高中数学 1.1第2课时 两个基本原理的应用课件 新人教A版选修23.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 选修2 3 计数原理 第一章 1 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第一章 第2课时两个基本原理的应用 1 能根据具体问题特征 选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题 从而发展学生的思维能力 培养学生分析问题和解决问题的能力 2 能正确区分分类加法计数原理和分步乘法计数原理 重点 两个基本原理的应用 难点 正确区分分类和分步 新知导学1 用两个计数原理解决计数问题时 最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析 需要分类还是需要分步 应用 原理时 要注意 类 与 类 之间的独立性和并列性 各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成 应用 原理时 要注意 步 与 步 之间是连续的 做一件事需分成若干个互相联系的步骤 所有步骤依次相继完成 这件事才算完成 加法 乘法 2 分类要做到 分类后再分别对每一类进行计数 最后用 求和 得到总数 3 分步要做到 步与步之间要 根据分步乘法计数原理 把完成每一步的方法数相乘得到总数 不重不漏 分类加法计数原理 步骤完整 相互独立 牛刀小试1 在2 3 5 7 11这五个数字中 任取两个数字组成分数 其中假分数的个数为 a 20b 10c 5d 24 答案 b 解析 假分数的分子不小于分母 故以2为分母的有4个 以3为分母的有3个 以5为分母的有2个 以7为分母的只有1个 由加法原理知共有4 3 2 1 10个 2 图书馆的书架有三层 第一层有3本不同的数学书 第二层有5本不同的语文书 第三层有8本不同的英语书 从中任取一本书 共有不同的取法 a 120种b 16种c 64种d 39种 答案 b 解析 由分类加法计数原理知 共有不同取法3 5 8 16种 3 已知两条异面直线a b上分别有5个点和8个点 则这13个点可以确定不同的平面个数为 a 40b 16c 13d 10 答案 c 解析 分两类 第1类 直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面 第2类 直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面 故可以确定8 5 13个不同的平面 由1 2 3 4可以组成多少个自然数 数字可以重复 最多只能是四位数 分析 解答本题应抓住几个关键点 一是组成的自然数没有限定位数 故可按位数 分类 二是数字可以重复使用 三是一个多位数只有各位上的数字都完成之后 这件事情才算完成 即按组成数的过程 分步 数字问题 解析 组成的自然数可以分为以下四类 第一类 一位自然数 共有4个 第二类 二位自然数 又可分两步来完成 先取出十位上的数字 再取出个位上的数字 共有4 4 16 个 第三类 三位自然数 又可分三步来完成 每一步都可以从4个不同的数字中任取一个 共有4 4 4 64 个 第四类 四位自然数 又可分四步来完成 每一步都可以从4个不同的数字中任取一个 共有4 4 4 4 256 个 由分类加法计数原理知 可以组成的不同的自然数为4 16 64 256 340 个 方法规律总结 1 在同一题目中涉及到这两个定理时 必须搞清是先 分类 还是先 分步 分类 和 分步 的标准是什么 2 数字问题要注意是否允许数字重复 各位上的数字是否受到某些条件限制 用0 1 2 3 9十个数字可组成不同的 1 三位数 个 2 无重复数字的三位数 个 3 小于500且无重复数字的三位奇数 个 答案 1 900 2 648 3 144 解析 1 由于0不能在百位 所以百位上的数字有9种选法 十位与个位上的数字均有10种选法 所以不同的三位数共有9 10 10 900 个 2 百位上的数字有9种选法 十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法 个位上的数字应从剩余8个数字中选取 所以共有9 9 8 648个无重复数字的三位数 3 小于500的无重复数字的三位奇数 应满足的条件是 首位只能从1 2 3 4中选 个位必须为奇数 按首位分两类 第一类 首位为1或3时 个位有4种选法 十位有8种选法 共有 4 8 2 64种 第二类 首位为2或4时 个位有5种选法 十位有8种选法 共有 5 8 2 80种 由分类加法计数原理知 共有64 80 144种 用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色 每个区域涂一种颜色 若要求相邻 有公共边 的区域不同色 那么共有多少种不同的涂色方法 分析 由于要求相邻 有公共边 的区域不同色 所以可按 1号区域与4号区域同色 和 1号区域与4号区域不同色 两种情况分类 然后根据两个原理分别求解 平面区域问题 解析 第一类 1号区域与4号区域同色 此时可分三步来完成 第一步 先涂1号区域和4号区域 有5种涂法 第二步 再涂2号区域 只要不与1号区域和4号区域同色即可 因此有4种涂法 第三步 涂3号区域 只要不与1号区域和4号区域同色即可 因此也有4种涂法 由分步乘法计数原理知 有5 4 4 80种涂法 第二类 1号区域与4号区域不同色 此时可分四步来完成 第一步 先涂1号区域 有5种涂法 第二步 再涂4号区域 只要不与1号区域同色即可 因此有4种涂法 第三步 涂2号区域 只要不与1号区域和4号区域同色即可 因此有3种涂法 第四步 涂3号区域 只要不与1号区域和4号区域同色即可 因此也有3种涂法 由分步乘法计数原理知 有5 4 3 3 180种涂法 依据分类加法计数原理知 不同的涂色方法种数为80 180 260 解法探究 1 按颜色分类还可再细一些 第一类1 4同色 2 3同色 第二类 1 4同色 2 3不同色或2 3同色 1 4不同色 第三类 四个区域颜色都不同 2 可按涂色区域分步 第一步 涂区域1 有5种方法 第二步 涂区域2 有4种方法 第三步 涂区域3 区域3与区域2相同时只有1种涂法 不同时有3种涂法 第四步 涂区域4 区域3与区域2相同时 区域4有4种涂法 否则区域4有3种涂法 共有涂法5 4 1 4 5 4 3 3 260种涂法 3 后面学过排列组合后请再用按所用颜色数分类的方法解答 方法规律总结 涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解 有几种常用方法 1 按区域的不同 以区域为主分步计数 用分步乘法计数原理分析 2 以颜色为主分类讨论 适用于 区域 点 线段 等问题 用分类加法计数原理分析 3 将空间问题平面化 转化成平面区域的涂色问题 2015 福建南安市高二期中 如图所示的五个区域中 现有四种颜色可供选择 要求每一个区域只涂一种颜色 相邻区域所涂颜色不同 则不同涂色方法种数为 a 24种b 48种c 72种d 96种 答案 c 解析 解法1 分两种情况 1 a c不同色 先涂a有4种 c有3种 e有2种 b d有1种 由分步乘法计数原理知有4 3 2 24种 2 a c同色 先涂a有4种 e有3种 e有2种 b d各有2种 由分步乘法计数原理知有4 3 2 2 48种 由分类加法计数原理知 共有72种 故选c 解法2 先涂a 有4种涂法 再涂b d 若b与d同色 则b有3种 e有2种 c有2种 共有4 3 2 2 48种 若b与d不同色 则b有3种 d有2种 e有1种 c有1种 共有4 3 2 1 1 24种 由分类加法计数原理知 共有不同涂法48 24 72种 计数原理与其他知识交汇 答案 12 某外语组有9人 每人至少会英语和日语中的一门 其中7人会英语 3人会日语 从中选出会英语和日语的各一人 有多少种不同的选法 分析 外语组有9人 每人至少会英语和日语中的一门 表明有的人会英语 有的人会日语 有的人两者都会即 多面手 再由7人会英语 3人会日语可求 多面手 人数 两个计数原理的综合应用 解法探究 由于英语 日语各去1人 故分步计数即可 问题是有的人既会英语又会日语 选英语或日语时这样的人都可以选到 故可用间接法求解 由于 多面手 只有3 7 9 1人 故只有一种可能重复情形 不同方法数为3 7 1 20种 方法规律总结 解两个计数原理的综合应用题时 最容易出现不知道应用哪个原理来解题的情况 其思维障碍在于不能正确区分该问题是 分类 还是 分步 突破方法在于认真审题 明确 完成一件事 的含义 将问题中的条件细化 化繁为简 警示 审题时要细致 把题意弄清楚 本题中没有规定升起旗子的颜色不同 故既要考虑升起旗子的面数 又要考虑颜色相同与不同的情形 不可偏废遗漏 某文艺小组有20人 每人至少会唱歌或跳舞中的一种 其中14人会唱歌 10人会跳舞 从中选出会唱歌与会跳舞的各1人 有 种不同选法 答案 130 解析 由条件知只会唱歌的有10人 只会跳舞的有6人 既会唱歌又会跳舞的有4人 这样就可以分成四类完成 第一类 从只会唱歌和只会跳舞的人中各选1人 用分步乘法计数原理得10 6 60 种 第二类 从只会唱歌和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人 用分步乘法计数原理得10 4 40 种 第三类 从只会跳舞和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人 用分步乘法计数原理得6 4 24 种 第四类 从既会唱歌又会跳舞的人中选2人 有6种方法 根据分类加法计数原理 选出会唱歌与会跳舞的各1人的选法共有60 40 24 6 130 种 分类计数时不要出现遗漏有红 黄 蓝旗各3面 每次升1面 2面 3面在某一旗杆上纵向排列 表示不同的信号 顺序不同也表示不同的信号 共可以组成多少种不同的信号 错解 每次升一面旗可组成3种不同的信号 每次升2面旗可组成3 2 6种不同信号 每次升3面旗可组成3 2 1 6种不同的信号 根据分