浙江省瓯海区三溪中学高中数学《2.2.1综合法和分析法》课件 新人教A版必修2.ppt

第三章导数及其应用 高中数学选修1 1 2 引入我们知道事物分成正面和方面 证明题目的方法很多 不管有多少 从正面看从大宏观与大高度看只分成两类 3 2 2 1综合法和分析法 一 综合法 4 练习 已知a 0 b 0 求证a b2 c2 b c2 a2 4abc 分析 首先 分析待证不等式的特点 不等式的右端是3个数a b c乘积的4倍 左端为两项之和 其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积 据此 只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式 就能使不等式左 右两端具有相同的形式 其次 寻找转化的依据及证明中要用的其他知识 应用不等式x2 y2 2xy就能实现转化 不等式的基本性质是证明的依据 5 证明 b2 c2 2bc a 0 a b2 c2 2abc 又 c2 a2 2ac b 0 b c2 a2 2abc a b2 c2 b c2 a2 4abc 6 用p表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 q表示所要证明的结论 则综合法用框图表示为 二 讲授新课 综合法 顺推证法或由因导果法 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 其特点是 由因导果 但综合法是万事开头难 虽然万事开头难 但有时候进展更难 会需要高超的技巧 深刻的解题指导思想 同学们 综合法我们只需懂理解具体例子 这些归纳出来的综合法一般理论是数学家干干的 我们只需理解就行 7 例1 如图所示 abc在平面 外 ab p bc q ac r 求证 p q r三点共线 分析 p q r p q r 平面abc则p q r是两平面的交线 你会证明吗 三 例题讲解 8 三 例题讲解 9 例3 在 abc中 三个内角a b c对应的边分别为a b c 且a b c成等差数列 a b c成等比数列 求证 abc为等边三角形 分析 将a b c成等差数列 转化为符号语言就是2b a c a b c为 abc的内角 这是一个隐含条件 即a b c 180 a b c成等比数列转化为符号语言就是 三 例题讲解 此时 如果能把角和边统一起来 那么就可以进一步寻找角和边之间的关系 进而判断三角形的形状 余弦定理正好满足要求 于是 可以用余弦定理进行证明 10 证明 由a b c成等差数列 有 因为a b c为 c的内角 所以 注 解决数学问题时 学会语言转换 还要细致 找出隐含条件 11 由余弦定理及 可得 再由 得 12 四 课堂小结 1 在数学证明中 综合法最常用的数学方法 若从已知入手能找到证明的途径 则用综合法 2 综合法的每步推理都是寻找必要条件 在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性 3 综合法是万事开头难 虽然万事开头难 但有时候进展更难 会需要高超的技巧 深刻的解题指导思想 万事开头难怎办 请听下节课分解 13 再见 14 2 2 1综合法和分析法 二 分析法 15 用p表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 q表示所要证明的结论 则综合法用框图表示为 一 回顾复习 综合法 顺推证法或由因导果法 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 其特点是 由因导果 综合法是由一个个推理组成的 3 综合法是万事开头难 虽然万事开头难 但有时候进展更难 会需要高超的技巧 深刻的解题指导思想 但开头难怎办 如何找到开头 16 练习 证明不等式 a 0 b 0 证法2 要证 只需证 只需证 只需证 因为 成立 所以成立 综合法 分析法 17 思考 上述两种证法有什么异同 都是直接证明 证法1从已知条件出发 以已知的定义 公理 定理为依据 逐步下推 直到推出要证明的结论为止综合法 相同 不同 证法2从问题的结论出发 追溯导致结论成立的条件 逐步上溯 直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止分析法 分析法 综合法 已知条件 结论 综合法和分析法的推证过程如下 18 一般地 从要证明的结论出发 逐步寻求推证过程中 使每一步结论成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明的方法叫做分析法 其特点是 执果索因 即要证结果q 只需证条件p 二 讲授新课 分析法 逆推证法或执果索因法 类似于综合法 我们也可以用框图来表示分析法 用pi表示使所要证明结论成立的充分条件 q表示所要证明的结论 则分析法的思路过程 特点用框图表示为 注意 证明最后面的明显成立的条件可以是 已知条件 定理 定义 公理等 同学们这些分析法的严格定义即一般理论是数学家干干的 我们只需懂和理解具体例子 我们只是个高中生 19 20 在本例中 如果我们从 21 25 出发 逐步倒推回去 就可以用综合法证出结论 但由于我们很难想到从 21 25 入手 所以用综合法比较困难 反思 21 练习 求证 证法一 为了证明 成立 因为 所以只需证明 成立 展开得 即 因为 成立 所以 成立 证法二 第一高考不会估算也不用计算器 同学们你觉得可以是依葫芦画瓢 但我希望同学们你对自己提高要求那就是心算出开头 22 例5 如图 sa 平面abc ab bc 过a作sb的垂线 垂足为e 过e作sc的垂线 垂足为f 求证af sc 证法一 要证af sc 只需证 sc 平面aef 只需证 ae sc 只需证 ae 平面sbc 只需证 ae bc 只需证 bc 平面sab 只需证 bc sa 只需证 sa 平面abc 因为 sa 平面abc成立 所以 af sc成立 分析 本题条件较多 而且垂直关系较多 我们不容易发现如何使用这些垂直条件 因此利用综合法比较困难 我们采用分析法 23 证法二 sa 平面abc ae bc 又 ae sb 且bc sb b ae 平面sbc ae sc 又 ef sc 且ae ef e sc 平面aef af sc bc sa bc 平面sab 又 ab bc 且ab sa a 这是道经典题 年年有 高考只会换个角度考 同学们你会遇到云里雾里剪不断理还乱的解题现象 这里线面垂直转化为线线垂直 线线垂直转化为线面垂直 把你头脑转晕掉 24 分析 证明式中没有 因此我们要将 消掉 如何消掉 而且在条件中只有弦 而在证明结果里面只有切 因此我们要弦化切 25 证明 3 26 由于上式与 相同 于是问题得证 27 1 综合法 sin cos 2 2sin cos 1 2sin 2 2sin2 1 4sin2 2sin2 1 2 cos2 sin2 cos2 sin2 即 二倍角公式 解题就是思维的发生发展且为什么这样发生发展 世界上没有无缘无故的恨也没有无缘无故的爱 思维的发生几乎没有莫名其妙 已知条件三个角 要证结论两个角 所以消失一个 消失后发现得到的是正弦式子 但要证的结论正切 所以又要化正切为正弦 28 综合法和分析法的各自优劣综合法是万事开头难 我们很难找到那个证明的起点即开头 我们一般用分析法找到证明的起点即开头然后用综合法书写 分析法像警察破案 一步步推理 最终找到犯罪的证据 整个案件清晰明朗 综合法让我们隐藏了我们的解题思路是怎来的 就像一只狡猾的狐狸