（理论物理专业论文）量子盘中量子比特的性质.pdf

摘要 本文在圆盘型量子点中电子一声子强耦合模型的基础上，采用求解能量本征方 程、幺正变换和元激发理论相结合的方法，研究了盘型量子点中能态变化的规律及温 度对量子盘中极化子性质的影响，以极化子的基态和第一激发态构造了一个量子比 特，研究了量子盘中l o 声子的退相干效应。 首先，在考虑电子与体纵光学声子强耦合的条件下，通过求解能量本征方程，得 到量子盘中电子的基态能量和第一激发态能量及其相应的本征波函数：采用幺正变换 和元激发理论的方法研究了量子盘中的声子效应，讨论了温度对量子盘中极化子性质 南 1 的影响。数值计算表明：当温度介于o - q r c ( 砭= 半) 之间时，声子不能被激发， k b 温度对量子盘的各能态不会产生影响；当温度升高至耳以上时，温度对量子盘中极化 子的各能态会产生影响，且温度愈高，被激发的声子数愈多，能量就愈大；结果还表 明，能量随着电子一声子耦合强度的增大而减小，因为电子一声子相互作用愈强，电 子一声子相互作用能的绝对值就愈大，极化子基态能量就愈小。 其次，以极化子的基态和第一激发态为基础构造一个量子比特，研究量子盘中l o 声子的退相干效应。数值计算结果表明：量子盘中电子或极化子的能量随盘半径的增 大而减小，半径愈大，减小速度愈缓慢；且随着量子盘半径的增大，导致两能级差减 小，致使振荡周期增大。考虑声子效应的振荡周期疋+ 曲随量子盘半径的变化规律与不 考虑声子效应时相同。但计及声子效应后，相对疋而言，量子比特的振荡周期+ 衲减 小；结果还表明，给定空间点的量子盘的概率密度随时间作周期性振荡，概率密度的 幅值与声子无关，振荡周期由于声子效应而减小。 关键词：量子盘；极化子；量子信息；量子比特；声子效应 p r o p e r t yo fq u b i ti nq u a n t u md i s k a b s t r a c t t h ee n e r g yl e v e l so fe l e c t r o no rp o l a r o na n dt h ee f f e c to ft e m p e r a t u r eo np o l a r o ni n q u a n t u md i s kw e r es t u d i e db ys o l v i n ge n e r g ye i g e n e q u a t i o n ，u n i t a r yt r a n s f o r m a t i o ma n d e l e m e n t a r ye x c i t a t i o nt h e o r ym e t h o d aq u b i tw a sf o r m e db yo v e r l y i n gb o t ht h eg r o u n d s t a t ea n dt h ef i r s te x c i t e ds t a t eo fp o l a r o n t h ed e c o h e r e n c ee f f e c to fl op h o n o n so nq u b i t i nq u a n t u md i s hw a sd i s c u s s e d f i r s to fa l l ，i nt h ec a s eo fe l e c t r o n - l o - p h o n o ns t r o n gc o u p l i n g ，t h ee n e r g yo ft h e g r o u n ds t a t e ，t h ef i r s te x c i t e ds t a t ea n dt h es e c o n de x c i t e ds t a t eo fe l e c t r o ni nq u a n t u md i s k w e r eo b t a i n e db ys o l v i n gp r e c i s e l yt h ee n e r g ye i g e n - e q u a t i o n , a n dt h ep h o n o ne f f e c ta n d t h et e m p e r a t u r ee f f e c tw e r es t u d i e db yu s i n gu n i t a r yt r a n s f o r m a t i o na n de l e m e n t a r y e x c i t a t i o nf l a e o r ym e t h o d n u m e r i c a lr e s u l t ss h o w e dt h a tf e wp h o n o n sw e r ee x c i t e dw h e n 0 l 时，极化子 的基态能量几乎没有变化，这说明温度介于0 与露之间时，温度对基态能量、第一激 发态能量的无影响，即声子不能被激发，这时声子效应可以忽略不计。当0 y l ， 即温度大于耳时，极化子的基态能量、第_ 激发态能量随着温度参数的增大( 即温度 的减小) 而减小，这是因为随着温度的升高，更多的声子会被激发，由( 2 1 6 ) 式、( 2 1 7 ) 式可知，能量飞增加，导致能量增大。 u , l 图2 - 1 极化子基态能量、第一激发态能量和温度参数的关系 f i g 2 - lt h ec o r r e l a t i o nb c p 嗍lc n c l g yo f g r o u n ds t a t ea n df i r s te x c i t e ds t a t eo f p o l a r o na n dt h et e m p e r a t u r ep a r a m e t e r 图2 - 2 描绘的是在量子盈半径r = 0 8 ，温度参数分别为0 4 、0 5 和0 6 时，极化 子的基态能量随电子一声子耦合强度的变化关系。从图中可以看出极化子的基态能量 随着耦合强度的增大而减小，这是因为耦合强度增大时，电子一声子相互作用增强， 电子一声子相互作用能的绝对值增大，导致极化子基态能量减小。 8量子盘中量子比特的性质 a 图2 - 2 极化子基态能量和耦合强度的变化关系 f i g 2 - 2t h ec o r e l a t i o nb g t w e c nt h eg r o u n ds t a t ee n e r g yo f p o l a r o na n dt h ee l e c t r o n l o - p h o n o nc o u p l i n g 蜘g t i 图2 3 描绘了量子盘中极化子能量随量子盘半径的变化关系。从图中可以看出， 电子的基态、第一激发态、第二激发态能量岛、互、岛均随着半径的增大而减小， 且半径愈大，减小速度愈慢，能态愈高减小愈快，说明量子盘具有明显的量子尺寸效 应。 山 p 图2 - 3 极化子能量随量子盘半径的变化关系 f i 9 2 3t h ec o r r e l a t i o nb c t w g c nt h ee l l e l g yo fp o l a r o na n dt h eq u a n t u md i s kr a d i u s 内蒙古民族大学硕士学位论文 9 2 3 小结 本文在量子盘中电子一声子强耦合模型的基础上，通过求解能量本征方程、幺正 变换和元激发理论相结合的方法，研究了量子盘中极化子的性质，并讨论了温度、声 子效应对量子盘中极化子能量的影响。数值计算表明：当温度介于0 与露之间时，声 子不能被激发，温度对能量没有影响，当温度升高至大于砟时，温度对量子盘中极化 子的能量有影响，且温度愈高，被激发的声子数愈多，能量也就愈大。结果还表明基 态能量随着电子一声子耦合强度的增大而减小，因为电子一声子相互作用愈强，电子 一声子相互作用能的绝对值就愈大，极化子基态能量就愈小。 1 0量子盘中量子比特的性质 第三章量子盘中l 0 声子的退相干效应 在考虑电子与体纵光学声子强耦合的条件下，通过求解能量本征方程，得出了量 子盘中电子的能量及其相应的本征波函数；采用幺正变换和元激发理论方法研究声子 效应。以极化子的基态和第一激发态为基础构造一个量子比特，重点研究l o 声子的 退相干效应。 3 1 理论模型 = 一旦2 1 t v 2 + y ( ，) + 荨壳吼。k 6 q + 荨( 扩6 q + k ) ( 3 1 ) 其中6 q + ( 6 q ) 为波矢为q 的体纵光学声子的产生( 湮灭) 算符，r ( p ，妒，z ) 为电子 的坐标，且 附，= 仁萎完 2 ， v - i c t ( - o l o ，c 去声等声 慨3 ， 吲瓦e 2 ，净，；b i l 4 ， 电子归一化的能量本征函数取如下形式 甲( p ，矽，z ) = f ，( p ，伊) l 孝( z ) ) ( 3 5 ) 其中y ( p ，缈) 和l 孝( z ) ) 分别是电子在盘面内和z 方向的波函数，由于电子在z 方向强受 限，可将其看成只在无限薄的狭层内运动，所以( 孝( z ) 陪( z ) ) = 万( z ) 。求解电子在盘面 内的能量本征方程 内蒙古民族大学硕士学位论文 得 妒嚆v ，2 讹们卜印 y ：酬去扩，幻鲫胚伊立万) 10其它区域 ( 3 6 ) ( 3 7 ) 其中1 兰p 州为妒方位的归一化波函数，其量子数册= o ，1 ，垃。r ( p ) 为径向波函 2 万 ”7 数，满足方程 p 2 掣弓警+ c 簪卢肌2 m = 。 慨8 ， 其解为整薮阶b e s s e l 蜘枷七= 俘，即 屯协“( 等) 相应的能量本征值为 = 去簪“j l ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 其中z 加是m 阶贝塞尔函数厶( 般) = 0 的第，个根，= l ，2 3 ，。a 。为归一化常数。 最后求得与瓦相应的量子盘的能量本征波函数为 归一化常数f 历满足 对哈密顿量作幺正变换 其中是变分参量，得 ”心厶( 等卜i f g ) ) n l m = u = e x p z ( f 。b q + - f , 6 q ) 】 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 1 2 量子盘中量子比特的性质 = 一差v 2 + y ( ，) + 荨壳( 瞄+ ) ( 6 q + ) + 车 e ”( 6 q + ) + k 电子一声子系的基态波函数为 吨山( 警) ) i 。) 其中i o ) 为无微扰零声子态，满足6 ql o ) = 0 ，则体系的基态能量为 巨。= ( 。1 日l 电。) 体系的第一激发态波函数为 巩厶( 等户献= ) ) f o ) 体系的第一激发态能量为 岛：= ( o ：i h o ：) 体系的第二激发态波函数为 击：。= 2 0 厶( 警) ) l o ) 体系的第二激发态能量为 局o = ( m ：。1 日j ：。) 以基态和第一激发态为基础，构造个量子比特 ) = 百1 ( 1 0 ) + 1 1 ) ) 吖二 其中 i 。) 吲小m ( 警) ) 1 1 ) = 仍如) = 以( 警户 孝o ) ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 内蒙古民族大学硕士学位论文 1 3 其随时间演化的规律为 归击e 冲( 一譬h 小即( 一竿) 慨2 4 ， 则量子比特内电子的空间概率密度分布为 = 丢 | ( 力1 2 + i 仍( 力f 2 + ( p ) 仍( 力e x p ( ，) + ( 尸) 仍( 夕) e x p ( 一f 铴。，) ( 3 2 5 ) 其中 振荡周期为 。一最：一巨。 t2 彳 丁：丝： 垒 铴i 巨2 一互o ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 3 2 结果与讨论 为清楚的说明声子场对量子盘中量子比特性质的影响，我们选取极化子单位 壳= 2 = 国，门= i 进行数值计算。结果示于图3 一l 至图3 4 中。 图3 - i 描绘了量子盘中电子或极化子( 耦合强度口= 6 ) 能量随量子盘半径的变 化关系。从图中可以看出，电子的基态、第一激发态、第二激发态能量e 。、e ，、e ，。 和极化子的基态、第一激发态、第二激发态能量毛。+ 砷、五。+ 砷、e 2 。+ 础均随着半径 的增大而减小，且半径愈大，减小速度愈慢，能态愈高减小愈快，说明量子盘具有明 显的量子尺寸效应。从图中还可以看出，随着半径的增大，电子和极化子同一能态的 能量差增大，说明电子一声子之间的相互作用增强，声子效应增大。 图3 - 2 描绘了量子比特的振荡周期随量子盘半径的变化关系。从图中可以看出， 不考虑声子效应的振荡周期z 随半径的增大而增大，结合图1 可知，这是由于随着半 径的增大，电子基态和第一激发态的能量均减小，但第一激发态能量减小的速度比基 态减小的速度快，导致两能级差减小，致使振荡周期增大。考虑声子效应的振荡周期 + 曲随量子盘半径的变化规律与和不考虑声子效应时相同，原因一致。但计及声子效 应后，相对而言，量子比特的振荡周期c + 曲减小，结合图l 可知，这是由于电子一 i 4 量子盘中量子比特的性质 声子之间的相互作用导致极化子的能量比电子的能量低，且基态与第一激发态的能量 差增大，致使周期减小，说明声子效应导致相干性减弱；且随着半径的增大，t 与t + 。 的差增大，说明半径愈大，声子效应愈明显，相干性愈差。 目3 1 自子或极化子能量半径的变化是系 f i g3 。1t h ec h 姐gj n g o r r e l a l i o nh e t w e e n m ee n e m yo r e j e c l m no fp o i s o n n d m ca u a l u md 】s k m d l u i m 围3 - 2 量子特白勺荡周期h 盘半径a 勺* 规4 f i g3 。2t h cc h ”g 。 l r “】1 n gp e n o do f q u b 】t w i t hq u o r u md i s k m d i u s 内蒙古民族大学硕士学位论文1 5 固3 - 3 描绘了不同量子盘中量子比特内的概率密度随空间和时问的变化规律。 图中( a ) 、( b ) 曲线表示半径为r = l8 的量子盘，其内部空间点口= 2 n 、p = 0 9 的 概率密度随时间演化的规律，( a ) 表示不考虑声子效应、( b ) 表示考虑声子效应。从 ( a ) 、( b ) 两条曲线看出，给定空间点的概率密度随时问作周期性振荡，概率密度的 幅值与声子无关，振荡周期由于声于效应而减小。图中( c ) 、( d ) 曲线表示半径为置= 2 的量子盘，其内部空间点口= 2 口、p = 1 0 的概率密度随时间演化的规律，( c ) 表示不 考虑声子效应、( d ) 表示考虑声子效应。比较( a ) 、( b ) 和( c ) 、( d ) 可知，( c ) 、( d ) 随时间变化的规律与( a ) 、( b ) 相同但不同的是振荡周期较大，原因与图2 一致； 概率密度幅值较小，原因是电子在空间各点的概率之和为l ，所以盘愈大，各点的概 率密度愈小。则虽然( a ) 、( b ) 和( c ) 、( d ) 对应的都是p = 2 f 、p = r ，2 的空间点， 但它们随时间演化的规律不尽相同。 目3 - 3 不目量f 盘十量子比持内确定空阃点的撮宰密度瞳时闻演化的规律 “83 1 3 “。“然麓= 黜墨“一“。加“ 图3 - 4 描绘了半径为r = 2 的量子盘中量子比特内电子的概率密度随时间和空 间的变化规律图中( a ) 、( b ) 、( c ) 、( d ) 是考虑声子效应时，在 t 0tt 4 、t ；t 2 、，= 3 t 1 4 ( t 是无声子效应时量子比特的振荡周期) 时刻概 率密度随径向坐标的变化规律由图可以看出，相同径向坐标的点在同一时刻概率密 1 6量子盘中量子比特的性质 度相同，且除盘中心外，其余各点均随时间做周期性振荡，振荡周期相同；不同径向 坐标的点在同一时刻概率密度不同，在盘边缘概率密度为零；在盘中心概率密度幅值 居中，在盘半径的一半处概率密度幅值最大，原因是当p = 0 时j 0 ( 0 ) - i ，j 2 ( o ) = o ， 所以盘中心概率密度不变，当p 0 时，- ，：( p ) o ，仍) 0 ，则概率密度随时间变化， 当p = r 时，以( 尺) = o ，j ，( r ) = 0 ，则概率密度为零。但是不论空间各点的概率密度 如何随时间和空间变化，各个空间点的概率密度之和在一个振荡周期内的平均值为l 。 不考虑声子效应时，变化规律相同，只是振荡周期相对较大而已。 o p 图3 4 量子比特内电子的概率密度随时问和空间的变化规律 f i g 3 - 4t h ec 蛔啦脚o f t h ep r o h 渤d e n s i t y o f e l e c t r o ni nq u b i t w i t ht i m ea n ds p a c e 3 3 小结 本章在圆盘型量子点中电子一声子强耦合模型的基础上，通过求解能量本征方 程、幺正变换和元激发理论相结合的方法，研究了盘型量子点中能态变化的规律和 量子比特的性质。数值计算表明：量子盘中电子或极化子的能量随着半径的增大而 减小，且半径愈大，减小速度愈缓慢；声子效应使极化子能量减小和量子比特的振 荡周期缩短，导致量子比特的相干性降低，且盘半径愈大声子效应愈显著。 内蒙古民族大学硕士学位论文 17 第四章总论 本文采用求解能量本征方程、l l p 幺正变换和元激发理论的方法，研究了量子盘 中极化子的温度效应和声子效应，并以极化子的基态和第一激发态构造一个量子比 特，研究了量子盘中量子比特的性质，并得出了些有意义的结论。 南 、 ( 1 ) 当温度介于。与易( 露= 掣) 之间时，声子不能被激发，温度对能量不 。 会产生影响，而温度升高至耳以上时，温度对量子盘中极化子的能量才会产生影响， 且温度愈高，被激发的声子数愈多，能量也就愈大。结果还表明，能量随着电子一声 子耦合强度的增大而减小，因为电子一声子相互作用愈强，电子一声子相互作用能的 绝对值就愈大，极化子基态能量就愈小。 ( 2 ) 量子盘中电子或极化子的能量随着半径的增大而减小，且半径愈大，减小速 度愈缓慢，说明量子盘具有明显的量子尺寸效应；且随着半径的增大，电子和极化子 同一能态的能量差增大，说明电子一声子之间的相互作用增强，声子效应增大。 ( 3 ) 随着量子盘半径的增大，电子或极化子的基态与激发态之间的能量差减小， 致使量子比特的振荡周期随盘半径的增大而增大。但计及声子效应后的振荡周期c + 抽 较不计及声子效应的振荡周期z 小，这是由于电子一声子之间的相互作用导致极化子 的能量比电子的能量低；且基态与第一激发态的能量差增大，致使周期减小，说明声 子效应导致相干性减弱；且随着半径的增大，c 与正+ 曲的差增大，说明半径愈大，声 子效应愈明显，相干性愈差。 ( 4 ) 量子盘中量子比特内给定空间点的概率密度随时间作周期性振荡，概率密度 的幅值与声子无关，振荡周期由于声子效应而减小。但是不论空间各点的概率密度如 何随时间和空间变化，各个空间点的概率密度之和在一个振荡周期内的平均值为1 。 1 8 量子盘中量子比特的性质 参考文献 l i t l a n d a u e i r r e v e r s i b i l i t ya n dh e a tg e n e r a t i o ni nt h ec o m p u t i n gp r o c e s s j ibmjr e sd e v e l o p , 1 9 6 1 ，5 ( 3 ) ：1 8 3 - 1 9 1 2a s t e a n e q u a n t u mc o m p u t i n g 【刀r e pp r o gp h y s ，1 9 9 8 ，6 1 ：l1 7 1 7 3 3 c h b e n n e t t , d p d i v i n c e n z o q u a n t u mi n f o r m a t i o na n dc o m p u t a t i o n j n a t u r e ( l o n d o n ) 2 0 0 0 ， 4 0 4 ( 6 7 7 5 ) ：2 4 7 2 5 5 4m a n i e l s e n i n t r o d u c t i o nt oq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y j a r x i vq u a n t u mp h y s i c s e p r i m t s n o v 2 0 0 0 a r x i v ：q u a n t - p h 0 0 11 0 6 4 5 s l l o y d q u a n t u mi n f o r m a t i o nm a t t e r s 佣s c i e n c e ，2 0 0 8 ，3l9 ( 5 8 6 7 ) ：12 0 9 121 1 6 a 。e k e r t p h a y d e n b a s i cc o n c e p t si nq u a n t u mc o m p u t a t i o n j a r x i vq u a n t u mp h y s i c s e p r i n t s n o v 2 0 0 0 a r x i v ：q u a n t - p h 0 0 11 0 1 3 7d b o u w m e e s t e r , a e k e r t ，a 。z e i l i n g e r t h ep h y s i c so f q u a n t u mi n f o r m a t i o n m s p d n g e r - v e rl a g ， 2 0 0 0 8 p b u s c h ，m g m b o w s k i ，p j l a h t i o p e r a t i o n a lq u a n t u mp h y s i c s m b e i j i n g ，w o r l dp u b l i s h i n g c o r p o r a t i o n ，f i r s te d i t i o n , 19 9 9 9 c h b e n n e t t l o g i c a lr e v e r s i b i l i t yo fc o m p u t a t i o n 【j 】i b mjr e s d e v e l o p ，19 7 3 ，17 ( 6 ) ：5 2 5 - 5 3 2 10 p b e n i o f f q u a n t u mm e c h a n i c a lh a m i l t o n i a nm o d e l so ft u r i n gm a c h i n e st h a td i s s i p a t en oe n e r g y j p h y s r e v l e t t , 19 8 2 ，2 3 ( 4 8 ) ：15 81 15 8 5 n r f e y n m a n s i m u l a t i n gp h y s i c sw i t hc o m p u t e r s j i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo ft h e o r e t i c a lp h y s i c s ， 19 8 2 ，21 ：4 6 7 - 4 8 8 12p w s h o r a l g o r i t h m sf o rq u a n t u mc o m p u t a t i o n ：d i s c r e t el o ga n df a c t o r i n g j i np r o c e e d i n g so f t h e3 5 t ha n n u a ls y m p o s i u mo ff o u n d a t i o no fc o m p u t e rs c i e n c e ，i e e ec o m p u t e rs o c i e t y p r e s s 1 9 9 4 ，12 4 - 13 4 1 3 郭光灿量子信息引论田量子力学新进展( 第一缉) ，2 0 0 0 ，1 ( 1 ) ：2 4 9 2 8 5 1 4 鄣光灿量子信息技术明冲国科学院院刊，2 0 0 2 ，5 ( 1 ) ：3 2 5 3