广东省佛山市中大附中三水实验中学高一数学《3.4基本不等式》课件 新人教A版必修5.ppt

基本不等式 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标 会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去象一个风车 代表中国人民热情好客 思考 这会标中含有怎样的几何图形 思考 你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系 a b 1 正方形abcd的面积s 四个直角三角形的面积和s s与s 有什么样的不等关系 探究 s s 即 问 那么它们有相等的情况吗 a b 猜想 一般地 对于任意实数a b 我们有 当且仅当a b时 等号成立 a b c d e fgh a b a b a b 思考 你能给出不等式的证明吗 证明 作差法 重要不等式 一般地 对于任意实数a b 总有当且仅当a b时 等号成立 文字叙述为 两数的平方和不小于它们积的2倍 适用范围 a b r 问题一 问题一 替换后得到 即 即 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗 问题二 证明 要证 只要证 要证 只要证 要证 只要证 显然 是成立的 当且仅当a b时 中的等号成立 分析法 问题二 证明不等式 特别地 若a 0 b 0 则 通常我们把上式写作 当且仅当a b时取等号 这个不等式就叫做基本不等式 基本不等式 在数学中 我们把叫做正数a b的算术平均数 叫做正数a b的几何平均数 文字叙述为 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 适用范围 a 0 b 0 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 问题三 rt acd rt dcb a b c d e a b o 如图 ab是圆的直径 o为圆心 点c是ab上一点 ac a bc b 过点c作垂直于ab的弦de 连接ad bd od 如何用a b表示cd cd 如何用a b表示od od 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 问题三 如何用a b表示cd cd 如何用a b表示od od od与cd的大小关系怎样 od cd 如图 ab是圆的直径 o为圆心 点c是ab上一点 ac a bc b 过点c作垂直于ab的弦de 连接ad bd od 几何意义 半径不小于弦长的一半 a d b e o c a b a b a b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a b r a 0 b 0 填表比较 注意从不同角度认识基本不等式 分析 x 1 2x 不是常数 2 1为 当且仅当时 取 号 例2 若0 x 求函数y x 1 2x 的最大值 若x y皆为正数 则当x y的值是常数s时 当且仅当x y时 xy有最大值 若x y皆为正数 则当xy的值是常数p时 当且仅当x y时 x y有最小值 已知函数 求函数的最小值和此时x的取值 运用均值不等式的过程中 忽略了 正数 这个条件 美女 找茬 已知函数 求函数的最小值 用均值不等式求最值 必须满足 定值 这个条件 用均值不等式求最值 必须注意 相等 的条件 如果取等的条件不成立 则不能取到该最值 小结 求最值时注意把握 一正 二定 三相等 2 利用基本不等式求最值 1 两个重要的不等式 1 已知x 0 y 0 xy 24 求4x 6y的最小值 并说明此时x y的值 4已知x 0 y 0 且x 2y 1 求的最小值 2已知a b 4 求y