数学教育毕业论文-中学生怎样学二次函数.doc

学号：080301114 论文题目：中学生怎样学二次函数 姓 名： 学科专业：数学教育 指导教师： 完成时间： 2011 年3月17日 摘要代数是中学数学课程的重要内容，而函数又是代数的核心，也是学生学习代数的难点。 在中学习中，关于代数的内容逐渐从以解方程为中心转到以研究函数为中心。 所以引发我的思考中学生怎样学函数。为了学生在学习二次函数知识时，能够给予帮助和引导。因为二次函数和中学数学的其他内容有着密切的关系，由此我想谈一下我自己学函数时的一些想法和感触。希望能够引发学生思考、激发学生学习的兴趣，另一方面希望学生能够关注培养良好的学习习惯、掌握有效的学习方法。从历届高考中增加考查数学应用能力的应用题以来，应用题在中学数学教学中正在逐步受到重视，特别是二次函数应用题，关于二次函数应用问题的研究已成为当前中学数学的热点问题。历年来已升学或就业的大量学生都暴露出用数学解决实际问题能力低下的弊端。许多学生由于种种原因没有联系数学来解决从而对实际上的问题无从下手甚至无法解决。目前高中生的数学应用能力不容乐观无论是思想意识、数学教材，还是课堂教学的设计，都远没有达到大纲的要求，这也充分说明数学教学还没有真正到位，需要进一步深入探讨二次函数对生活的影响。在历届高考试题解析与应注意的问题中,一元二次函数 占有重要的地位,不管在代数中,解析几何中,利用此函数的机会特别多,同时各种数学思想如函数的思想,数形结合的思想,分类讨论的思想，等价转换的思想利用函数作为载体,运用中展现的最为充分.本论文就此对二次函数综合问题作一浅析.关键词：二次函数；函数学习方法；二次函数综合问题目录第一章 绪论1.1 二次函数简介1.2 中学生学习二次函数的重要性第二章 整合二次函数知识点2.1 基本知识点2.2 二次函数知识系统讲解2.3 二次函数综合问题及实际应用2.4 怎样灵活运用二次函数 第三章：学好二次函数方法3.1如何学习二次函数3.2.函数的学习困难分析 3.3.函数的课程设计建议结束语参考文献第一章 绪论1.1 二次函数简介二次函数作为数学中的一个重要的学科分支,在初中的数学教材中就已经有了一些介绍,但是由于初中生接受新知识的能力有限,再加上此函数的一些理论比较抽象和深奥,所以初中生接触的二次函数的内容比较简单,并且对二次函数的内容的学习一般是机械性的学习,很难举一反三地从本质上对二次函数的概念、单调性和最值等知识加以理解。但是在经过高中数学的学习之后以后,学生们对二次函数的认识有了一个飞跃,对二次函数的了解进一步的得到了加深。但是,二次函数在高考中占据很大的比重,所以我们对二次函数要有充分的认识,要充分重视对二次函数的学习。1.2 中学生学习二次函数的重要性作为高考的一个重点知识点,在考前的复习中,我们要充分重视对二次函数的复习,要充分的理解二次函数的基本概念和基本性质,对于二次函数的图像、单调性和最值等高考常考的二次函数的知识都要在理解的基础上熟练的掌握,并在掌握的基础上学会对类似题目的举一反三的运用,在学习了基本知识的基础上,对二次函数还需要进一步的深入的学习。本文将结合教材中的一些知识对二次函数的基本知识进行系统的分析和讨论。 第2章 整合二次函数知识点2.1 基本知识点一般的，自变量（通常为x）和因变量（通常为y）之间存在如下关系： 一般式y= (a0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b2/4a) ； 顶点式y=a(x-h)+k(a0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ax2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式； 交点式y=a(x-)(x-) (a0) 仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线,即b2-4ac0 ； 由一般式变为交点式的步骤： X1+x2=-b/a x1x2=c/ay=ax²+bx+c=a(x²+b/ax+c/a) =ax²-(x1+x2)x+x1x2=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向。a0时，开口方向向上；a0时, 函数图像与x轴有两个交点。 当=b2-4ac=0时,函数图像与x轴有一个交点。 当=b2-4ac0时,函数图像与x轴没有交点。 二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。注意：草图要有:1. 本身图像，旁边注明函数；2. 画出对称轴，并注明直线X=什么 （X= -b/2a）；3. 与X轴交点坐标 （x1,y1);(x2, y2)，与Y轴交点坐标 (0,c)，顶点坐标(-b/2a, (4ac-bxb)/4a).抛物线的性质 。轴对称1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧。顶点2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。h=-b/2a k=(4ac-b²)/4a 开口3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a0时，二次函数图像向上开口；当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。 决定对称轴位置的因素4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时 （即ab 0 ），对称轴在y轴右。 事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。 决定二次函数图像与y轴交点的因素5.常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k) 与y轴交于（0,C)。二次函数图像与x轴交点个数6.二次函数图像与x轴交点个数。a0或a0;k0时，二次函数图像与x轴有2个交点；k=0时，二次函数图像与x轴有1个交点。a0;k0,k0时，二次函数图像与X轴无交点；当a0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是yk；当ah范围内事增函数，在xh范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y0 且X(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a0且X（X1+X2）/2时Y随X 的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。 2.2.2.两图像对称y=ax²+bx+c与y=ax²-bx+c两图像关于y轴对称； y=ax²+bx+c与y=-ax²-bx-c两图像关于x轴对称； y=ax²+bx+c与y=-a(x-h²+k关于顶点对称； y=ax²+bx+c与y=-a(x+h²-k关于原点对称。 2.2.3.二次函数与一元二次方程（1）、特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax²+bx+c=0。此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。1二次函数y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式 顶点坐标对 称 轴y=ax² (0，0) x=0 y=ax²+K (0，K) x=0y=a(x-h)² (h，0) x=hy=a(x-h)²+k (h，k) x=hy=ax²+bx+c (-b/2a，4ac-b²/4a) x=-b/2a 当h0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到， 当h0,k0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h0,k0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²-k的图象； 当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)²+k的图象； 当h0,k0时，开口向上，当a0，当x -b/2a时，y随x的增大而减小；当x -b/2a时，y随x的增大而增大。若a0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离AB=|x?-x?| =/a（a绝对值分之根号下）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2（-b/2a）A |（A为其中一点的横坐标） 当=0图象与x轴只有一个交点； 当0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0(a0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a。 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。 （6）用待定系数法求二次函数的解析式 1.当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax²+bx+c(a0)。 2.当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a0)。 3.当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)。 （7）二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。 2.3 解析式求法一般式：根据y=ax²+bx+c将（a,b）（c,d）（m,n）同时带入y=ax2+bx+c 可得解析式 顶点式：y=a（x-h）+k , h为顶点横坐标 k为顶点的纵坐标 将顶点和一个任意坐标带入顶点式后化简 可得解析式 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) -x1 -x2为与x轴的交点横坐标 将x1 x2带入交点式 在带入任意一个坐标 可得交点式 化简后可得解析式2.4 怎样灵活运用二次函数 2.4.1 数形结合的基础教学(1)、数轴是数形结合最典型的实例,它在实数与数轴上的点之间建立起一一对立的关系,揭示了数与形的内在联系,学生第一次对数与形的统一性有了感性认识。相反数、绝对值、有理数大小比较、不等式的解集等概念在数轴上可以得到形象生动的说明。(2)、平面直角坐标系是数轴的发展,在平面内的点和有序实数之间建立起一一对应。我们可以用一对有序实数,简便准确地表示平面内一个点的位置,由两个点的位置(坐标)计算出它们之间的距离,并且可以用直线、双曲线、抛物线形象地表示一次函数、反比例函数和二次函数,使得数和形更紧密地联系在一起。学完一次函数后,尽管学生能够说出正比例函数、反比例函数、一次函数的图象分别是经过原点的直线、双曲线、直线,但不少学生对数与形的统一性并没有真正认识,特别是对直线(或曲线)上任意一点的坐标都满足函数关系式,而满足函数关系式的有序实数对为坐标的点一定在直线(曲线)上等问题的认识还模糊,在解决求两条直线的交点坐标,用图象法解一元一次方程和一元一次不等式等问题上感到很困难。因此,在二次函数的教学中应进一步突出数形结合的思想方法。2.4.2 二次函数中数形结合的应用(1)、数形结合的相互转化二次函数是初中代数中函数部分的重点内容,也是教学的难点,这个部分主要包含两类基本问题:(1)根据函数表达式研究函数的性质,如开口方向,顶点坐标,对称轴方程,函数的单调性,最大(小)值,抛物线与坐标轴交点的个数及位置等,这是由“数”向“形”转化的过程;(2)根据函数图象的一些特征(或性质),确定二次函数的表达式,是由“形”向“数”转化的过程;“数形结合”正是突破这一教学难点的最佳方法。 (2).分析:用代数的方法求一元二次方程的解是机械的方法操作,而利用直观的图形表达,将代数的问题几何化,让学生在动手画图和观察图形关系中经历“观察、实验、发现、猜想、归纳、验证”的过程,学生学习知识的能力和水平得到提高,数形结合的思想得到渗透。2.4.3 关于二次函数中数形结合教学的思考(1).突出教学重点和兼顾发展二次函数图象的教学重点是会画函数的图象。要准确、迅速地画出图象，必须研究图象抛物线的简单性质，这是最基本的要求.例如求抛物线 的对称轴和顶点坐标，在观察图象的基础上，描绘出二次函数的显而易见的特征:对称轴、顶点和开口方向、反过来基本特征又使画图的选点方向更明确.教学中抓住这一主要矛盾加以解决，脱开图象找二次函数的顶点、对称轴、指出开口方向等次要矛盾即可迎刃而解.突出重点，是教材的一个显著特点.而这个重点应是义务教育的基本要求，是所有学生应当掌握的.在教学中应先让学生掌握一次函数及其图像，循循善诱，逐渐引导学生进入二次函数的学习。(2)、加强数学思想方法的教学，发展学生的思维能力义务教育初中数学教学大纲明确指出基础知识包括两部分，一部分是显性的，如概念、法则、公式、性质、公理、定理等;另一部分是隐性的，是指由显性知识反映出来的数学思想和方法.因此，初中义务教材注意渗礴数学思想和方法，把教拿内容作为培养学生厂息维的材料，力求提高学生的数学素养;从而达到发展学生能力的目的.(3)、强化归化思想的导向功能归化思想是处理数学问题时的一种基本思路.具有很强的思维导向功能.我们要教会学生掌握这一思维方法，这对学生今后的发展将起到不可估量的作用.在二次函数学习教材中，化归思想的体现是很充分的.如何顺利地研究函数y= ( )及图象，教材逐步地引导读者将其转化为已经解决的问题，是下了一番功夫的。首先，是利用字母代数。的方法，将函数 转化为函数 来研究，从它们的图象到性质加以比较，得出其形状相同，位置不同的结论，进而得到 的有关性质.其次，再把函数 +k转化为函数 十b和函数 来研究.进而展开 +k得到函数y= 的形式，予示着函数y= 应该通过配方转化为 +k的形式来处理，从而使画函数y= 的图象间题最终得以解决.我们应充分利用教材中反映出来的数学思想和方法，不失时机的加以引导，就能不断优化学生的思维品质，把数形结合的思维的水平提高到一个新的层次.2.4.4 结语“数形结合”是学习的一个重要数学思想方法，在教学中要注意培养学生的这种思想意识，要争取购中有图，见图想数，以开拓的思维视野，另外，使用数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解决间捷。 第三章 学好二次函数方法3.1.如何学习二次函数1、要理解函数的意义。 2、要记住函数的几个表达形式，注意区分。 3、一般式,顶点式,交点式，等，区分对称轴，顶点，图像等的差异性。 4、联系实际对函数图像的理解。 5、计算时，看图像时切记取值范围。 3.2.函数的学习困难分析在我国面向21世纪的基础教育课程改革中，数学课程的设计凸显了“函数”这一主线，并采用了螺旋的编排方式，但函数仍然是中学生感到最难学的内容，造成函数学习困难有以下三方面的因素。3.2.1.函数本身的复杂性函数在中学数学中最具复杂性，这是造成学生学习困难的主要因素。函数包含两个本质属性（定义域与对应法则）和较多的非本质属性（如值域、自变量、因变量、集合等）；初中函数“变量说”定义中的文字“y是x的函数，记作y=f(x)”属于蕴涵式的表述且符号抽象；函数涉及“变量”，而“变量”的本质是辩证法在数学中的运用；函数还具有多种表示法，如解析法、列表法、图象法、箭头法；函数与其他内容有错综复杂的联系；等等。函数的这些复杂性决定了函数学习困难的必然性，其学习困难主要表现在以下几个方面。 （1).函数变量理解的困难变量是数学中一切抽象事物的建筑材料，但是让学生理解变量的内涵并不容易。笔者曾对学习过函数的300个初三学生作过一个调查：请指出圆的周长与半径的函数关系式l=2r中的变量。调查结果是：有83个学生认为l、r都是变量（追问为什么，答：凡是字母都可以变）；有97个学生认为只有r 是变量，（追问为什么，答：l是r的函数，是圆周率，所以只有r 是变量）；有59个学生认为只有是变量（追问为什么，答：l是自变量、r是因变量，只剩下一个字母可以变了）；有57个学生认为l、r是变量；有4个学生没有回答。大部分学生不能正确地理解变量，一方面有教学的原因：在教学实践中，教师常常对学生理解变量的困难估计不足，另一方面纵观中学数学内容，在函数学习之前，基本上是常量数学时期的内容，学生对变量的理解困难也是很正常的。 (2).函数符号抽象的困难接受函数符号的抽象表示也是一个难点。在某中学，教师讲完函数的定义后，给出了通常的表示法y=f(x)，下课后竟有多个学生问教师：f和x是不是乘的关系？学生虽然学习了函数的定义，有的甚至能背诵，但没有理解函数的真实意义。有教师认为教学时不要直接说“通常我们把y是x的函数表示为：y=f(x)”，而可以说“f代表自变量和因变量之间的对应关系，对于定义域内任意的x（这时在黑板上写下x），通过对应关系f（在黑板上写出f（），刚才的x被括号括在内），对应出唯一的一个y（在黑板上刚才的式子前写下y=）”，这样就写出了表达式y=f(x)。这一改进可以避免学生产生错觉。笔者曾经作过调查，超过90%的中学生弄不清究竟函数是指f，是f(x)，还是y=f(x)。许多学生高中毕业了也没有真正弄明白y=f(x)到底是什么原因是符号f具有“隐蔽性”，其具体内容不能从符号上得到体现中学生的思维水平还缺乏足够的为f建立起具体内容的经验。 (3).函数图象运用的困难数与形是数学的两方面，有了直角坐标系以后数与形统一了，因此用图象方法研究函数的各种性质似乎很自然。但对学生来说并非如此。虽然大多数学生能够作简单的图象，但是他们常常把函数图象看成为函数之外的东西，没有把它当成函数的一个有机组成部分。如，学生很不习惯把函数变换f(x)k,f(kx),|f(x)|,f(|x|),f2(x), 等与图形变换（如轴对称、中心对称）联系起来。要使中学生把函数的图象作为函数的一个有机组成部分并不容易，实际上，在函数学习之前，学生对数与形的学习基本上是分开进行的，学习中只需要对数或形进行单一的思维即可。函数要求思维在符号语言与图形语言之间进行灵活转换，而中学生形象化意识（数形结合思想）的形成需要较长的过程。3.2.2.中学生思维发展水平函数的学习困难与中学生思维发展水平有关，1中学生数学思维发展水平的制约是其内在因素。要求学生根据函数可能出现的一种情形，在思维中构建一个过程来反映“对定义域中每一个特定值都得到一个函数值”这一动态变化过程，同时，还要把函数的三个成分：对应法则、定义域和值域凝聚成一个对象来把握，像这种整体地、动态地、具体地认识对象，同时还要把动态过程转化为静态对象，能够进行静止与运动、离散与连续的相互转化，只有达到辩证思维水平，才能做到。而心理学研究表明：2初中生的思维发展水平是从具体形象思维逐步过渡到形式逻辑思维水平，高中生在继续完善形式逻辑思维发展的前提下，辩证思维发展开始逐渐占主流。但辩证思维是人类思维发展的最高形式，中学生的辩证思维基本上处于形成与发展的早期阶段。这样一方面是中学生的辩证思维发展很不成熟，思维水平基本上停留在形式逻辑思维的范畴，只能局部地、静止地、割裂地认识事物；另一方面函数的特征是发展的、变化的、与众多数学知识相互联系的，属于辩证概念。这个矛盾构成了函数学习中一切认知障碍的根源。3.2.3.初、高中函数衔接问题我国历来初中与高中对函数分别采用“变量说”与“对应说”的课程设计是造成函数学习困难的外在因素。这样设计有合理的一面，但是另一方面容易造成学生认知衔接上的困难。首先，要向学生说明为什么要重新刻画函数，以及解决“变量说”与“对应说”的相容性。当然单纯解决这个问题并不难，但由于“变量说”具有的先天缺陷3会随着初中函数的教学植入学生的思维，造成先入为主的误导，同时与函数概念本身的复杂性搅合在一起，必然会增加衔接的困难。在调查中我们发现：“变量说”中把y表述为x的函数，常常使学生形成一个带普遍性的错误：y就是函数，因而在高中阶段很难接受对应关系f是函数的表述。学生的思维在“变量说”向“对应说”的转化过程中，摒弃“y依x变（x是自变量，y是因变量）”的说法，舍去“变化”这一非本质的东西，突出“对应”的思想，需要产生较大的飞跃。这必然增加高一函数学习的不适应性。其次，“变量说”是建立在变量的基础上的。所谓“量”是指有量可度的对象，如长度、距离、时间等等，即研究的范围限制在实数集。这样既影响将函数向更高一级抽象的迁移，也妨碍学生将函数思想运用于各种不同的研究对象。再次，虽然“变量说”在某些场合有实用的价值，但实际上在初中学生的生活中，“变量说”不一定比“对应说”来得自然、实用。因为即使学生凭借生活经验容易理解生活中许多与“对应”有关的问题，对“变量”的理解也不那么容易。进入高中，函数教学的重心是追求形式化，较少关注实际问题。这也许是大部分中学生在学习了函数后不能将其运用于解决实际问题的缘由。3.3.函数的课程设计建议目前，认知心理学关于数学学习的理论探讨还处于初级阶段，能够用来较好地解释函数学习的理论还没有较成熟的实践支持。因此对函数学习困难的研究一方面需要在教学实践中深入探索其学习过程的心理机制，构建其教与学的策略，另一方面笔者认为改革函数的课程设计不仅可以排除函数学习困难的外在因素，也可以提高数学教学质量，培养学生“用数学”的意识和探索、创新的能力。3.3.1.将函数思想贯穿于课程体系之中所谓函数思想是指运用事物之间的一种特殊对应关系来解决问题的思想方法。它贯穿于数学理论和实际问题的许多场合，是有效地表达、处理、交流和传递信息、探讨事物发展规律、预测事物发展方向的工具。函数关系广泛存在于学生的数学课程之中。如：自然数、有理数、实数等与数轴上的点各自的对应关系；代数式的运算、各种运算法则以及恒等变形、方程、不等式等都可以归结于函数关系；几何中的对称、相似、平移、旋转变换等都是从一个图形集到另一个图形集的对应关系；各种几何图形的大小与周长、面积、体积的关系都可以归结于函数关系。诸如数学应用题的“行程问题”“流程问题”“比例问题”“价值问题”“追击问题”等等都可以用函数思想解决。总之，将函数思想作为高中课程体系的灵魂可以达到高层次的和谐与统一。这样也更有利于教师高屋建瓴地提挈整个教材进行再创造，有助于帮助学生形成良好的认知结构，培养学生的数学能力和解决问题的能力，提高数学教学质量。3.3.2注意函数课程设计的一致性与侧重性我国中学数学新课程对函数课程设计仍然分为两个阶段，第一个阶段在义务教育的第三学段（初中），在相应的课程标准4中，仅提出了几条学习函数的具体目标，似乎是给教材编写留下了更大的空间，然而几乎所有初中教材都采用了“变量说”。第二阶段安排在高中一年级，在相应的课程标准中，明确提出“对应说”的要求“用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用”，并在教学说明与建议中指出：“教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。函数概念的引入一般有两种方法，一种方法是先学习映射，再学习函数；另一种方法是通过具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，即函数。”并建议“采用后一种方式”。在课程标准的引领下，已有高中新课程实验教材采用了后一种方式。笔者认为课程标准对函数的教学建议中，提倡不必先讲映射，直接由对应通过具体实例引入，这种淡化形式的处理提供了整体改革函数课程设计的契机。在数学课程改革的国际比较与交流中，我们发现初中与高中分别采用“变量说”与“对应说”的课程设计已不多见，发达国家一般采用淡化形式的处理方式，通过具体实例较早渗透对应思想。5比如，法国的数学课程，小学四、五年级就要求学生认识与使用在小数集上的数值对应的函数关系以及它们的逆对应；六年级要求用函数对应关系的图表来描述情景；七九年级用图表、解析式等多种方式表示函数以及处理问题，但不给出函数的严格定义。进入高中阶段，实行分科教学，涉及自然科学的数学课程中才注重函数形式化的教学，并作为函数教学的深入与延伸，微积分列入高中阶段的数学课程。日本的数学课程也是从小学四年级就接触函数对应关系的初步概念，函数课程的整体设计与法国类似。美国的数学课程，五八年级课程标准的中心议题是研究模式与函数，重点是函数的探索，要求学生认识、描绘以及概括模式，并建立数学模型来论断，解释真实世界中的现象。在九年级以上的各类代数课本中，都首先定义“关系”，再将函数定义为一种特殊的关系5。从发达国家关于函数的课程设计启示我们在进行函数课程整体设计时，应淡化形式，采取“早”与“实”的策略，并注意函数本质的一致性与学习阶段的侧重性。