浙江省瓯海区三溪中学高中数学《3.1.2复数的几何意义》课件 新人教A版必修2.ppt

第三章导数及其应用 高中数学选修1 1 2 引入 1 已知 求下列各式的值 1 反思 虽然有实数满足已知等式 但不必求出x 2 引申 若 求的值 答 于是问题出来了 在已知中是没有实数满足这个等式的 也就是说在实数范围内是无解的 既然没有实数满足这个等式 那未知的式子是求不出来的 但偏偏可以求出并且还是个实数 1 且是平方和 负数 不可思议 这说明什么 这说明在世界中除了实数还有种神奇的数 它像个幽灵在世界中游荡徘徊 这是个什么东西 它就像鬼 看不见摸不着 你只能想象 它就是鬼 于是我们给这个幽灵或鬼一个名称 这个鬼是这样子的 i是什么东西 它就是鬼 3 问题1讨论关于x的方程 x 1 2x 1 x2 2 x2 1 0的解的个数 分别在整数范围内 有理数范围内 实数范围内有几解 在宗教比如佛教中 人往往把鬼 神形象化 具体化 实物化 那就是给让人敬畏的鬼 神塑一座雕像 在寺庙 在画家的名画中 许多画家以画宗教中的鬼 神为荣 我们发现的新数是鬼或是神 你看不见摸不着 你只能想象 于是为了形象化 具体化 实物化我们像宗教人士为鬼 神塑造一座雕像样让i表示这个幽灵一样的数 i像宗教人士为鬼 神立像 参考文献 杂志 中学数学教学参考 2011第九期上旬里面的一篇论文 数系的扩充 一课的教学设计 作者 丁箐 南京师范大学附属中学 注 x i或 i说明有两个鬼或神 4 讲解数系的历史自然数的产生是原始社会计数的需要 结绳记事的故事 负数的产生是为了表达现实中我欠你多少钱 我亏了多少钱之类的事情 有理数的产生是现实中遇到几分之几的事情比如2个苹果3个人分 本来毕达哥拉斯学派认为万物皆数这里指有理数 但有人发现了无理数且献出了自己的生命 当时万物皆数这个信仰像当今的共产党 反党就是犯罪 要抓起来坐牢严重要枪毙 实数是看得见摸得着的 5 复数的发展史虚数这种假设 是需要勇气的 人们在当时是无法接受的 认为她是想象的 不存在的 但这丝毫不影响数学家对虚数单位的假设研究 第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学 怪杰 卡丹 他是1545年开始讨论这种数的 当时复数被他称作 诡辩量 几乎过了100年 笛卡尔才给这种 虚幻之数 取了一个名字 虚数 6 但是又过了140年 欧拉还是说这种数只是存在于 幻想之中 并用 imaginary 即虚幻的缩写 来表示它的单位 后来德国数学家高斯给出了复数的定义 但他们仍感到这种数有点虚无缥缈 尽管他们也感到它的作用 1830年 高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数 使复数有了立足之地 人们才最终承认了复数 到今天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一 7 同学们看下面几个复数 1 2i 3 2i 5 6i 我们知道复数像鬼 神看不见 摸不着 你只能想象 于是一些宗教的人士为了吸引大众入教也为了宗教能够普及 给一些鬼 神塑立雕像 这雕像能让看不见摸不着的鬼神形象 具体 直观 实物 能让人看得见摸得着 我们上节课讲过这些记号1 2i 3 2i 5 6i像给复数这个鬼 神立雕像样 能让复数形象 具体 直观 实物 但同学们注意用1 2i 3 2i 5 6i表示这些鬼神人们还是觉得太抽象太难想象太虚无缥缈太云里雾里太朦朦胧胧 复数刚诞生时文艺复兴时期意大利有名的数学 怪杰 卡丹 他是1545年开始讨论这种数的 当时复数被他称作 诡辩量 几乎过了100年 笛卡尔才给这种 虚幻之数 取了一个名字 虚数 就算过了140年欧拉还是说这种数只是存在于 幻想之中 并用 imaginary 即虚幻的缩写 来表示它的单位 于是数学家想有没有可能给这种幻想之中的数形象化 具体化 直观化 实物化 像宗教人士给看不见摸不着的鬼神形象化 具体化 直观化 实物化 给复数进一步的形象化 具体化 直观化 实物化 这是高斯的功劳 8 3 1 2复数的几何意义 9 复数的概念 形如a bi a b r 的数叫做复数 复数的代数形式 全体复数所形成的集合叫做复数集 一般用字母c表示 知新 复数就是人鬼情未了 实数a是人 看得见摸得着 复数bi是鬼 看不见摸不着 它的一般形式a bi是人鬼情未了 同学们可以看看美国著名电影 人鬼情未了 10 1 复数z a bi 复数的分类 2 复数集 虚数集 实数集 纯虚数集之间的关系 同学们 这些名字是数学家取的 是取的形象生动深刻 我们一看到名字就知道是什么意思 实数看得见摸得着 全是人 非纯虚数是半人半鬼或半人半仙 纯虚数是全是鬼 纯 就是纯净没有杂质的意思 实 就是看得见摸得着的意思 虚 就是看不见摸不着的意思 11 3 规定 如果两个复数的实部和虚部分别相等 那么我们就说这两个复数相等 注 2 两个虚数只能说相等或不相等 而不能比较大小 12 实数的几何意义 新课导入 在几何上 我们用什么来表示实数 实数可以用数轴上的点来表示 数轴上的点 13 z a bi a b r 实部 虚部 一个复数由什么确定 你能否找到用来表示复数的几何模型呢 14 复数的几何意义 一 任何一个复数z a bi 都可以由一个有序实数对 a b 唯一确定 由于有序实数对 a b 与平面直角坐标系中的点一一对应 因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应 15 复数z a bi 有序实数对 a b 唯一确定 直角坐标系中的点z a b 一一对应 一一对应 可用下图表示他们彼此的关系 因此 复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应 16 a z a b z a bi b o x y 那么现在复数z a bi可以在平面直角坐标系中表示出来 如图所示 复数z a bi用点z a b 表示 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 复数平面 简称复平面 x轴 实轴 y轴 虚轴 原点即在x轴又在y轴 所以原点即在实轴又在虚轴 实轴上全是人 虚轴上除原点外全是鬼 一 二 三 四象限半人半鬼 17 复数z a bi 复平面内的点z a b 一一对应 结论 复数的几何意义之一是 注意 实轴上的点都表示实数 虚轴上的点除原点外 都表示纯虚数 因为原点表示实数0 18 练一练 复平面内的原点 0 0 表示 实轴上的点 2 0 表示 虚轴上的点 0 1 表示 点 2 3 表示 实数0 实数2 纯虚数 i 复数 2 3i 19 复数的几何意义 二 在平面直角坐标系中 每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示 而有序实数对与复数是一一对应的 这样 我们还可以用平面向量来表示复数 20 可用下图表示他们彼此的关系 复数z a bi 平面向量 直角坐标系中的点z a b z a b a o b y x z a bi 21 现在我们就用平面向量来表示复数 如图所示 x y o a b z a bi 设复平面内的点z表示复数z a bi 连接oz 显然向量由点z唯一确定 反过来 点z 相对于原点来说 也可以由向量唯一确定 22 由此可知 复数集c和复平面内的向量所成的集合也是一一对应的 结论 复数的几何意义之二是 复数z a bi 一一对应 平面向量 为了方便起见 我们常把复数z a bi说成点z或说成向量且规定相等的向量表示同一个复数 23 例1 已知复数z m2 m 6 m2 m 2 i在复平面内所对应的点位于第二象限 求实数m的取值范围 变式 已知复数z m2 m 6 m2 m 2 i在复平面内所对应的点在直线x 2y 4 0上 求实数m的值 解 复数z m2 m 6 m2 m 2 i在复平面内所对应的点是 m2 m 6 m2 m 2 m2 m 6 2 m2 m 2 4 0 m 1或m 2 同学们这相当于高考容易题 高考容易题通过训练都会做 90分容易题都会做 考个专科没问题 24 选择 1 下列命题中的假命题是 a 在复平面内 对应于实数的点都在实轴上 b 在复平面内 对应于纯虚数的点都在虚轴上 c 在复平面内 实轴上的点所对应的复数都是实数 d 在复平面内 虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数 d 25 2 a 0 是 复数a bi a b r 所对应的点在虚轴上 的 a 必要不充分