江苏省太仓市第二中学九年级数学下册《292 反证法》课件 华东师大版.ppt

路边苦李 王戎7岁时 与小伙伴们外出游玩 看到路边的李树上结满了果子 小伙伴们纷纷去摘取果子 只有王戎站在原地不动 王戎回答说 树在道边而多子 此必苦李 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李 王戎是怎样知道李子是苦的呢 他运用了怎样的推理方法 小故事 这与事实矛盾 说明李子是甜的这个假设是错的还是对的 假设李子不是苦的 即李子是甜的 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢 那么 树上的李子还会这么多吗 所以 李子是苦的 29 2反证法 解析 由 c 90 可知是直角三角形 根据勾股定理可知a2 b2 c2 探究 假设a2 b2 c2 由勾股定理可知三角形abc是直角三角形 且 c 90 这与已知条件 c 90 矛盾 假设不成立 从而说明原结论a2 b2 c2成立 这种证明方法与前面的证明方法不同 它是首先假设结论的反面成立 然后经过正确的逻辑推理得出与已知 定理 公理矛盾的结论 从而得到原结论的正确 象这样的证明方法叫做反证法 发现知识 证明 假设 则 这与矛盾 假设不成立 b c ab ac 等角对等边 已知ab ac b c 小结 反证法的步骤 假设结论的反面不成立 逻辑推理得出矛盾 肯定原结论正确 感受反证法 求证 在一个三角形中 至少有一个内角小于或等于60 已知 abc求证 abc中至少有一个内角小于或等于60 证明 假设 则 即 这与矛盾 假设不成立 abc中没有一个内角小于或等于60 a 60 b 60 c 60 a b c 180 三角形的内角和为180度 abc中至少有一个内角小于或等于60 点拨 至少的反面是没有 a b c 60 60 60 180 例5 求证 在同一平面内 如果一条直线和两条平行线中的一条相交 那么和另一条也相交 已知 直线l1 l2 l3在同一平面内 且l1 l2 l3与l1相交于点p 求证 l3与l2相交 证明 假设 那么 因为已知 l3与l2不相交 l3 l2 l1 l2 例6 用反证法证明 等腰三角形的底角必定是锐角 分析 解题的关键是反证法的第一步否定结论 需要分类讨论 已知 在 abc中 ab ac 求证 b c为锐角 证明 假设等腰三角形的底角不是锐角 那么只有两种情况 1 两个底角都是直角 2 两个底角都是钝角 1 由 a b 90 则 a b c a 90 90 180 这与三角形内角和定理矛盾 a b 90 这个假设不成立 2 由90 b 180 90 c 180 则 a b c 180 这与三角形内角和定理矛盾 两个底角都是钝角这个假设也不成立 故原命题正确 等腰三角形的底角必定是锐角 说明 本例中 是锐角 小于90 的反面有两种情况 这时 必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立 最后才能肯定命题的结论一定正确 此题是对反证法的进一步理解 反证法的一般步骤 假设命题结论不成立 假设不成立 假设命题结论反面成立 与已知条件矛盾 假设 推理得出的结论 与定理 定义 公理矛盾 所证命题成立 什么时候运用反证法呢 动动脑 证明真命题的方法 万事开头难 让我们走好第一步 写出下列各结论的反面 1 a b 2 a 0 3 b是正数 4 a b a 0 b是0或负数 a不垂直于b 2 已知 如图 abc中 d e两点分别在ab和ac上求证 cd be不能互相平分 平行四边形对边平行 证明 假设cd be互相平分 连结de 故四边形bced是平行四边形 bd ce 这与bd ce交于点a矛盾 假设错误 cd be不能互相平分 1 试说出下列命题的反面 1 a是实数 2 a大于2 3 a小于2 4 至少有2个 5 最多有一个 6 两条直线平行 2 用反证法证明 若a2 b2 则a b 的第一步是 3 用反证法证明 如果一个三角形没有两个相等的角 那么这个三角形不是等腰三角形 的第一步 a不是实数 a小于或等于 a大于或等于 没有两个 一个也没有 两直线相交 假设a b 假设这个三角形是等腰三角形 已知 在梯形abcd中 ab cd c d求证 梯形abcd不是等腰梯形 证明 假设梯形abcd是等腰梯形 c d 等腰梯形同一底上的两内角相等 这与已知条件 c d矛盾 假设不成立 梯形abcd不是等腰梯形 证明 假设pb pc 在 abp与 acp中ab ac 已知 ap ap 公共边 pb pc 已知 abp acp s s s apb apc 全等三角形对应边相等 这与已知条件 apb apc矛盾 假设不成立 pb pc 美国总统华盛顿从小非常聪明 小偷翻进鲍克家偷走了许多东西 根据迹象表明小偷就是本村人 华盛顿灵机一动 对全村人讲起了故事 黄蜂是上帝的使者 能辨别人间的真假 忽然华盛顿大声喊道 小偷就是他 黄蜂正在他的帽子上兜圈子 要落下来了 大家回头张望 看着那个想把帽子上的黄蜂赶走的人 其实哪有什么黄蜂 华盛顿大喝一声 小偷就是他 你知道华盛顿是如何推理的吗 在应用中体会 华盛顿抓小偷 1 知识小结 反证法证明的思路 假设命题不成立 正确的推理 得出矛盾 肯定待定命题的结论 2 难点提示 利用反证法证明命题时 一定要准确而全面的找出命题结论的反面 至少的反面是没有 最多的反面是不止 大家议一议 通过本节内容的学习 你们觉得哪些题型宜用反证法 我来告诉你 经验之谈 1 以否定性判断作为结论的命题 2 以 至多 至少 或 不多于 等形式陈述的命题 3 关于 唯一性 结论的命题 4 一些不等量命题的证明 5 有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等等 如平行线的传递性的证明 注意 用反证法证题时 应注意的事项 1 周密考察原命题结论的否定事项 防止否定不当或有所遗漏 2 推理过程必须完整 否则不能说明命题的真伪性 3 在推理过程中 要充分使用已知条件 否则推不出矛盾 或者不能断定推出的