西南交通大学2009-2010第一学期概率与数理统计（B）期末试题A.Text.Marked.pdf

page 1 of 4 西南交通大学 2009 2010 学年第 一 学期考试试卷西南交通大学 2009 2010 学年第 一 学期考试试卷 课程代码 6024000 课程名称 概率论与数理统计 b a 卷 概率论与数理统计 b a 卷 考试时间 120 分钟分钟 题号一二三四五六七八总成绩 得分 阅卷教师签字 一 12 分 设 12 个螺丝钉中有 3 个是坏的 现从中随机抽取 4 个 试问 1 恰好抽到两个是坏的概率是多少 2 至少抽到两个是坏的概率是多少 3 抽到 4 个全是好的概率是多少 解解 1 22 39 1 4 12 10812 0 2182 49555 c c p c 4 分 2 2231 3939 2 4 12 11713 0 2364 49555 c cc c p c 4 分 3 4 9 3 4 12 12614 0 2545 49555 c p c 4 分 二 13 分 设某类日光灯管的使用寿命x服从指数分布 其数学期望为 2000 小时 1 任取一只这种灯管 求能正常使用 1000 小时以上的概率 2 设有一只这种灯管已经正常使用了 1000 小时以上 求还能再使用 500 小时以上的概率 解解 由题意得 x 的分布函数为 2000 1 e 0 0 0 x x f x x 1 1000 p x 1 1000 p x 1 1000 f 1 2 e0 6065 6 分 2 15001000 p xx 1500 1000 1000 p xx p x 1500 1000 p x p x 1 1500 1 1000 p x p x 0 75 0 25 0 5 1 1500 0 7788 1 1000 fe e fe 7 分 班级班级学号学号姓名姓名 密封装订线密封装订线密封装订线密封装订线密封装订线密封装订线 www zhinanche cc page 2 of 4 三 10分 设随机变量x y相互独立 x服从 0 1 上均匀分布 y的概率密度为 1 2 1 0 2 0 y ey f y 其它 设有关于a的二次方程 2 20aaxy 试求此方程有实数根的 概率 计算结果可用标准正态分布密度函数表示 解解 方程有实数根的充要条件为 2 440xy 所求概率为 2 p xy 由于x与y相互独立 故联合密度为 xy f x yfxfy 1 2 1 01 0 2 0 y exy 其它 5 分 故 2 2 1 1 2 2 00 1 12 1 0 2 xy xy p xyf x y dxdyedydx 5 分 四 15 分 已知随机变量x y的联合密度为 1 02 02 8 0 xyxy f x y 其它 试求函数23258zxy 的方差 解解 因为 2 7 6 r e xxf x y dxdye y 2 222 5 3 r e xx f x y dxdye y 故得 22 11 36 d xe xe x 由对称性可得 11 36 d y 5分 2 4 3 r e xyxyf x y dxdy 1 cov 36 x ye xye x e y 5分 23258 4 9 12 d zdxyd xd ycov x y 1111111137 4912 3 0833 3636363612 5分 www zhinanche cc page 3 of 4 五 15分 现有一批种子 其中良种约占1 3 今在其中任取9000粒种子 试问在这些取 出种子中 良种所占比例与1 3之差的绝对值小于1 100的概率是多少 计算结果用标准正 态分布函数表示 解解 设 9000 y 9000粒种子中良种种子数 则 9000 9000 1 3 yb 9000 3000e y 9000 2000d y 5分 欲求概率 11 90003100 n y p 300090 n p y 根据中心极限定理 2 9000 3000 2000 yn近似服从 5分 1 1 3 9000100 n y p 300090 20002000 n y p 9 21 20 9 21 2 5 5分 六 12分 对某一距离x 米 进行六次独立测量 得到以下结果 已知测量仪器没有系统误差 试求测量值的 1 样本变异系数 2 经验分布函数 3 概率 2886027855 xp的近似估计值 解 1 28035 83x 366 74s 0 013 r c 4分 2 将原数据按从小到大顺序排列为 276432769927880280432836228558 可写出经验分布函数为 6 027643 1 62764327699 2 62769927880 3 62788028043 4 62804328362 5 62836228558 128558 x x x f xx x x x 4分 3 242 2785528860 1 663 px 4分 278802836228073276432855827699 班级班级学号学号姓名姓名 密封装订线密封装订线密封装订线密封装订线密封装订线密封装订线 www zhinanche cc page 4 of 4 七 13分 设总体x的概率密度为 01 1 12 0 x f xx 其它 其中 是未知参数 01 12 n xxx 为来自总体的简单随机样本 记k为样本值 12 n x xx 中小于1的个数 试求 1 的矩估计量 2 的极大似然估计量 解 解 因为 12 01 33 1 1 222 e xxf xdxx dxxdx 令 3 2 e xx 即得 的矩估计为 3 2 x 7分 由样本值 12 n x xx 得似然函数为 1 1 1 1 n kn k i ki lf x n k 取对数得 ln ln ln 1 lknk 对 求导数得 ln 0 1 dlknk d 令 解上述方程即得 的极大似然估计值为 k n 设k为样本 12 n xxx 中小于1的个数 则 的极大似然估计量为 k n 6分 八 10分 某批矿砂的5个样品中的镍含量经测定为 3 253 273 243 263 24 设样品中的镍含量测定值服从正态分布 试问在0 01 下能否接受假设 这批矿砂镍含量 的均值为3 25 0 005 4 4 604 t 0 005 5 4 032 t 0 01 4 3 747 t 0 010 005 5 3 365 2 57 tz 0 01 2 33 z 解解 测定值已经服从正态分布 方差未知 作假设 01 3 25 3 25 hh 经计算 2 2 1 1 5 3 252 0