小学数学解题思路技巧（三年级用） .doc

小学数学解题思路技巧（三年级用）第一章 整数的计算 整数的计算，不仅要掌握整数的加、减、乘、除的四则运算，而且还要掌握各种运算定律和性质，更要掌握各种计算技巧，只有这样才能快速、准确地求出结果。11 凑整速求和知识要点加法的运算定律有：1加法的交换律。两个数树相加，交换它们的位置，和不变。2加法的结合律。三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。范例解析例1 计算：82344925677。分析 如果将此题从头到尾逐项相加，也可得到答案，但不如分组求和相加简单。首先注意到：892 = 100，2377 = 100，4456 = 100，于是很快就有答案了。解答 原式 =（892）（2377）（4456） = 100100100 = 300。例2 计算：36822316997。分析 注意到：397 = 100，6822 = 90，3169 = 100。先分组，再求和。解答 原式 =（397）（6822）（3169） = 10090100 = 290。例3 计算：7716421025397535829。分析 此题中73 = 10，7129 = 100，642358 = 100，1025975 = 2000。先分组，再求和。解答 原式 =（73）（7129）（642358）（1025975） = 1010010002000 = 3110。例4 计算：1081398295197。分析 此题除了108119 = 1100外，不好分组凑整了。但我们可以把7拆成25，并注意到3982 = 400，2955 = 300，仍可得到快速求解。解答 原式 =（108119）（3982）（2955） = 1100400300 = 1800。例5 计算：898998999899998。分析 注意到8 = 2222且后面每一数加上2，均可凑整，于是有如下答案。解答 原式 =（298）（2998）（29998）（299998） = 100100010000100000 = 111100。例6 计算：59999949998399729615。分析 注意到前面4个加数分别加上1、2、3、4可凑整，而15可拆成12345，于是有如下解答。解答 原式 =（5999991）（499982）（39973）（2964）5 = 6000005000040003005 = 654305。说明 以上三例题不能直接分组凑整，需要事先把某一数拆成若干个加数之和的形式，使之分组凑整，解题应掌握这一技巧。例7 计算：681325675460297439537。分析 注意到68129 = 710，325677439 = 400006，5460537 = 5997 = 60003，可得解答如下。解答 原式 =（68129）（325677439）（5460537） = 71040000660003 = 46713。例8 计算：199419971999200420052007。分析 注意到这6个数与2000比较接近，可把它们都看成2000，然后再考虑每数与2000的关系。解答 原式 = 20006（457631） = 120006 = 12003。说明 这里4、5、7是后面3个数依次比2000多的数；6、3、1分别是前面3个数比2000少的部分。思路技巧用凑整法速求和，主要是巧妙地运用加法的交换律和结合律，在求若干数的和时，先把加数分成若干组，使每组和是整十、整百、整千、，再把每组和相加。有时也采取补整或拆零留整的方法。习题精选1.11192381326877。26312634585428742037。31783229995106。4823076345798723664212。58998315685。629999939998499759667。7995997998100410081009。81307593110642069100252036。12 高斯求和法知识要点高斯求和，即求相邻两数的差都相等的一列数的和。可以运用下面求和公式：总和 =（最小数最大数）项数2，其中，项数即加数的个数。求项数也有公式：项数=（最大数最小数）公共的差1。范例解析例1 计算：123451920。分析 注意这些加数有这样一些特点：后一个数比前一个数都大1（差都相等），最小数最大数 = 21，第二小数第二大数 = 21，不难得到此题的简便解法。解答 方法1 倒过来相加求和。原式 = 21202 = 210。方法1 倒过来相加求和。原式 =（最小数最大数）项数2=（120）202= 210。例2 计算：24684850。解答 原式 =（250）252= 52252= 2625 （先除以2，再乘以25）= 650。例3 计算：1（113）（123）（133）（1993）。分析 显然这是一个最小数为1，最大数为298，公共差为3的一列数，易利用公式求和。解答 原式 =1（1399）1002= 2991002= 2625= 14950。说明 此题项数（加数个数）为100个，而不是99个。因第一个为103，从0到99共100个。例4 计算：16111621496。分析 因为61 = 5，116 = 5，1611 = 5，显然，这是一个最小数为1，最大数为496，公差为5的一列数：6 = 115，11 = 125，16 = 135，496 = 1995。项数为991 = 100。解答 项数 =（4961）51 = 100，原式 =（1496）1002= 4971002= 24850。例5 计算：（24698100）（13599）。分析 此题按通常思考方式可先分别求和，再求差。解答 方法一原式 =（1100）502（199）502= 102502100502= 1022510025=（102100）25= 225 = 50。方法二原式 = 1009842139=（10099）（9897）（43）（21）= = 50。例6 已知一列数：2，5，8，11，求这列数前100个数之和。分析 此列数只告诉前面几个数，先根据前面几个数找出此列数的规律：52 = 3，85 = 3，118 = 3，可知这是一个以2为最小数，3为公共差的一列数，第100个数为2（1001）3 =299，于是可用公式求和。解答 根据所给的几个数可知，这是求以2为最小数，3为公共差的一列数前100个数之和，即求：2（213）（223）（2993）之和。原式 =（2299）1002= 3011002= 301001= 15050。思路技巧 求一列数的总和，观察这列数是否具有下面的特点：从第二个数起，后数减前数，差都相等。若具有这一特点，可用本节高斯求和公式。不记这个公式也可以，直接利用本节例1的方法。习题精选1.21123499100。213579799。33（314）（324）（3994）。415222936708。5求数列3，8，13，18前100个数之和。6有一个挂钟，一点敲一下，二点敲二下，十二点敲十二下，每半点钟也敲一下，问一昼夜共敲多少下？13 减法巧算知识要点利用减法的性质和改变运算顺序，能使减法运算快速、准确。公式1 （bc）= b c。公式2 b c = （bc）。公式3 （bc）= b c。公式4 bc= （bc）。范例解析例1 改变运算顺序计算： 19931478793； 2789397211。解答 19931478793= 19937931478= 12001478= 2678。 2789397211= 2789211397= 3000397= 30004003= 2603。例2 计算： 8723（723189）； 1631128372。分析 式中若先求括号再求差，运算中要借位，不如先去括号后运算简便。式若按顺序计算也不如先把两个减数加起来，再相减简单。解答 8723（723189）= 8723723189= 8000189= 8189。 1631128372= 1631（128372）= 1631500= 1131。例3 计算： 1763174237226； 7763275725763。 分析 注意到 式中763237 = 1000，174226 = 400可简算。 式中7763763 = 7000，275725 = 1000，亦可简算。解答 1763174237226= 1763237（174226）= 2000400= 1600。 7763275725763=7763763（275725）= 70001000= 6000。说明 对于含有加、减运算的式子，先仔细观察，才能找到最佳解题方法。例4 计算：199512350。分析 此题如果顺次做减法，要算50次，太繁，如果先把这50个减数加起来再减，计算量大为减少。解答 原式 = 1995（1234950）= 1995（150）502= 199551502= 19951275= 720。例5 计算：19961994199219908642。解答 方法一原式 =（19961994）（19921990）（86）（42）= = 2499= 299。方法二原式 =（1996199284）（1994199062）= 4（49949821）2（99799531）= 4（4991）49922（1997）4992= 998。说明 方法二是先把加数和减数分别求和再相减。求和中用到1.2的求和公式。方法二不如方法一简单。思路技巧减法巧算的技巧有二：一个是适当地添括号与去括号。在“”后面添括号或去括号，括号里的运算符号不变；在“”后面添括号或去括号，括号里的运算符号改变；加变减，减变加。另一个是“凑整”。这需要敏锐的观察力。习题精选1.3用简便方法计算：11556372128。25131（11311992）。372342292766708。445272998527。576001234100。6 199219891986198312963。14 乘法巧算知识要点1乘法的交换律 b = b2乘法的结合律 bc = （b）c =（bc）3乘法对加（减）法的分配律 （bc） = bc；（bc） = bc范例解析例1 改变运算顺序计算： 1285； 23715； 123525； 57850； 37975。解答 原式 = 6425 = 6410 = 640或者 原式 = 128102 = 12802 = 640。原式 = 2371522= 237302= 71102= 3555。原式 = 123525= 12352544= 12351004= 1235004= 30875。原式 = 57850= 5781002= 578002= 28900。原式 = 13797544= 13793004= 4137004= 103425。说明 类似于上面形式的一般形式还有很多，如125 = 10008，45 = 902，500 = 10002，例2 利用公式 =(1)100bc（其中bc = 10）速算下列各题： 1515； 2525； 3535； 4545； 7179； 8288； 5357； 9496。解答 原式 = 1（11）10055 = 225。 原式 = 2（21）10055 = 625。 原式 = 3（31）10055 = 1225。 原式 = 4（41）10055 = 2025。 原式 = 7（71）10019 = 5609。 原式 = 8（81）10028 = 7216。 原式 = 5（51）10037 = 3021。 原式 = 9（91）10046 = 9024。说明 满足bc = 10条件的两位数相乘可以用此公式速算。此公式可推广到多位数上去，即a是多位数也成立。例如，102108 = 11016，28 = 10，如用公式，原式 = 10（101）10028 = 11016，两者一致。例3 用简便方法计算下列各题： 231425； 8138125； 2564125； 40425。分析 式中注意到425 = 100可先算。 式中8125 = 1000，可结合先算。 中64= 482再利用、中技巧。 式类似于，也可用例1的技巧计算。解答 原式 = 231（425）= 231100 = 23100。 原式 = 1388125 = 1381000 = 138000。 原式 = 25428125 = 10021000 = 200000。 原式 = 101425 = 101100 = 10100。或原式 = 4041004 = 404004 = 10100。例4 用分配律速算下列各题： 423102； 76598； 21435656214； 423102； 76598； 21435656214。分析 、为一种类型题目：其中有一乘数与整百相差无几，可以把它写成整百加（减）余额。、为分配律公式反过来运用，甚至多此使用。解答 原式 = 423（1002）= 4231004232 = 42300846 = 43146。 原式 = 765（1002）= 7651007652 = 765001530 = 74970。 原式 = 214（35656）= 214300 = 64200。 原式 = 187（2476）= 187100 =18700。 原式 =（2001）（2001）= 200（2001）1（2001）= 2002002002001 = 400001 = 39999。 原式 =（33515）1735010 = 3501735010= 350（1710）= 3507 = 2450。说明 应用分配律解题，有时从公式左边变为右边简单，有时从公式右边变为左边简单，要注意观察分析。有时可反复使用公式。思路技巧乘法巧算主要是灵活地运用乘法的交换律、结合律、分配律，特别注意在运算中凑成1后面带若干个零的数。例如，25 = 10，425 = 100，8125 = 1000，102 = 1002，98 = 1002，。另外，例2介绍的个位之和10的两数相乘的简便算法用得也较多。 习题精选1.4用简便方法计算：1324352679453782125455555656569595734368585296169104567251112596251252410213301299143145193145811523711313237第二章 找规律 学数学不仅能提高数字计算能力，而且还能提高你对问题的观察、分析、推理能力。而观察、分析、推理能力的提高，要靠经常性的锻炼。本章从三个方面来训练你的观察、分析、推理的能力。21 从图形变化中找规律知识要点从图形变化中找规律，应注意以下几点：图形的整体变化。图形内部及相对位置没有发生变化，如图形按某种规律旋转之类。图形内部及相对位置发生变化。如某种规律变化使一些部件数量发生增加或减少之类。其他特殊变化。如某些点、线段发生变化，颜色发生变化之类。范例解析例1 顺序观察图2-1中给出图形的变化，安装这种变化规律，在空格中填上应有的图形。 分析 观察所给的图形：第一列都是圆，第二列都是正方形，第三列前两个为三角形，故？处必为三角形。再观察各行图形的位置变化：第二行为第一行按顺时针方向旋转90得到，第三行前面两个也是在第二行的基础上按顺时针方向再旋转90得到，故？处的图形已清楚了。 解答 ？处应填的图形如图2-2。例2 在图2-3中，找出两个与其他不同的图形。分析 在同一平面内旋转，图2-3、只是位置不同，图2-3也只是位置不同，但、与无论怎样旋转，都不能重合，只有离开平面翻折才能重合。解答 图2-3、是特殊的，与其余四个图形不同。例3 找规律。在图2-4中，从（a）、（b）、（c）、（d）、（e）中选出一幅图填入（f）空格内。 分析 在图2-4（f）中，已知三角形底边全在下（即有一顶角下上），不可能填（e），其次（f）的三个图形中小圆圈为空心，故不可能填（d）。（f）的左边两小三角形为阴影，右边是空白，故空格内必有一空白三角形。已给（f）的三图形中，斜对角两图形结构相类似，故应选（a）图。解答 空格内应为（a）图。例4 在图2-5中按规律填图。分析 由图25第一行两个图进行分析，当左边的图形变为右边的图形时，图形外部的圆变为图形下部的半圆，白色变成阴影，即原图形在形状、位置、颜色三个方面有变化。左边图形中间的阴影小正方形，变为右边白色正方形，位置在上半部。根据上述变化规律，空白处的图形其下半部分，应由左边大正方形变成，是半个阴影正方形（长方形）；其上半部应由左图中小圆变成白色小圆放在长方形之上。解答 空白处的图形如图2-6所示。例5 按规律填图： 分析 从图2-7可看出，此题关键变化规律是正方形内小黑点数量上的变化。 中只有1个，1 = 11； 中有4个，4 = 22； 中有16个，16 = 44；于是不难推出？中有9个小黑点，9 = 33，同时注意排列规则是三行三列。解答 处图形为图2-8。例6 观察图2-9中所给图形的变化规律，然后在空白处填上所缺图形。分析 这是一组“猫”图，共有三种“猫”，头是三角形，身是圆；头是小圆，身是长方形；头小正方形，身是三角形，这几种组合固定不变；其次是“胡子”根数；最后是尾巴形状。 每一行三种猫都出现，所不同的是“胡子”根数发生变化，“尾巴”形状有变化。“胡子”根数分别为2、4、6根；“尾巴”有向左、向右、上卷三种形状，每一行三种情况都出现，于是的“猫”是三角形头，圆身子。的“猫”形状是小正方形头，三角形身。应有4根胡子，每边两根，尾巴向左；有4根胡子，每边两根，尾巴向右。解答 形状为图2-10所示。思路技巧解答相处图形变化中找规律的问题，主要是善于观察与联想，多采用类比的方法，即从一事物具有某性质，类似地推断另一事物也具有类似性质。对图形变化的观察，应从整体上看，从内部变化上看，还要注意特殊变化。习题精选2.1依照图2-11中所给图形的变化规律，在沿空格中填上适当的图形。在图2-12中，找出与众不同的那个图形。在图2-13中，找一下规律，从（a）、（b）、（c）、（d）中选一幅图贴入空格内。在图2-14中，按变化规律填图。 按图2-15的变化规律，空白处的图形应是什么？22 从数字排列中找规律知识要点常见的数字排列变化规律如下：呈等差数列（后一项减前一项，差都相等的一列数，称等差数列）排列。如1，3，5，7，9，。呈等比数列（后一项与前一项的商数都相等的一列数，称等比数列）排列。如1，3，9，27，81，。呈平方排列。如1，4，9，16，。呈裴波那契排列，即从第三数开始，后一数为前相邻两数之和，如1，1，2，3，5，。范例解析例1 观察分析下列各数之间的变化规律，然后填上适当的数： 3，5，7，9，_； 1，4，9，16，_； 1，2，3，5，8，13，_； 1，2，4，7，11，_； 3，9，27，81，_； 3，4，6，10，18，_。分析 对一列数的变化规律进行分析，一般是顺序对这列数中相邻的两个数或几个数依次进行某种四则运算，根据运算结果进行比较找出规律。其中相邻两项作差的比较方法是一个行之有效的方法，大多数问题均能得到答案。 依次用后一个数减去相邻的前一个数，差都是2：这是一个公差为2的等差数列，所以，9后一数应为92 = 11。 第一个数为11，第二个数为22，第三个数为33，于是第5个数为55，答案为25。 从第三个数开始，3 = 12，5 = 23，8 = 35，故空格数为前相邻两数之和813 = 21。 依次作差：；可知，差成自然数列，故空格处数应为115 = 16。 这是一个公比为3的等比数列，从第二个数起，后一数为前一数的3倍。于是答案为813 = 243。 这个数列比较特殊，既不是等差数列，也不是等比数列，可用作差法进行分析：；经观察，差成等比数列，所以，8后为16，空格为1816 = 34。解答 11； 25； 21； 16； 243； 34。例2 观察下面各列数的变化规律，然后进行填空。 11，12，14，_，26，42； 3，5，9，17，33，_，129； 3，4，10，18，38，74，_； 3，6，18，72，360，_； 2，3，7，18，_，123，322，。解 观察知，上面数列既非等差数列，又非等比数列。为了找出其变化规律，我们采用作差法分析，将差写在相应两数之下。 对数列作差有：，当？处分别填上4，8时，差成等比数列。于是空格处应填144 = 8，显然2618 = 符合规律。 对数列作差：。不难看出，数列的差构成一个等比数列，公比为2，16后应为32。从而空格处应为3332 = 65。检12965 = 64，符合规律。 对数列作差：，对差分析，无法找出规律，作差法失效。再观察数列中相邻两数的大小关系：4 = 322，10 = 422，18 = 1022，38 = 1822，不难发现依次呈2倍减2、2倍加2的规律周期性出现。742 = 148，1482 = 150。 对数列作差分析，也不易找出规律，再分析相邻两数的关系：6 = 32，18 = 63，72 = 184，360 = 725，不难发现规律，空格应为3606 = 2160。 采用作差放不易找出规律：7 = 23（32），18 = 27（73），空格可能为218（187）= 47。检验247（4718）= 123，符合规律。应填数为47。说明 当作差法失效时，应改用其它方法，否则无法求解。例3 观察下列两数组，然后填空： （1，5），（2，10），（3，15），（4，20），则第十个数组是_，第50个数组中两个数的和是_； （1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），则第十个数组的第三个数的和是_。 分析 每数组都由两数组成；前一数成自然数列排列，后一数为前一数的5倍。故第十个数组是（10，105）=（10，50）。第50个数组是（50，505），即（50，250），它们的和为300。 每个数组均由3个数组成，第一个数成自然数列，在每数组里，第二个数为第一个数的自乘，第三个数为前两个数相乘的积，于是第十组的三个数分别为10，1010，101010，它们的和为101001000 = 1110。解答 （10，50），300； 1110。例4 在下面各图中填上所缺的数： 分析 12 = 2，23 = 6，64 = 24，245 = 120，不难发现，下一数应为1206 = 720。 将图形看成一杆称，两边为重物，中间为重量读数；312 = 15，2110 = 31，87 ？= 124，从而 ？= 12487 = 37。 从前两图形可知三角形内两数之和等于三角形外两数之和；512 = 10，26 = 3，1 ？= 86， ？= 861 = 13。 前三个图形，上面一行两数为12 = 43，21 = 73，27 = 93，知第一行 ？= 53 = 15。再看每一个的第一列的情况：9 = 45，12 = 75，14 = 95，从而第一列下一数比上一数大5，5下面为55即为10。下面一行左右两数：5 = 94，8 = 124，10 = 144，从而右下角 ？=104 = 6。解 720； 37； 13； 见图2-20。例5 下面是按照一定规律制作的数表，找出规律，并填上所缺的两个数a，b。分析 观察第二、三四列数，不难发现：051 = 1，351 = 16，451 = 21，从而b = 741 = 29，a71 = 15，所以a = 2。解 a = 2，b = 29。例6 观察下面各题中数的变化规律，然后求出各未知数。分析 中可看出，下面两数之和等于上面一数，且下面左数为右数的2倍。b = 63（12）= 21，a = 212 = 42。 45 = 95，60 = 125，故左下数为上面数之5倍，从而c = 155 = 75。再看下方两数，左数为右数的3倍，从而d = c3 = 753 = 25。解 a = 42，b = 21； c = 75，d = 25。思路技巧解答从数字排列中找规律的问题，也要善于观察、联想、类比，但等差数列与等比数列是最常见的两种数列，因此在考察数字排列的规律时，常从第二个数起，用后一个数减前一个数，看差是否相等，或用后一个数除以前一个数，看商是否都相等。习题精选2.2找规律填上适当的数： 1，4，7，10，13，_； 2，6，18，54，162，_； 3，5，8，13，21，_； 2，3，5，8，12，17，23，_； 2，4，8，16，32，256，_； 1，4，3，6，5，8，_，_； 120，60，20，5，_； 7，10，9，12，11，14，_。按每组数的规律填数： 根据图形中数的规律，填上所缺的数： 有一 列数：1，3，5，7，11，13，15，17。 如果其中缺一个数，这个数是几，它应排在哪个数之后？ 求补上上面数后这些数的和。23 从物件排列中找规律知识要点从物件排列中找到规律是找规律的应用题。解题时应注意下面几点：首先要正确地找出排列中规律；找出每次重复出现的物件的个数；用总数除以每次重复出现的个数，得到重复出现的次数。对余下物体的规律进行分析，可得到问题的答案。范例解析例1 按红、橙、黄、绿、请、蓝、紫的颜色顺序依次连接彩灯，共用了1996个这样的灯泡装饰会场，问： 各种颜色的灯泡各用多少个？ 从后面数起，第100个灯泡是什么颜色？ 晚会过程中，由于进行某种游戏，关掉了其中的某一串连续275个灯泡，已知关掉的紫色灯泡有40个，问还有什么颜色的灯泡也可能被关掉了40个，橙色灯泡关掉多少个？分析 每隔7个灯泡重复出现一次，而19967 = 2851于是，根据周期性可得问题之答案解答 19967 = 2851上式说明余下的一个为红灯泡，所以红灯泡用了2851 = 286个，而其余各色灯泡各用了285个。 1007 = 142所以，倒数第100个灯泡是倒数第15组的第二个，倒数按红、紫、蓝、青、绿、黄、橙的顺序排列，故它的颜色是紫色。 因为2757 = 392而紫色灯关掉了40个，所以余下的两个灯泡中必有一个是紫色，另一个灯泡则应是与紫色灯泡紧挨着的，所以蓝色或红色灯泡也可能会关掉了40个，其它颜色灯泡肯定只被关掉39个，故橙色灯泡关掉39个。说明 也可转化为为从前数第19961001个即第1897个，而18977 = 271，故从前数第1897个灯泡必为紫色，从而倒数第100个灯泡为紫色。例2 一串珠子（有足够多），按5个黑色珠子，再排4个白色珠子，后面接着又排5个黑色珠子，再排4个白色珠子的规律排列，那么第1996个珠子是什么颜色？前1996个珠子中黑珠比白珠多多少个？解答 1996（54）= 2217最后7个珠子是5个黑珠子，2个白珠子。所以第1996个为白珠子。前1996个珠子中，黑珠子有22155个，白珠子有22142个，而（22155）（22142） = 224（个），所以，前面1996个珠子中黑珠比白珠多224个。例3 下面是一串自1开始的连续自然数排成的一个大数：12345678910111213 从头数起，第1995个数字是多少？ 前面1000个数字中，“1”出现了多少次？解答 如果直接数，不现实，必须找出规律。 按自然数数位分类数；一位数19共9个；二位数1099共90个，共有数字180个，其余19951809 = 1806个数字都是三位自然数组成，18063 = 602，故三位数共有602个，最小一个为100，60299 = 701，最后一个为701，所以第1995个数字是1。 19中数字“1”出现1次，1019中，“1”出现11次，2099中数字“1”出现8次，所以199中数字“1”出现20次。100199数字“1”出现10020 = 120次，200299中“1”出现了20次，所以200-999中数字“1”出现了820 = 160次。于是前1000个数字中，“1”出现了10201001 = 3001 =301（次）。例4 一些黑白珠子按图2-27规律排列。 图227如果这些珠子共有50个，问： 其中共有多少个黑珠子？ 倒数第5个是什么珠子？解答 去掉前面两个白珠子，还剩下48个，然后每隔4个内有一个黑珠子。484 = 12。所以共有12个黑珠子。 倒数第5个是白珠子。例5 一串排列很有规律的珠子，两头露在盒子外面（如图2-28），请回答： 盒子里面有黑、白珠子各多少粒？ 如果这串珠子后面接着穿47粒，保持原有规律，还需要黑、白珠子各多少粒？分析 弄清珠子的排列规律，是解题之关键。观察知，珠子排列规律从右到左是 黑白黑白白黑白白白黑解答 根据规律知，盒子里面珠子是如下排列的：（白）四白，一黑，六白，一黑五白（白白）。故465 = 15（粒）。白珠子有15粒，黑珠子2粒。 要继续往下串。珠子排列应是：九白，一黑，十白，一黑，十一白，一黑，十二白，一黑，而911011111211 = 47，其中有4粒黑珠子。所以继续穿47粒，还要4粒黑珠子，474 = 43粒白珠子。思路技巧日出日落，潮起潮落，春夏秋冬，客观世界存在大量重复出现的现象，我们称之为周期现象。“星期一”每隔七天出现一次，7就是周期。关于解从物件排列中找规律的问题，特别要注意物件排列的周期现象，以及周期是多少。只需了解一个周期内的排列规律，即可掌握整个排列的规律。习题精选2.31有红、白、黑三种纸牌共158张，按先5张红色，再2张白色，再3张黑色的次序排列下去，最后一张是什么颜色？2在上题的假设下，这158张牌中三色牌各有多少张？3由100个数字组成一个一百位数：285714285714285714共100个数字。问： 这100个数字中数字2出现了多少次？ 这100个数字的和是多少？4在图2-29中，被挡住的珠子最少有多少个？ 图2295一串珍珠项链，串得很有规律，一不小心，项链从中间断开掉落了一些珠子，剩下的如图2-30所示，请问掉在地上的珠子中黑、白各多少粒？ 图2306写1100这100个数，数字“2”写了多少次？第三章 巧填算式中的数字巧填数字，也叫虫食问题，即其中有些数字不知道（或称被虫吃掉了），请你根据所学知识，快速在中填上适当的数字，使得算式成立。这类问题趣味性强，类型多样，解题方法也很灵活，经常训练，有利于提高逻辑推理的思维能力，具有助培养敏捷的计算能力。下面分类说明。31 加法竖式中的数字问题知识要点在加法竖式填数问题中应注意如下几点：仔细审题找好解答问题的突破口；可以用的数字共有0，1，2，9这十个；最高位上数字不能为0，两个数字之和最多进一；当数字填法不唯一时，要一一试验，不要遗漏。范例解析例 在下面各题的空格内，填上适当的数字，使算式成立：分析 此两题没有运算符号，不要认为是题错了或印掉了，原题就是这样，因此，首先应根据题意分析出其运算符号。显然是加法。先看，两个加数均是三位数，而和为四位数，这说明和中千位上数字为1；竖式中十位数字37 = 10，但现在和上十位数字为1，这说明个位上数字相加向十位进1，而2只能与8或9相加才能满十，所以第二个加数上的个位数字只能为8或9；于是和的个位数字也易填。最后看百位上两数字之和为18，其中一个为十位进一 ，故百位上两数字之和为17（181），只能为8或9。于是可得的答案。 的分析同上，很多类似。解 有四个答案：有唯一答案：说明 解题要注意答案的完整性，尽可能找出所有答案。例 在下面的空格里填上适当的数，使等式成立： 分析 为了便于思考，设上式为：将空格换为字母。仍选个位为突破口。 由a2的个位数字为1知，a2 = 11，从而a = 9； 考虑十位上数字，1c1（进位）= 2c，不易确定。可接着考虑百位上的数字，b最大只能为9，现在和为，这说明b = 9，d = 1，e = 0；因为十位最多只能向百位进1，因而c = 8或9，于是可得到本题答案。解答 此题有两解：例 在空格里填上适当的数，使算式成立：分析 先考虑个位上三数字之和，鱿鱼999 = 27，87 = 15，分析知个位上三数字之和只能为18，从而个位上空格应为1815 = 3； 十位上数字不易确定，就先考虑百位上数字，现在知百位上：进位 = 1，知加数百位上数字为9，进位数为2，进而推出十位上两数字都为9，和上十位数字为0，于是可得唯一解。解答 此题有唯一解：例 在下列竖式中，有若干个数字被遮盖住了，求各竖式中被遮盖住的几个数字之和（一张纸片盖住一个数字）：分析 此种类型的题目与前几例不同，没有要求先填空格，而只需求空格里数字之和。此种类型题有两种方法求解。第一种方法是先填满空格，使算式成立，再求和。第二种方法是不填数字，分别分析求出各加数个位数字之和，十位数字之和，百位数字之和，再把这些和加起来即是。解 先用方法求解。先填上空格使算式成立（注意填法不唯一，但一般说，数字之和不变）。 式中所有加数的数字之和为5891 = 23。 式中所有加数的数字之和为9673 = 75。再用方法求解。 加数个位数字之和只能为9，不可能进位，十位数字之和只能为14，四个数字之和为149 = 23。 加数的个位数字之和如果先考虑，则无法确定是1，还是11或21，这时我们可先考虑最高位上的数字之和。百位上三数字之和最大可能是27（93 = 27），另2个为十位上的进位，同理，十位上数字之和为27，于是可推出个位上数字之和为21。于是六个数字之和为272721 = 75。说明 此种类型的题目，答案与加数的选择无关，否则，答案不唯一。在此条件下，方法也是可行的。例 把2、4、5、6、9这五个数字分别填入五个方格中，每个方格只能填一个数字，每个数字都要用到，使三位数与两位数的和最大，最大和是多少？分析 要使和最大，应从高位数上分析起，高位上数大，则和就较大，显然加数百位上数字应为9；其次考虑十位上数字，除了9之外是6、5，故十位上两数字分别为6、5，最后是个位上数字，只能是4、2。解 本题填数有四种填法，答案如下：最大的和唯一，是1016。思路技巧填写加法竖式中的数字问题，最关键的地方就是要决定先填哪一个空，找准了突破口，以后就是顺藤摸瓜，一个一个地填下去。如何决定突破口？看哪一竖列的已知数多。如例2，个位竖列有两个已知数，其余竖列最多只已知一个，所以从个位填起。其次注意多解的情况，在例2中填加数的十位时，有两种可能，便形成本例有两解。最后，在例2中以字母代空进行分析，也是好方法。习题精选3.1在空格里填上适当的数，使等式成立：在下列算式的空格内，各填入一个适当的数字，使等式成立，如有多种情况，也列举出来。在下列竖式中，有若干个数字被遮盖住了，求各竖式中被盖住的几个数字之和（一张纸片盖住一个数字）。把13、5、7、9这五个数字分别填入五个空格中，每个方格只能填一个数字，每个数字都要用到，使三位数与两位数的和最小，最小和是多少？把4、5、6、7、8、9这六个数字分别填到下面方格里去，使这两个三位数和最大，求最大和。32 减法竖式中的数字问题知识要点减法是加法的逆运算，与加法有相同的一面，又有不同的一面，解题应注意：审题 ，寻找突破口；借一当十；如有多种情况，不要遗漏。范例解析例1 在下面各题的空格内，填上适当的数字，使算式成立：分析 先看个位上数字：7 = 8，显然被减数个位数为5；再看十位数字，因7大于61，15 = 7，有减数十位数字为8，差百位数字为1。 四位数减三位数得两位数，说明式为：再看个位数字，6 = 9，推出被减数个位数字为5，8借一个，剩下7，17 = 9，得减数十位数字为8。解答 、 都有唯一答案：说明 此题可利用被减数 = 减数差，将减法转化为某逆运算加法运算，利用前一节有关知识与方法求解。、可分别变为和求解，应灵活掌握，有时这一 转化可带来方便。如下例。例2 利用转化方法，巧填下列空格：分析 对，已知减数和差，求被减数，可转化为减数差 = 被减数求解。对，已知被减数和差，求减数，可利用被减数差=减数求解