河南省洛阳市中成外国语学校高考数学专题复习 用空间向量法解决立体几何问题课件.ppt

必考问题14用空间向量法解决立体几何问题 第一部分 2012 山东 在如图所示的几何体中 四边形abcd是等腰梯形 ab cd dab 60 fc 平面abcd ae bd cb cd cf 1 求证 bd 平面aed 2 求二面角f bd c的余弦值 对立体几何中的向量方法部分 主要以解答题的方式进行考查 而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法 考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算 把立体几何问题转化为空间向量的运算问题 空间向量的引入为空间立体几何问题的解决提供了新的思路 作为解决空间几何问题的重要工具 首先要从定义入手 抓住实质 准确记忆向量的计算公式 注意向量与线面关系 线面角 面面角的准确转化 其次要从向量的基本运算入手 养成良好的运算习惯 确保运算的准确性 必 备 知 识 方 法 必备知识直线与平面 平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l m的方向向量分别为a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 平面 的法向量分别为 a3 b3 c3 v a4 b4 c4 以下相同 2 用向量法证明平行 垂直问题的步骤 1 建立空间图形与空间向量的关系 可以建立空间直角坐标系 也可以不建系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 2 通过向量运算研究平行 垂直问题 3 根据运算结果解释相关问题 热 点 命 题 角 度 多以多面体 特别是棱柱 棱锥 为载体 求证线线 线面 面面的平行或垂直 其中逻辑推理和向量计算各有千秋 逻辑推理要书写清晰 充分 地推出所求证 解 的结论 向量计算要步骤完整 准确 地算出所要求的结果 向量法证明垂直与平行 多以空间几何体 平面图形折叠成的空间几何体为载体 考查线线角 线面角的求法 正确科学地建立空间直角坐标系是解此类题的关键 用向量法求线线角 线面角 用空间向量法求二面角的大小是高考的热点 考查空间向量的应用以及运算能力 题目难度为中等 用向量法求二面角 例3 2012 天津改编 如图 在四棱锥pabcd中 pa 平面abcd ac ad ab bc bac 45 pa ad 2 ac 1 1 证明 pc ad 2 求二面角apcd的正弦值 借助向量求二面角是解决空间角问题的常用方法 求解过程中应注意以下几个方面 1 两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角 有可能两法向量夹角的补角为所求 2 求平面的法向量的方法 待定系数法 设出法向量坐标 利用垂直关系建立坐标的方程解之 先确定平面的垂线 然后取相关线段对应的向量 即确定了平面的法向量 当平面的垂线较易确定时 常考虑此方法 探索性问题此类问题命题背景宽 涉及到的知识点多 综合性较强 通常是寻找使结论成立的条件或探索使结论成立的点是否存在等问题 全面考查考生对立体几何基础知识的掌握程度 考生的空间想象能力 逻辑思维能力和运算求解能力 利用向量法解决立体几何中的 例4 如图所示 四边形abcd是边长为1的正方形 md 平面abcd nb 平面abcd 且md nb 1 e为bc的中点 1 求异面直线ne与am所成角的余弦值 2 在线段an上是否存在点s 使得es 平面amn 若存在 求线段as的长 若不存在 请说明理由 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题 它无需进行复杂的作图 论证 推理 只需通过坐标运算进行判断 解题时 把要成立的结论当作条件 据此列方程或方程组 把 是否存在 问题转化为 点的坐标是否有解 是否有规定范围的解 等 因此使用问题的解决更简单 有效 应善于运用这一方法解题 阅 卷 老 师 叮 咛 利用向量法求空间角要破 四关 利用向量法求解空间角 可以避免利用定义法作角 证角 求角中的 一作 二证 三计算 的繁琐过程 利用法向量求解空间角的关键在于 四破 第一破 建系关 第二破 求坐标关 第三破 求法向量关 第四破 应用公式关 熟记线面成的角与二面角的公式 即可求出空间角 试一试 2012 东北三校模拟 如