r yc o n c e p t st h a tw i l lb e u s e di nt h i st h e s i s t h e nw ec a nc o n s t r u c tt h eb a s i ck n o w l e d g es y s t e mo f t h i st h e s i s i nc h a p t e r3 ，w eh a v eg i v e nt h ec h a r a c t e r so ff i n i t el i n e a rs p a c e u s i n g t h e g r o u pt h e o r y , w e d i s c u s s e dt h es o l u b l eb l o c k - t r a n s i t i v e a u t o m o r p h i s mg r o u po f2 - ( v ，12 ，1 ) d e s i g n s ，a n dg e tt h em a i nt h e o r e m a sf o l l o w s ： m a i nt h e o r e m ：l e tgb eas o l u b l eb l o c k - t r a n s i t i v ea u t o m o r p h i s mg r o u p o f2 一( v ，12 ，1 ) d e s i g n s ，t h e ngi sp o i n t p r i m i t i v ea n do n eo ft h ef o l l o w i n g h o l d s ： ( 1 ) ，= 3 1 0 a n d g = 刁o ：h ，w h e r e hi sas o l u b l ea n di r r e d u c i b l e s u b g r o u po fg l ( 10 ，3 ) ( 2 ) ，= p ”，w h e r ep 2 i sa p r i m ea n d 以ap o s i t i v ei n t e g e r w h e np = 3 ， t h e n 1 0 1 ，g a r l ( 1 ，3 ”) a n d 3 ”三l ( m o d 4 4 ) w h e np 5 ，t h e n g a f l ( 1 ，p ”) a n dp ”兰l ( m o d l 3 2 ) k e yw o r d s d e s i g n ，b l o c k - t r a n s i t i v e ，a u t o m o r p h i s m ，s o l u b l eg r o u p l l 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明。 作者签名：墨! 望蕴一日期：迎弪年止月翌日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 储张垒鳝聊虢却攀嗍邀年且月丝日 硕：十：学位论文第一章绪论 1 1 群与设计的历史背景 第一章绪论 对于一个组合学家或一个代数学家来说，设计( 也称线性空间) 是一个相关 结构而对于一个统计学家来说，设计是一个试验方案因此，在这两种数学背 景下，设计的理论在不同的数学问题下得到发展关于设计的系统研究也许始于 1 7 8 2 年眈胁时代( 1 ) 到十九世纪之间，p l u c k e r ( 2 ，3 3 ) 研究了一类具有 3 长区的2 一设计，它们与一个平面上的三次曲线有关w o o 肠o u s ( 4 3 ) 和 k i r k m a n( 5 ，6 3 ) 对同样的设计进行过研究s t e r n e r ( 7 3 ) 也研究了这些设 计及一些f 一设计( 现在称之为s t e i n e r 系) 群论与设计理论的相互影响最突出之一表现在所谓的m a t h i e u 群1 8 6 1 年， e m a t h i e u ( 8 ) 构造了几个多重传递群m a 砌i e u 在1 2 和2 4 个点的集合上 分别定义了5 一传递群m 。，和m ，。他给出了这两个群的生成元的集合但是他 的计算是非常复杂的，因此很难验证到1 9 3 8 年，e 渐盯( 9 ，1 0 ) 构造了 一个5 一( 1 2 ，6 ，1 ) 设计和一个5 一( 2 4 ，8 ，1 ) 设计，并且证明了它们的自同构群分别是 m ：和m ：。因此5 一设计的结构对m a 砌i e u 群给出了一个新的且更好的解释因 此，群论领域和组合设计理论互相影响，互有贡献对设计的自同构群的研究可 以帮助我们发现新的设计反过来，设计的自同构群又可以帮助我们更清楚地了 解某些群的结构 另外，自从八十年代初有限群分类问题解决以来，有限群的面貌发生了很 大的变化，抽象群论和置换群论的一些重大问题获得了解决用群论的现有成 果和方法去研究组合结构，为组合数学注入了新的活力，也成为现在群论界的 一个新趋势九十年代初，三位群论学家和三位组合学家合作完成的旗传递2 一 设计的分类定理( 1 1 ) 可以作为这方面的突出表现同时，在此过程中提出的 群论问题也是对群论研究的新的挑战 旗传递线性空间的分类完成( 见 1 1 ， 1 2 ) 以后，人们开始关注正则线性空 间目前国际上对正则线性空间，即2 一设计的研究是前沿课题 1 2 设计的自同构群的研究现状 一个线性空间s ，是一个点集合q 和线集合b 构成的相关结构，使得q 中 任何两个点都恰好包含在唯一的一条线中设g 是线性空间s 上的线传递的自 硕十学位论文 第一章绪论 同构群，这意味着每一条线都包含同样数量的点，我们将次线性空间称为讵则 线性空问，即通常所说的2 一( v ，k ，1 ) 设计而一个，一( v ，k ，五) 设计d = ( q ，b ) ( 或 简称，一设计) 是由，个点的集合q 和它的一些k 一元子集( 称为区或线) 组成 的集合b ，且满足对于q 的任意t 一子集，恰好有力个区( 或条线) 包含它d 的自同构群g 是s y m ( 【2 ) 的这样的子群，对任意g g ，l b 有口b 因此， 按照区的一个结果( 1 3 ) ，g 同时作用在q 及b 上并假定q 是有限点集， l b l 1 1 2 12 一传递群与设计 1 9 8 0 年左右，人们完成了有限单群的分类此后，群论中许多悬而未决的 问题得到了解决首先是2 一传递群的分类获得了解决k a n t o r 利用这个分类 定理获得了具有2 一传递自同构群的2 一( v ，七，1 ) 设计( 正则线性空间) 的分类这 种设计我们称之为2 一传递设计 定理1 2 1 1 t 1 4 ，1 5 】设d = ( q ，b ) 是2 一( v ，k ，1 ) 设计，g 是它的2 一传递的自 同构群( 在点集q 上) ，则下列之一成立： ( a ) d = p g ( d ，q ) ，即g f ( q ) 上的d 一维射影空间，d 2 且 p s l ( d ，q ) g p f l ( d ，q ) ，或者( d ，q ) = ( 3 ，2 ) 且g = 4 ； ( b ) d = x g ( d ，q ) ，即g f ( g ) 上仿射空间，d 2 且g 是a f l ( d ，q ) 的2 一传递 子群； ( c ) d 是h e r m i t i a nu n i t a l ，它是这样的一个设计，点和区分别是g f ( q ) 上 的3 一维空间的9 3 + 1 个迷向1 一维空间和非奇异2 一维空问， 且 p s u ( 3 ，q ) g p f u ( 3 ，g ) ； ( d ) d 是r e eu n i t a l ，r e e ( q ) = 2 g 2 ( g ) g a u t ( r e e ( q ) ) ，这里q = 3 2 川3 ， q 是一个9 3 + 1 个点的集合，b 是一个g 中的对合的稳定点的集合； ( e ) d 是两个n o n d e s a r g u e s i o n 仿射平面，且k = 2 7 ( h e r e i n g 平面) 或k = 9 ( n e a r f i e l d 平面) ； ( f ) d 是设计2 一( 3 6 ，3 21 ) 设计，g = 霹：s l ( 2 ，1 3 ) 1 2 2 旗传递设计 设计d = ( q ，b ) 的一个对( 口，l ) ，这里口q ，l bka l 设计d 称为旗 传递，如果它的自同构群在d 的旗集合上是传递的最有趣的旗传递设计是具 有参数，= 2 和允= 1 的情况在这种情形下，h i g m a n 和m c l a u g h l i n 在1 9 6 1 年证 明了它的自同构群在q 上是本原的，即d 是点本原的( 本原的定义出现在第二 章) 在( 1 2 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ) 中，几个人证明了旗传递2 一( v ，k ，1 ) 设计( 正则线性 2 硕+ 学位论文第一章绪论 空间) 的自同构群的基柱( s o c l e ) 是初等交换群或者是一个非交换单群利用 这个结果，b u e k e n h o u t 等人分类了这种设计 定理1 2 2 1 【2 1 ，2 2 1 设d = ( q ，b ) 是一个2 一( v ，尼，1 ) 设计，它的白同构群是 旗传递的则下列之一成立： ( a ) o 是定理1 2 1 1 中之一； ( b ) o 是w i t t b o s e s h r i k h a n d e 空问，即p s l ( 2 ，q ) g p f l ( 2 ，q ) ，这罩 q = 2 ”8 ，q 是一个q ( q 一1 ) 2 个点的集合，b 是p s l ( 2 ，g ) 中的对合的稳 定点的集合； ( c ) d 是n o n d e s a r g u e s i o n l u n e b u r g 仿射平面，它的阶是七= 2 2 “1 ； ( d ) 1 ，是一个素数方幂，g a f l ( 1 ，1 ，) 对于情形( d ) ，他们没有给出彻底的分类，但有许多例子，如广义n e t t o 系和 k a n t o r 系 这个定理在有限几何中有重要的应用在有限射影平面中，d e l a n d s h e e r 和 d o y e n 利用这个定理研究了s e m i o v a l s ( 2 4 ) 和极大弧( 2 5 ) 1 2 3 区传递设计 在区传递设计的这个领域中，关于2 一( v ，尼，五) 设计，最近有一些新的结果 我们知道，如果f 一设计的自同构群在它的区集合上是传递的，则它也是点传 递的( 2 6 ) 现在旗传递2 一( v ，后，1 ) 设计一定是点本原的( 1 7 ) 但无论如何， 区传递2 一( v ，七，1 ) 设计不能推出点本原d e l a n d s h e e r 和d o y e n 证明了 定理1 2 3 1 【2 7 1 设d 是一个区传递，非点本原的2 一( 1 ，后，a ) 设计，则 v ( 阱1 ) 2 r a y c h a u d h u r i 和w i l s o n ( 2 8 ) 证明了一个区传递4 一设计的自同构群是2 一 齐次的，因而是点本原的因此，对于一个区传递，非点本原的，一设计来说， 参数，至多为3 在 2 9 中，c a m e r o n 和p r a e g e r 证明了：对于区传递非点本原 3 一( 1 ，后，力) 设计，如果a u t ( d ) 保持q 的这样的分划：要么是两个非本原区，要 么是每个非本原区的长都是非2 则一定有 v 阱 他们利用计算机验证了当七7 0 时，上述不等式也成立但是对于一般的情形， 这仍然是一个公开问题 猜想1 2 3 2 对于一个区传递，非点本原的3 一( ，后，五) 设计来说，一定有 3 硕十学位论文第一章绪论 v 阱 当，= 2 时，对于d e la n d s h e e r d o y e n 的上界，c a m e r o n 和p r a e g e r 证明了下面 的： 定理1 2 3 3 1 2 9 】设d 足一个2 一( y ，k ，a ) 设计，k 3 ，4 ，5 , n 8 ，且 v = 历2 = ( ( 兰 一1 ) 2 ，g 4 们( 。) 足区传递但非点本原则存在s m 的2 一传递子群 正，兀，下面之一成立： ( a ) 互x 疋g a u t ( t i ) xa u t g ) ： ( b ) 正”g a u t g ) w rs 。 这罩所有出现的设计中的参数旯是很大的设计的数目虽然与s 。中的2 一传 递子群有关，但是，如果次数为m 的2 一传递群只有4 ，和s m ，那么恰好有三 个非同构的设计满足定理的假设对k = 3 ，4 ，5 和8 ，上述分类还没有完成，对这 些k 的值而言，m 是素数幂在五= 1 时，分类已经得到 问题1 2 3 4 【2 9 】决定所有区传递非点本原的2 一( v ，k ，旯) 设计 这罩 吲- 1 ) 2 , k = 3 , 4 , 5 及8 对于区传递非点本原的设计，文献 2 9 ，3 6 ，3 7 ，3 8 ，3 9 ，4 0 中有许多信息我们 在此不一一提及 特别地，n i c k e l ，0 k e e y e ，p r a e g e r ( 3 0 ，3 1 ) 等人证明了下面的 定理1 2 3 5 设d 是一个区传递，非点本原的2 一( v ，k ，1 ) 设计， 1 ，= ( ( 兰) 一1 ) 2 则。是一个2 一( 7 2 9 ，8 ，1 ) 设计，它的自同构群有形状z 1 3 ，这罩 i n i = 7 2 9 ，且下列之一成立： ( a ) n = z ；且在同构意义下有2 7 个这样的设计； ( b ) n = z ；且在同构意义下有1 3 个这样的设计； ( c ) n 是一个幂零类为2 ，生成元个数为3 ，方次数为3 的群，且在同构意义 下有4 2 7 个这样的设计 除了以上这些例子外，区传递，非点本原的2 一( v ，k ，1 ) 设计似乎是稀少的有 几个2 一( 9 1 ，6 ，1 ) 设计的自同构群在( 3 2 】) 中被研究清楚了除了射影平面之外， 目前我们只知道以上这些区传递但非点本原的2 一( v ，尼，1 ) 设计 由定理1 2 3 1 知，绝大多数区传递，一设计( ，2 ) 是点本原对于非平凡 4 硕十学位论文第一章绪论 的区传递，一设计，t i e r l i n c k ( 3 3 ) 发现了一个构造方法但是对于非平凡的区 传递t 一设计，的值有很大的限制这是因为非平凡的区传递t 一设计是【t 2 卜 齐次的c a m e r o n 和p r a e g e r ( 3 4 ) 证明了一个非常有意义的定理 定理1 2 3 6 当t 8 时，不存在非平儿的区传递但非点本原的t 一设计； 当，7 时，不存在非平凡的旗传递，一设计 对于区传递的2 一( v ，k ，1 ) 设计，当k 较小时，已进行了分类当k = 3 时可 参看( 3 6 ，3 7 ，3 8 ，3 9 ) ；c am i n a ( 4 0 ) 和三f ( 4 1 ) 分类k = 4 的情形；对于 k = 5 ，三，和乃馏( 4 2 ，4 3 ) 也作出了分类；刘伟俊( 4 4 ) 作出了k = 6 , 7 ，8 ，9 ，1 0 且自同构群为可解群时的分类：随后韩广国( 4 5 ) 作出了k = 5 , 6 ，7 ，8 ，9 且自同 构群为非可解群时的分类 c a m i n a ( 4 6 ) 证明了一个对研究区传递且点本原的2 一( v ，k ，1 ) 设计相当 有用的定理： 定理1 2 3 9 设g 是非平凡的2 一( 1 ，七，1 ) 设计的区传递且点本原的自同构 群则g 的基柱( s o c l e ) 是初等交换群或者是一个非交换单群 c a m i n a m ，p r a e g e r 等人最近在( 1 ) g 传递地作用在d 上，并且( 2 ) g 的基 柱为交错群的条件下完成了对d 的分类，这无疑是一个大的突破 定理1 2 3 1 0 设g 是2 一( v ，k ，1 ) 设计d 的自同构群，t 司g a u t ( t ) ，这 里t 兰a 。若g 是区传递的，则d = p g l ( 3 ，2 ) 且g = a 7 或g = a 8 关于区传递2 一( v ，k ，1 ) 设计的进一步结果，可参看文献( 【4 7 ，4 8 ，4 9 】) 1 2 4 区本原设计 关于区本原2 一( v ，k ，1 ) 设计，目前有一些结果，首先k a n t o r 考虑了射影平 面这个特别的情形，得到了 定理1 2 4 1 【2 3 1 设d 是一个g 阶射影平面，即一个2 一( 9 2 + g + l ，q + l ，1 ) 设 计，g a u t ( d ) 是区传递的 则下面之一成立： ( a ) d 是d e s a r g u e s i a n ，且p s l ( 3 ，g ) g p f l ( 3 ，g ) ； ( b ) 1 ，= q 2 + g + l 是一个素数，且g 是v 阶循环或者一个v ( q + 1 ) 阶或者一个w 阶 的f r o b e n i u s 群 d e l a n d t s h e e r 考虑了不是射影平面的情形，他得到了 定理1 2 4 2 【4 】设d 是一个2 一( v ，k ，1 ) 设计，但非射影平面 如果 g a u t ( d ) 是区本原，则存在非交换单群t ，使得t g a u t ( d ) ，即g 是几乎 单群 对于区本原2 一( y ，k ，1 ) 设计，d e l a n d t s h e e r 和d o y e n ( 4 1 ) 有如下 猜想1 2 4 3 如果d 是区本原的2 一( v ，k ，1 ) 设计，则d 也是点本原的这个 硕十学位论文 第一章绪论 猜想在下列附加条件之一下是成立的： ( a ) d 是有限射影平面( 4 4 ，5 4 ) ； ( b ) k ( 尼，v ) 1 0 ( 4 5 ，4 6 ，5 0 ) ； ( c ) v ( 坐卅z 2 ( 4 7 ，4 8 1 ) ； 厶| ( d ) k 4 0 ( 4 9 ) ： ( e ) g 有一个作用在q 上不超过7 ( 4 7 ，4 8 ) ； ( f ) g 作用q 上有一个正则子群( 4 7 ，4 8 ) ； ( g ) s o c ( g ) 兰4 ( 4 2 ) ； ( h ) s o c ( g ) 同构于散在单群( 4 3 ) ； ( i ) s o c ( 6 ) 兰p s l ( 2 ，g ) ，s z ( g ) ； ( j ) s o c ( g ) 兰3 d 4 ( g ) ，g 2 ( g ) ( 5 1 ) ( k ) s o c ( g ) 兰2 d 2 ( g ) ，2 f 4 ( q 2 ) ( 5 2 ，5 3 ) 1 3 有限关联结构 组合设计理论的主要研究对象是各种有限关联结构( 5 4 ) 定义1 3 1 设矿与b 为两个不相交集合，为v 与b 之| 、日j 的一个二元关系， 即，v xb ，则称d = ( v ，b ，i ) 为一个关联结构y 的元素叫做点，b 的元素 叫做区组，叫做关联关系设p v ，l b ，若( p ，l ) i ，则称点p 与区组三关 联记作p l l ，若p 不与三关联，则记作m 有时为了强调关联结构的几何意义，也把区组叫做直线此时，”p l l ”也可 以叫做“点p 在直线上 或“直线三经过点p ” 本节只讨论有限关联结构，即y 与b 都是有限集的关联结构当 d = ( y ，b ，) 为有限关联结构时，常以v 表示集合v 的基数，以b 表示b 的基数， 即1 ，= m ，b = i b i ，并称v 为d 的阶 定义1 3 2 设d l = ( k ，b 。，与d 2 = ( ，b ：，i ：) 为两个有限关联结构设 盯：kt a b ，jku b ，为满足下述条件的一个双射： ( i ) o - ( v , ) = 匕，o - ( 8 1 ) = b 2 ： ( ii ) 对任意p k 与任意l b 。，当且仅当以时才有o ( p ) i z o ( l ) ， 则称盯为d 1 到d 上的一个同构，此时称口与d 为两个同构的关联结构， 特别地，当d l = 破= d 时，d 到它自身的同构叫自同构d 的全体自同构关 于映射的乘法组成一个群，叫作d 的全自同构群，记作a u t ( d ) a u t ( d ) 的任 一子群都叫做d 的自同构群 有限关联结构可以用它的关联矩阵来刻划 6 硕十学位论文 第一章绪论 定义1 3 3 设v = p l ，p 2 ，p ， ，b = 厶，三2 ，厶) ，d = ( 矿，b ，) 为有限关 联结构对1 i v , 1 _ ，sb ，令 钆= ：，嚣， 则v x b ( 0 ，1 ) 一矩阵 a = a i ，ia 1 2 a 2 ，11 2 ，2 口v 。1a v ，2 叫做d 的关联矩阵 对l f ，令表示元素b 中与只关联的区组数：对l b 令k ，表示y 中与，相关联的点的个数：对l f ，j 1 ，令 ，表示b 中同时与点p ，及 p ，关联的区组数叫做点p ，的重复度，k j 叫做区组l 的容量( 或长度) ，五， 叫做点p ，与p ，的相遇数，k ，等于彳的第的列和，而丑，则是a 的第f 行与第 ，行的内积因此，用两种方法计算a 中的l 的个数，可以得到下面等式： vb y 咒：yk ， 令w ，表示元素全为1 的v 维行向量，么r 表示么的转置矩阵，则 w ，a = ( k l ，k 2 ，k e ) a a r = a 2 五i吃 以。 。： a ， 如， ： 0 设d = ( v ，b ，) 为有限关联结构对p v ，令乙表示点p 的重复度：对 三b ，令后，表示区组三的容量：对y 的任一，元子集s ，令冬表示与s 中每 一点都关联的区组个数在设计理论的研究中，以下条件是最常用的- ( 1 ) 正则性：存在常数， 0 ，使对所有p v 都有o = ， ( 2 ) 均匀性：存在常数k 0 ，使对所有l b 都有后，= k ( 3 ) f 一平衡性：对给定的正整数f ，存在常数五 0 ，使对y 的任一，元子集 s 都有2 s = 兄 1 一平衡性即j 下则性，2 一平衡性通常就叫作平衡性 7 矗 吼吼；q 硕十学位论文 第一章绪论 1 4 平衡不完全区组设计 同时满足正则性、均匀性和平衡性三个条件的有限关联结构叫平衡不完全 区组设计，切实言之，有以下定义 定义1 4 1 设1 l ，k ，a 为给定的币整数，d = ( v ，b ，1 ) 为有限关联结构若以 下条件满足： ( i ) i v i = v ： ( ii ) 对任意l b ，都有尼，= k ： ( i i i ) 对任意p ，q y ，p q ，都有& 川) = 兄， 则称d 是一个平衡不完全区组设计，简称区组设计或b i b 设计，记作 b ( k ，2 ；v ) v 叫作d 的阶，k 叫作d 的区组容量( 或区组长度) ，名叫作相遇 数 由于历史上的原因，兄= 1 时的b i b 设计通常叫作s t e i n e r 系或s t e i n e r2 一设 计，并且b ( k ，1 ；v ) 也常记作s ( 2 ，k ；v ) 随之，对一般的力，b ( k ，五；v ) 也记作 e ( 2 ，尼；v ) 引理1 4 2 剐设k 2 ，d = ( 矿，b ) 为一个b ( k ，2 ；v ) ，则 ( i ) v 中任意一点p 的重复度为 o = 旯( v 一1 ) ( k 一1 ) ， ( ii ) b 中所包含的区组个数为 b = i b l = a v ( v - 1 ) k ( k - ) 由上述定理可知，若d = ( v ，b ，1 ) 为一个b ( k ，a ；v ) ，则y 中每一点的重复 度都等于常数，厂叫作此设计的重复数，1 ，b ，k 与力叫作此设计的参数，它 们满足下述参数关系： b k = v ， a ( v 一1 ) = r ( k 1 ) 由此得到关于b b 设计存在性的下述基本必要条件 定理1 4 3 【5 4 】若b ( k ，a ；v ) 存在，则 彳( 1 ，一1 ) 三0 ( m o d ( k 一1 ) ) ， 2 v ( v 1 ) 三o ( m o d k ( k 1 ) ) 定理1 4 4 ( f i s h e r1 9 4 0 ) 若b ( k ，a ；v ) 存在且v k ，则 b v f i s h e r 不等式中等号成立的情形特别有趣味b = v 时的b ( k ，a ；v ) 叫对称区 组设计对称区组设计有许多重要而又深刻的性质，将在后面章节中讨论 关于一个b i b 设计与它的补之i 、日j 的关系，有下述定理 定理1 4 5 刚设d 为一个b ( k ，旯；v ) ，则d 的补历是一个 8 硕+ 学位论文 第一章绪论 b ( v k ，b 一2 ，+ 力；，) 关于b i b 设计的研究是从k = 3 的情形开始的我们把一个b ( 3 ，兄；，) 叫作 ， 阶旯重三元关系并记作t s ( v ，力) 五= l 时的三元系，经m r e i s s ( 18 5 9 ) 首创， 被叫作s t e i n e r 三元系v 阶s t e i n e r 三元系也记作s t s ( v ) 定义1 4 6 设d = ( v ，b ，) 为一个b ( k ，见；，) ，pcb 若v 中每一点都正 好与尸中唯一的一个区组关联，则称尸为一个平等类若b 中全部区组能划分 成，= 旯( ，一1 ) ( k 1 ) 个平等类，则称此g ( k ，旯；1 ，) 为可分解的并记作r b ( k ，旯；1 ，) 可分解的s t e i n e r 系叫作k i r k m a n 系特别，可分解的s t e i n e r 三元系s t s ( v ) 叫 作k i r k m a n 三元系并记作k t s ( v ) 1 5t 一设计 在本节中，我们要从另一个角度来推广b i b 设计的概念下面要研究的是 一类满足正则性、均匀性和，一平衡性条件的有限关联结构 定义1 5 1 设d = ( y ，b ) 为有限关联结构若下列条件满足： ( i ) l v l = 1 ，： ( i i ) 存在常数k ，使对所有l b ，都有七，= k ： ( i i i ) 对给定的正整数，存在常数五 0 ，使对v 的任意一个t 元子集s ， 都有五= 名，则称d 为一个，一( v ，k ，力) 设计，简称，一设计，一( ，k ，旯) 常记作 岛( f ，k ，1 ，) 设d = ( v ，b ) 为一个r 一( 1 ，k ，五) 设计如果y 的每个k 元子集都在b 中出现 相同的次数，则称d 为平凡的f 一设计例如当1 ，k + ，时，任一卜( ，k ，名) 设 计都是平凡的 卜设计的若干特殊类型： ( i ) f = l ，1 一设计也叫战术构形或构形 ( i i ) f = 2 ，2 一设计即熟知的b i b 设计2 一( 1 ，k ，五) 设计通常记作 b ( k ，旯，1 ，) ( i i i ) k = f ，允= 1 ，t 一( v ，1 ) 设计也叫完全超图当k = t = 2 时， 2 一( v ，2 ，1 ) 设计叫完全图 ( i v ) 五= l ，卜( 1 ，k ，1 ) 设计常叫做s t e i n e r 系，并记作s ( t ，k ，1 ，) ( v ) 舅( 2 ，3 ，v ) n q z 元系，特别地，s ( 2 ，3 ，d 叫s t e i n e r 三元系，并记作 s t s ( v ) ( v i ) s a ( 3 ，4 ，) 叫四元系，特别地，s ( 3 ，4 ，v ) 叫s t e i n e r 四元系，并记作 s q s ( v ) 定理1 5 2 t 5 4 】设1 f 0 使任一点p 的重复度 2 ， 证明对，= 1 ，由定义可得对f 2 ，由定理1 5 2 与2 一设计的正则性 即得结论 从而一个，一( v ，k ，五) 设计有5 个参数v ，b ，尸，后与兄，其中1 ，叫设计的阶，k 叫 区组容量，五叫平衡数，b 叫区组个数，厂叫重复数，当，= 2 时，2 一平衡数 即为平衡数，t = 1 时，l 一平衡数即重复数 推论2 设( y ，b ) 为，一( ，尼，力) 设计，则 6 = 厶= 兄( ：，) ( 多 嘲= 悄) ( 且当f 2 时， 如( v 一1 ) = ( 尼一1 ) 由于当，一( v ，七，兄) 设计存在时，对0 i 3 ) 定义2 1 1 9 设g 为有限群，群g 的基柱( s o c l e ) 是指g 的所有极小正规 子群的积，记为s o c ( g ) 有限群g 称为几乎单群，如果存在非交换单群使得 t = s o c ( g ) 司g a u t ( t ) 定义2 1 1 1og 的导群g ( 1 是由所有换位子 口_ b a b l a ，b g ) 生成的 群g ( 1 也是使g k 为交换群的最小正规子群k 我们定义子群列 g ：g ( o ) 3g ( 1 ) 3g ( 2 ) 3 这里g 是g ( 1 的导群，( 汪1 , 2 ，3 ，) 称该子群列为g 的导群列 设g 是群，称群列 l = z o ( g ) z l ( g ) 互z 。( g ) ， ( 其中z 。( g ) 为g 的中心) 为g 的中心群列，如果对任意的刀，乙( g ) 乙一。( g ) 是 g z 川( g ) 的中心 如果g 的导群列终止于l ，则称g 是可解的；如果g 的中心群列终止于g ， 则称g 是幂零的 引理2 2 2 11 可解群的子群和商群仍为可解群 定义2 1 1 1 2 设g 是有限群，称子群h 为次正规子群，如果日在g 的某个 次正规子群列中出现记作hq 司g 定义2 1 1 1 3 设g 是群，称g 是拟单的，如果它是完备的( 即g = g ) ，且 o z ( o ) 是单群 定义2 1 1 1 4 设g 是群，它的一个拟单的、次j 下规的子群称为g 的一个分 1 3 硕+ 学位论文第一二章基础知识 支 定义2 1 1 1 5 设g 是一个有限群，它的阶等于p ”( p 足素数) ，则称g 是 一个p 一群我们知道g 的中心不等于单位 定义2 1 1 16 设p 是素数，z 口是p 阶循环群门是一j 下整数，称 g = z p z p z p 为p ”阶初等交换p 群，它同构于g f ( p ) 上的胛一维向量空间的加法群 定义2 1 1 。17 设f 为一域，v = ( f ，z ) 是f 上九维向量空间v 的全体可 逆线性变换对于线性变换的乘积构成一个群g l ( n ，f ) ，叫做v 上一般线性群取 定v 的一组基v l ，v 2 ，则任意线性变换g g l ( n ，f ) 唯一对应一个门级可逆方 阵a 从而也可将g l ( n ，f ) 视为f 上全体非奇异甩门矩阵对于矩阵乘法构成的 群，考虑g l ( n ，f ) 到乘法群f + 的映射ghd e t ( g ) ，这是一个满同态，记同态核 为： s l ( n ，f ) = g g l ( n ，f ) d e t ( g ) = 1 ) ， 称为特殊线性群它是一般线性群的正规子群 记e 为f 上疗级单位矩阵，令z = “e i 口f ) 为g l ( n ，f ) 之中心，有： p g l ( n ，f ) = g l ( n ，f ) z ， 称为一般射影群它是刀一1 维射影空间p ( n 一1 ，f ) 上的变换群 进一步，记 p s l ( n ，f ) = s l ( n ，f ) ( s l ( n ，f ) nz ) ， 称为特殊射影群，其中，s l ( n ，f ) n z = a e i a f ，口”= 1 ) 以上关于有限群和置换群的内容可参看文献 5 5 ，7 1 ，7 2 ，7 3 ，7 4 ，7 5 2 1 2 群在集合上的作用 定义2 1 2 1 设q = 口，y ，) 是一个有限集合，其元素称为点s q 表示 q 上的对称群所谓g 在q 上的作用矽指的是g 到s q 内的一个同态，即对每个 元素x g ，对应q 上的一个置换 矽( x ) ：口卜口。， 并且满足： ( 口。) y = 口掣，x ，y g ， 倪q 如果k e r ( q k ) = l ，则称g 忠实地作用在q 上，这时g 看作q 上的置换群如果 k e r ( c b ) = g ，则称g 平凡地作用在q 上 定义2 1 2 一g 口= x g b = 口。) 则g 口是g 的一个子群，称之为点口的 1 4 硕+ 学位论文 第二r ：章基础知识 稳定子群对于任意的y g ，都有g 。，= y - i g 。y 定义2 1 2 3 设群g 作用在集合q 上，称二元素口，q 为等价的，记作 口，如果存在x g ，使得口。= 易验证关系“”是q 上的等价关系q 对“ 的一个等价类叫做g 在q 上的一个轨道一个轨道所包含的元素的个数 叫做该轨道的长 对于口q ，令口“= 缸。i x g ) ，则口“是包含口的轨道 定义2 1 2 4 如果g 在q 上只有一个轨道，即q 本身，则称g 在q 上的作 用是传递的 定理2 1 2 5 设群g 作用在有限集合q 上，口q ，则k “l = i g ：g 。1 特 别地，轨道口g 的长是i g l 的因子 定义2 1 2 6 群g 传递地作用在q 上令q