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东北大学项士学位论文摘要 增算子的不动点定理及其应用 摘要 关于增算子的不动点定理，在数学的许多领域，特别是在非线性微分方程和 非线性积分方程中有着广泛的应用设e 是b a n a c h 空间，p 是e 中的锥，记 d = 【，】是层中的序区间，a ：d - - * e 是增算子，满足 a u e ，彳 v o ，关于 增算子的不动点的三个代表性的结论是： 定理l 若4 连续，4 ( d ) 在e 中相对紧，则一在d 中必有不动点 定理2 若4 连续，p 是正则锥，则在d 中必有不动点 定理3 若p 是强极小锥，则a 在d 中必有不动点 在上述三个定理中，定理2 和定理3 对锥的要求较强，定理1 对算子加了较 强的连续性条件和紧性条件针对此情况，本文将对锥、连续性和紧性条件方面 作了相应的减弱和改进，得到了新的增算子的不动点定理 本文共分四章其中第二章和第三章是论文的主体部分，也是本文得到的两 个主要结果 第一章，作为绪论部分，系统地介绍了一些比较重要的增算子的不动点定理 第二章，利用上下解单调迭代方法获得了b a n a c h 空问二阶常微分方程周期 边值问题 f 矿( f ) = 厂( 删( r ) ，( f ) ) ， 卜( o ) = 甜( 国) ，“( o ) = “( ) 解的存在唯一性结论在定理证明中，要求锥是正规的，由方程所构造出的增算 子是连续的，但不涉及任何紧性条件，并给出了逼近迭代序列与精确解之间的误 差估计最后，把结论应用到一个具体的无穷维常微分方程组中 胁) = 珈吲，) 3 + 缸1 ( ，) 丁- 3 啡) ) v o t l 【而( o ) = 毛( 1 ) ，( o ) = ( 1 ) ，( n = l 2 , 3 ，) 根据定理可以证明，上面的方程组必具有满足 0 o s 毛( f ) s 乞，( v o o ，使v o o 使得 v 地，u 2 【v o ，w e 】，h ，屹 v o + a v o ，嵋+ a w o ， 当屿 u 2 ，hsv 2 时有 f 。( t , u 2 ，v i ) - f ( t ，m ，啊) 2 一c 。( u 2 一嵋) 一c 2 ( v 2 一h ) ， 其中f ，( t , u 2 ，v 2 ) = 厂以甜，v - a u ) 则周期边值问题( 1 1 ) 至少有一个解【v o ，】 但文献【6 】并未得到解的唯一性结论 文献【7 】用单调迭代的方法获得了b 龃a c h 空间中一阶微分方程周期边值问题 2 东北大学硕士学位论文 第一幸绪论 煦2 翼( 汕螂婊 ( 1 2 ) 【“( o ) = 材( 国) 、7 解的存在唯一性结论其中的主要定理为 定理5 设e 是b a n a c h 空间，p 是e 中的正规锥，若下面的假设 ( 马) 存在v o ，w oe c l ( 【o ，国】，e ) ，( f ) w o ( ，) ，v o 0 l m 一一m 其中n 为正规常数，使得 v 均，如【v o ，】= h c ( 【o ，国】，e ) i v os 甜w o ， 且嵋 - - f ( t ，( f ) ) ，o f ，( o ) ( ) ( 凰) 吒为周期边值问题( 1 2 ) 的下解，即 嵋( f ) s 厂( f ，v o ( f ) ) ，o s r 国，v o ( o ) ( 埘) 成立，则b a n a c h 空问中一阶微分方程周期边值问题( 1 2 ) 在 【v o ，m b 】= p c ( 【o ，m 】，e l v 0 口 o 使得 v ：+ 峨吒5 埘+ qs + 朋以s 嵋+ 厂( f m v ) 在【o j m 】e x e e 上连续且满足 - g ( u ：一) 一o ：一v 1 ) ，- i t ：，v 2 ) 一，( ，v 。) s 一工( 1 乞一) 一x ( t v 1 ) ， v v os q 0 , n o 工o ，x 2o ，及膨2 4 n ( ，) v o 为( 1 1 ) 的下解，即 v ；( t ) s f ( t , v o ( t ) ，1 1 5 ( r ) ) ，v o t w ，( o ) v 0 ( 珊) ，1 】5 ( o ) s 1 5 ( ) 为( 1 1 ) 的上解，叩 嵋( ，) ，“( r ) ，嵋( f ) ) ，v o s f s 弛嘞( o ) s 嘞( 国) ，喇( o ) s 嵋( ) 帆) 设i ( 一工) + m o ( k m 】东成立，其中“为正规常数， 材。，m , n , l ，k 为假设) 中的系数 成立，则b 黜h 空间中问题( 1 1 ) 在【v o ，】- 0 k c 2 国l 三如。s 甜sw o 中存在 唯一解材( f ) ，并且分别以v o ( | ) 和o ) 为初始元代入以下序列 4 东北大学硕士学位论文第一幸绪论 ( r ) = e 一却 ( e 和一- ) 1r e 却( r ) 出+ e 即( s ) 凼 ， 吒( f ) = e 一却( e 如口一1 ) - 1 - 却 j r ( f ，。( r ) ，昧。( r ) ) + 戤一( r ) + “( f ) 出 + ：e 和 厂( 以( s ) ，铂( s ) ) + 峨( s ) + 挑( s ) 叔 其中0 = l ，2 ，) ，当以v o ( f ) 为初始元进行迭代时v 0 ( f ) = ( ，) ；当以( f ) 为初始元 进行迭代时( f ) = ( ，) 相应得到两数列分别记为 ( f ) ， ( r ) ，则 ( f ) 和 ( f ) 均在【o ，国】上依范数一致收敛于却( f ) ，且有误差估计 眦) 一( ，) | i 腻( 一工) 一( 置一m ) r 批一i 成立 作为应用，我们把结论应用到一个具体的无穷维常微分方程组中 扣) 弓( ，_ 啪) h 州( f ) 丁一，啡) ) ，v o s t l , 【( o ) = 矗( 1 ) ，( o ) = ( 1 ) ，( n = l ，2 , 3 ，) 根据定理可以证明，上面的方程组必具有满足 o s 毛( f ) 云，( v o t s l ，n = 1 ，2 ，3 ) 的唯一解，并且知迭代解与精确解“的误差估计式为 卜一忙岛 ( 一上) + 眠似一肘) 一而8 = 降( 詈一警) 鲁， 即 - x ( s ) m 2 k 乳3 2 ) 疗= m 在本文得到的第二个结果里面，不对锥作要求，对增算子使用的连续性条件 和紧性条件也比人们通常使用的连续性条件和紧性条件弱，并且给出了增算子迭 代序列的求法 其中文献【9 】【1 3 】把抽象空间中普遍使用的正规性条件、连续性条件和强紧 性条件不断的减弱，结果也不断地完善具有代表性的不动点定理是 - 5 东北大学硕士学住论文 第一章绪论 定理7 设占是半序b a n a c h 空间，其半序由锥p 导出，v o e 冒，s ， d = 【，】，：d 一昱是一个算子。设存在另一个半序b a n a c h 空间与( 其半序由 骂中的锥眉导出) 及算子b ：d 寸巨，算子c ： b u o ，砜卜 e ，使得彳= c 毋并且满 足下列条件 ( q ) 口和c 都是增算子 ( 马) 是4 的下解，y o g a 的上解 ( 马) 口是次连续算子，c 是连续算子 ( 且) 丑是乓中的正规锥，b c d ) 是e , 中的相对弱列紧集，则彳在d 中必有 最小不动点“和最大不动点矿，并且若分别以o 和v o 为初始元素，作迭代序列 = 彳l ，；彳o i ，其中n = 0 ，1 ，2 ， 则一玎，斗1 ， 在文献【1 4 】中，在紧性方面使用了拟紧条件，并给出了比可分性更弱的拟可 分性的条件其中的主要定理如下 定理8 设x 是一个半序集。 d = 【v o ，】= z 卅v os 工s 是x 中的一个序区间，a ：d x 是一个映射设 帆) 存在半序拓扑空间】，及增算子占：d 专l ，和增算子 c ：【砌。，砜卜 墨 使得a 可以表为a = c b ( 马) 1 1 0 a u o ，彳v o v o ( 马) 曰( d ) 是l ，中的拟可分的拟紧集 则彳在d 中至少有一个不动点 文献f 1 5 】是文献【1 4 】工作的继续，在主要定理中完全去掉t 1 4 1 中的可分性 条件具体的定理如下 定理9 设x 是半序拓扑空间，膨是x 中的闭集，a ：m _ 吵是集值增算 子。又设 。 帆) m 的每一个全序子集都是相对紧的 6 东北大学硕士学位论文第一章绪论 足) ( 马) 任给工e 膨，血都是x 中的紧集( 若彳是单值算子，这一条件自动满 ( 马) 存在而e m 及u g 4 x o ，使而” 则a 在m 中必有不动点，即存在x m ，使x a x 文献【l6 】是文献【1 4 】、【1 5 t 作的继续，文中证明了空间上的新的非连续增算 子的不动点定理，并给出了对b a n a e h 空间中含间断项的非线性积分方程和非线 性微分方程的应用设，v o6 c i ，e 】，u o v o 并记 d = p c i ，e l u o “sv o 设f ：d _ 0 【j ，e 】是增算子，其中p 1 令 口= 盯陋司s 甜s 凡 足：d l _ c 【，e 】是增算子，r a = k f ，则彳：d c 【，】是增算子 其主要定理如下 定理l o 设以下假设成立 矗) f ：d - - l p i ，e 】是几乎逐点拟弱紧的增算子，置：马哼c 【，e 】是逐点 拟弱紧的增算子 ( 马) ，( d ) 是【，e 】中的有界集 ( 马) 4 0s a u o ，a v o v o 则在d 中必有不动点 文献 1 8 1 里，建立新的增算予不动点中不要求锥的正规性，用一种很弱的连 续性条件( 次连续条件) 代替了人们普遍使用的连续性条件，在紧性方面也使用 了比较弱的逐点伪弱紧条件代替了人们广泛使用的强紧性条件在文中，设 ，c 【，e 】，d os ， 并记 - 7 - 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 d = p c 【l e l s 甜v o 设f ：d - - , l a z , 明是增算子，其中，2 】令 b = p e 【j ，e i f u e o ，使得当 i 而l = 8 而i = l ，而只而p 时，恒k + 屯1 2 艿有，则称锥p 是正规的 记c ”( 【o 珊】，e ) 为定义于【o ，m 】，取值于e 的玎阶连续可微的抽象函数全体 若有函数伊e c 4 ( 【o ，口】，e ) ，则定义范数i 纠= m 。a 。x m 。a 。x 伊( ( f ) i | 设k 为五中的锥， 则k 引出e 中半序：工j ，的充要条件是y z k ，若k 为正规锥，则存在o o ， 对任意的石，) ，e ，有8 x8 s o8 ) ，8 成立( 详细讨论参见【2 2 】) ，并由k 可引入 c 4 ，l e ) 中的半序：若对任意的r 【o ，国】，有“( r ) v ( f ) ，则记甜n 1 2 2 引理 引理1 i s l 设户是锥，p = 切e 。i 以) o j 垤p 是p 的共轭锥，$ 1 x s p 的 充要条件是对一切9 p ，9 ( x ) 芝o 引理2 设m ， o 且肘2 4 对任意的_ i l c ( 【o ，缈】，e ) ，抽象线性周期边值 问题 弦( f ) + 胁( f ) + 肌( f ) = ( f ) ，o s t 彬“胴黼 丑：丝掣 o ( 矧，2 ) = i 一7v v 一，二j 易验证二阶线性周期边值问题 东北大学硕士学位论文第二章b a n a c h 空间二阶常微分方程周期边值问题解的存在唯一性 ( r ) + 胁( f ) + 肌( f ) = 厅( ，) ，o a t 0 可得磁( f ) + 五地( r ) = o 两端同乘p 却可得( u 2 ( t ) ) = o 从0 到积分得 e 和“：( ) = 吻( o ) = 地( 国) 即有甜：( o ) = o 再从。到t 积分得 e 。“：( f ) = 屹( o ) = o 由五 o 可得屹( f ) ；e ，故解的唯一性成立 由上述( i ) ，( i i ) 所决定的抽象二阶线性周期边值问题的解c 2 ( 【o ，o , 1 ，e ) 可 由算子p 决定记，：| i l 哼“，易见p 为c l e ) 入c 2 ，国l e ) 的线性算子 由( i i ) 式得 俐= 卜陋一圹c 州曲西+ j = 州曲司 s 一 ( 扩一1 ) - lr p i v ( 叫凼+ j = 矿l v ( s h 司 - 1 4 一 东北大学硕士学位论文第二章b a n a c h 空间二阶常微分方程周期边值问题解的存在唯一性 靴) 6 降喇= 两1 故有s 冈1o v ( ，) h 融( i ) 式得o v ( ，) n s 南。槲从而 s 去= 妒1 i 即有。朋8 专o o ，故有p 为线性连续算子 1 3 主要结果 为方便讨论先假设如下条件： ) 设e 是b a n a c h 空间，p 是e 中的正规锥， | v o ，1 be c 2 ( 【o ，国】，e ) ，v o ( ，) s m o ( ，) ，v o s f 以 帆) 存在m o 0 ，使得 1 + m o v o s 埘+ 如嵋u n + “l s s 啊+ m o w o 几 v ) 在【o j 国】e e _ e 上连续且满足 一m 0 ：一- - n 0 2 一v 1 ) s 厂以：，v 2 ) 一，g 砘，v 1 ) s 一工( 屹一) 一k ( v ：一m ) ， v 码s 屹sw o ，其中v l = 埘，v 2 = 呓， 且m o , n o ，工o , k o 及m 2 4 n ( 也) v o 为( 1 1 ) 的下解，即 嵋o ) s ，( ，v o ( f ) ，( f ) ) ，v o s t 0 易推得q ( 国) o 再对上面不等式两端同乘并同时从0 到t 积分得 p 印q ( 0 q ( o ) 2 o 即q ( f ) o 故由引理1 知( p ) ( f ) ( ，a ) ( f ) ，从而p 为增算子 下证 ，p w o w o 任取妒p ，令 q ( f ) = 矿 ( n _ ) ( f ) 一( f ) ， 由于( x t ) ：o ( 2 4 ) 的解及假设条件( 马) ，故有 ( ) ( t ) + u ( e v o ) ( f ) + ( ) ( f ) = ，( f ( f ) ，0 ( f ) ) + m v o ( ，) + 拽 v 0 7 ( f ) + 知o ，( ，) + k ( f ) 整理得 ( p v o ) ( t ) - v o ( t ) + 肘 ( ) ( f ) 一v o ( ，) + n e ( p v o ) ( t ) - v o ( t ) o 两端同时用口作用并根据假设条件及引理1 得 fq ( f ) + a 厕矿o ) + j 崛o ) o 旧( o ) q ( ) ，( o ) q r ( 国) 因此上式又可转化为 j o ) + 五q ( f ) + g ( ，) + 五g ( f ) o ， 【( o ) + 五q ( o ) q ，( 口) + 五q p ) 东北大学硕士学位论文第二章b a n a c h 空间二阶常微分方程周期边值问题解的存在唯一性 f 扣 ( ) + 屯q ( ) ( o ) + 如q ( o ) q ，( ) + 五q ( 珊) 因 0 易推得 ( ) + 五q ( 国) o ， e 却 ( ，) + 五q ( f ) ( o ) + 五q ( o ) q 7 ( 国) + 五q ( ) q ，( ，) + 五q ( ，) 2 0 e 扣q ( ) q ( o ) q ( ) 因也 0 易推得q ( 口) o p 扣q o ) q ( o ) q ( 埘) o ， 即q ( r ) o ，故由引理1 知? v 0 2 v o ；同理可证明川s 从而根据= n k 。，n = l ，2 ，及所证明的结论并反复用作用此序列易得 = s m s s s m w o ( 2 7 ) 由( 2 5 ) ，( 2 6 ) 及所讨论的迭代过程知 胁) = 矿却 ( 一- ) 。p ( f ) 西+ 驴( s ) 凼 ， 卜e 哪龄嚣戮麓糕觜。) 础 o s 嵋一= 矿婶 ( e 即- 1 ) - 1r 毛( ，) 国+ j ：e 却b ( s ) 凼 1 9 东北大擘硕士学位论文$ - - 章b a n a c h 空间二阶常微分方程周期边值问题解的存在唯一性 屯( ，) = e 一印i ( e 枷一1 ) 。1r e 印q ( ，) 出+ e 和q ( s ) 凼i ， g ：( ，) = ，( ，- 。( r ) ，w o 。( f ) ) 一，( ，一。o ) ，t “o ) ) + m 嵋。( ，) 一吐。( f ) + 。( f ) 一一。( r ) ( 2 8 ) 由假设慨) 及( 2 s ) 式知 q ( f ) 似一吖融( ，) 一嘭。( f ) 】+ ( 一工h q o ) 一甜。( f ) 】 o , n _ q 即”：矿，故缸 ) 都在c ( i o l e ) 中一致收敛于“，且k 满足 2 0 一 东北大学硕士学位论文第二章b a n a c h 空间二阶常微分方程周期边值问题解的存在唯一性 嵋( r ) = 厂( a n 一( ，) ，甜( f ) ) + m t o ( f ) 一( f ) + m 。( f ) 一( f ) ， 【( o ) = ( 珊) ，( o ) = 蟛( ) 依常规证法( 详见【4 】) 证明可得似( ，) 在上依e 范数一致收敛于甜，( ，) ，故( ，) 为 抽象空间二阶周期边值问题( 2 1 ) 的解，且有 u - u 1 慝 ( 卅+ ( k 卅扯刊 成立定理证毕 1 4 应用 考察二阶无穷维常微分方程组 肛) = 船吲，) 丁+ 拉删3 刮) ，v o 姚( 2 9 ) 【毛( o ) = 毛( 1 ) ，( o ) = ( 1 ) ，( h = l ，2 ，3 ，) 证明方程组( 2 9 ) 必具有满足 o s 毛( f ) s 万i - ，( v o ( ( ，一孚) 3 一甜，圭 ( r 一上2 n ) 1 3 + ；( ，一丢丁 一s r ， - - ( t ，( f ) ，“( f ) ) ，t g o ，l 】， 故而，分别为( 2 1 0 ) 的上下解同时易验证而( o ) 而( 1 ) ，( o ) s ( 1 ) ； y a ( o ) s y o ( 1 ) ，y ( o ) j ，( 1 ) 。故他) 满足 易验证厂c ( 【o ，1 】白c o ，c o ) ，由前面所给考察 ( f ) + ( r ) = ( o - ，o ，“) ( f + 丢，i t + 五t 2 ，) = a ( o + m o y o ( t ) ，v f 【o l 】， 得寺+ 帆丢。即2 一手砖【o 1 】 取 x f f i ( x ，x 2 , - - - , x ，) ，；= ( 暑，夏，。写，一) 白， y = r = ( 咒，乃，只，) ，罗= 7 - - ( y , ，兄，死，) 岛 满足 毛i s 工s t o ，s 歹s y “， 且 矗+ 如罗+ 毛孑 - y + m o x s 螺+ “y o 即当 2 2 表北大学硕士学位论文第二章b a n a c h 空间二阶常微分方程周期边值问题解的存在唯一性 。瓦s 而丢，。s 只+ 瓦s + s 寺+ 五t 2 ，o = 1 ，2 ，) 时，我们有 五( f ，了，y ) 一z ( ，- 歹) = 扣一毛) 3 一( ) 3 + 击 ( f 广一( f 一只) - 3 ( 只一只) 2 一吾( 一瓦) 一啬( 一只) - 3 ( 一瓦) - 3 ( x 一写) 一言( 咒一只) 一3 ( 一只) - 4 ( 一写) 一詈( 见一只) ， ( 可根据拉格朗日中值定理昙。一s ) 3 = - 3 ( ，一s ) 2 - 3 ，v o s j s t , o t 4 另一方面 z ( r ，了，) ，) 一z ( ，- ，罗) 三 ( ，一) 3 一( ，一瓦) 3 + 甜( 心一只) 3 一( 咒一只) 一一歹：，) ， 同上面讨论知l = 0 , k - - 1 为y t 悃i m o ，我们来验证假设帆) 中的式子，应满足 三一2 n j | l 靠( k 一肘) 工， 2 3 查苎垄兰塑主兰竺垒查苎三主坠! ! ! ! 窒塑三堕堂堂坌查垦旦塑丝苎坠竺查查兰二竺 代入数值得一等1 t p i r o 使一砜三工s 砜 ，若 工& ，+ o x l = i n f 卅a o ，一砜x s 砜 ，则氏为赋范线性空间，其中0 x l 叫做工的而一范数，并且根据而一范数定义易验证& = p n 是气中的正规锥 可见o ，& = “：，哼氏i ”强可测，且f 肛( ，帆咖 4 ) ， 则【j ，e 】的共轭空间是厶【，e j ，即厶陋可= 厶陋e 】 证明对于岛【，e 】，v 厶【，e 】，记f ( t ) = o u ( t ) i l ，g ( r ) = l v ( f ) 9 ，根据 0 旺司及厶【，占】定义易知，f 【口，6 j ，g e l q a , b ，根据h 6 l d 盯不等式可得， lr ，( r ) g ( r ) 咖| e 将厶【，e 】连续 地嵌入陋司的共轭空间之中，下面将证明映射r 是等距在上的也就是说， 对任意的f b e r ，要找一个v f 【口，6 】，使得 东北大学硕士学位论文 第三章增算子的不动点定理及其迭代求法 v ”纠，e 】，f ( 甜) = r ( “( ，) ，v ( f ) ) 咖， 并且9 f l = lv l 对任意的可测集，c 【口，6 】，令i ，( j ) = ，( 确，卅) ，其中却捌是e 中满足当r ， 时，却捌( f ) = ( 为e 中常元) ，l 御卅( f 堋= 1 ；当，e 【口，6 ”，时，z l , 捌( f ) = 0 ，并 且满足( 却卅( f ) ，v ( ，) = i v ( f ) | 根据强可测的定义可知却捌工p 【，e 】 我们来验证l ，是一个完全可加测度事实上，易见y 是有限可加的( 由于f 的可加性) 今设 l c a ，6 】，满足3 厶3 3 3 ，以及 厶a ，那么 o - y ( l ) = f 司) 删却卅l ， = i f o ( c 阮司( ，) 1 1 9 和 - ：i f “) - 1 - 0 ，0 寸) 此外，同理可知y 关于还是绝对连续的，即由( j ) = o 可以推出y ( j ) = o 现应用r a d o n - n i k o d y m 定理，存在可测函数g ( f ) = 1 1 ，( ，) l l ，使得对任意的可测集 ，c i 口，6 】，有y ( j ) = 工p ( f ) l 札从而 f ( z t , 捌) = r ( 确，捌( f ) ，v ( f ) ) 咖， 于是对厶【，e 】中一切可数值函数“( 详见【2 1 】) ，都有f ( 越) = r 0 ( f ) ，v ( f ) ) d ，进 一步我们将要证明，l v t - i f i 分两种情形证明 ( 1 ) l o 令a = x e 【a ，6 l l v ( 葺) b n fh + 占 再对任意 f o ，仍按( 1 ) 中定义，并令却= 祝m 卅，i 有1 1 ，= “n 一) ，并且有 2 7 东北大学硕士学位论文第三章增算子的不动点定理厦其迭代求法 “n 4 ) ( 1 fo + f ) , l a a p ( 工) i 咖= r ( “( f ) ，v ( r ) ) 舡s0 f0 ( n _ ) ， 令卜 。，便有0 ) ( i f i + ) s i f i 0 ) ，由此推出，声( 4 ) = o 从而i v l o ，使得对任意j & ，都有0 工ls c n x l 2 3 增算子不动点迭代求法定理 定义1 设e 是赋范线性空问，其中 ，= 【口，6 】c 掣，( 6 口) ，u ：l - - e 假定x = j u - v o ，均为，专e 上的抽象函数) 在l k 下成一b a n a c h 空 一2 8 东北大学硕士学位论文第三章增算子的不动点定理及其迭代求法 间，x 为z 的共轭空间令r ：d c x - - - x ，若p ( f 1 r ( d ) c 占中的单调增 加序列都是e 中的相对弱紧集，对任意的，l e ，( 几乎处处成立) ，则称r 为d 上 的( 几乎) 逐点伪弱紧算子 定义2 令r ：d c x 哼z ( 其中x ，z 为定义1 中所指) ，若当，”e d ， i - 4 ，寸。时，都有( 死。) ( r ) 兰( 死) ( f ) ( 其中旦啼表示弱收敛) ，对任 意的t j ( 几乎处处) 成立，则称r 为d 上的o l 乎) 逐点半连续算子 设，岛【，e l ，u o ，并记 d = 甜o 【j ，e l s 甜s ) ，日= 【j ，e l ，s s 砜 如果f ：d 专厶【j ，e 】，石：日- - , 工d l ，e 】是增算子，令彳= 矾则彳：d 呻【，e 】 也是增算子我们将假定 s a u o ，4 1 0s 为清楚起见，本文恒作如下假定( 下文不再说明) 存在而，x o o ，使对一o t a l ，都有| d ( r ) c ( f ) ，( ，) ，对几乎一切 te l ，q ( f ) c ( ) ( r ) ，( 如) ( f ) c & 注1 由文【l o 】中注4 可知，在一般情况下，这个假设会自动满足另外，由 文【1 0 】中注1 易知，定理1 中的假设条件“在e 二中，范数i i 强于i k ”是常见 的 定理1 设p 是t r d b e r t 空间占中的锥，且在氏中范数l 0 强于l k ，假设如下 条件成立 ( h ) f 是d 上的几乎逐点伪弱紧和几乎逐点半连续的增算子，置为马上 的逐点半连续的增算子 ( 2 ) s 4 ，v o 一v o ，其中彳= 丘l ，v o e 岛【，e 1 慨) ，( d ) 是有界集 则彳在d 中必有最小不动点“与最大不动点矿，并且对 = 2 d u i ，= 彳卜l 雄= ( 1 ，2 ，3 ) 来说，“ 和 分别在，上依而一范数一致收敛于甜和矿 一2 9 东北大学硕士学位论文第三章增算子的不动点定理度其速代求法 证明由引理1 及条件帆) 可知 f ：d c 弓f ，e l 乙d 占】，譬：4c 毛f 厶明 【厶e 】， 再由( ) ，( 凰) 及f 和足的增性可知，a ：d c l p i , e - - l p i ，e 】是增算子，且 1 1 0 坼s l ，1 _ s qs 1 ，o 对每个丹，令= 凡；，则由是增算子可知 f u o = w o w as s 嵋s f 、，o 成立于是几乎对一切t e i ，有 ( f u o ) ( t ) = w a ( t ) s w l ( t ) n s ( f ) “s ( 凡) ( r ) ，( 3 1 ) 由于f 是几乎逐点伪弱紧算子，故存在厶c ，龇( i i o ) = o ，且当f e 厶时， f 嵋( f ) 是0 陋e r 中的相对弱紧集，且( 3 1 ) 式成立由引理1 可把 ( r ) 看作 为厶【4 ，西】空间中的相对弱紧集，从而存在 ( f ) 的子列 k ( f ) ，使得 ( f ) i ，( f ) ，厶 成立根据文【2 0 】引理i i 3 ，并由两式可证明 ( f ) ) 满足 ( ，) s ( ，) s - ，( r ) ( j ) ( f ) ，n = l ，2 ，嵋( ，) - 二! w ( f ) ，厶( 3 2 ) 定义矿：j r e 如下：当f 厶时，令矿( f ) = ，( ，) ；当f ，厶时，w c t ) - - o 于 是由( 3 2 ) 式可得 i _ ( f ) sw ( f ) s ( 而b ) o ) ，n = l ，2 ，f e 厶( 3 3 ) 及 ( f ) i 矿( f ) ，v t l e ( 3 4 ) 成立由于= 凡厶【，e 】，所以由( 3 3 ) 式和引理2 知- 矿( f ) 为强可测函 数再由( 3 4 ) 式及范数的弱下半连续性可得 4 矿( f ) l o o ) ( 3 5 ) 由定理假设，( 3 4 ) 式和引理3 得 h ( f ) 一w ( f 凝_ o , v t 厶 ( 3 6 ) 由( 3 3 ) 式对任意的疗，f 厶，有 o s 矿( f ) 一，( f ) s ( n k ) ( f ) 一，吒o ) 从而根据而一范数定义及上式知 1 w ( f ) 一( ，比k 砜) ( r ) 一w o ( t ) l ，厶 由于k f v 0 ) ( f ) 一w o ( f ) 旺是非负可积的，所以由此式及( 3 6 ) 式和l e b e s g u e 制收敛定理知 l 1 ( f ) 一w ( t ) | i 三a u 2j ：r 1 ( r ) 一，( r ) 0 二咖_ o 此式意味着( 3 5 ) 式成立f h ( 3 5 ) 式，条件( ) 及定义2 可得 ( 五吃) ( f ) j 斗( x 矿) ( r ) ， 根据置的定义可视 厨吃 l p i ，e 1 中的元素，则此时有 ( 缸；) ( ，) o ( 肌) ( f ) ， 再根据引理3 知 | ( 纸) ( r ) 一( 肼) ( ，札一o ( 3 7 ) 令“( r ) = ( j 吖) ( r ) ，显然厶n e 】，。( f ) = ) ( f ) = ( j 6 屹) ( ，) 因而( 3 7 ) 等 价于 h ( r ) 可( f 魁专o ， 由此式，引理4 及【，e 】易得越o j ，& 完全类似于( 3 5 ) 式的证明， 3 1 东北大学硕士学位论文第三章增算子的不动点定理及英迭代求法 可有h 一”。k 寸。成立再由条件( 风) ，l l t 式及( 3 7 ) 式的讨论知几乎对一切 f e l 有 8 ( 巩) ( ，) 一( 凡) ( r 啦一o 即 ( ，) 一( n ) ( r ) l 札 在类似于( 3 5 ) 式的证明可得1 一f u l 哼o 从而有 j i ( 砜) ( r ) 一( 胁) ( ，) l = h + l ( f ) 一( ) ( 诅哼o 按与上面怫一”l _ o 同样的方法可证9 爿l p o 比较这两个式子可 得爿= 同理可证，存在v 【j ，e 】，使n v l - + 0 , k a v = v 最后按( 文 【1 3 】定理6 1 ) 的证法可知，甜和v 分别为4 在h ，】中的最小不动点和最大不 动点定理证毕 设p 是h i l b e r t 空间中的锥， ，弓厶f l e 】，s 毛，d = j ，厶【l e l 儿s y s 知) ， 仍然设存在而，而o 使对几乎一切f ， ( f ) ，( f ) c & 推论设在& 中，, 范m l i 0 强于0 k ，再设4 ：d 斗厶【，占】是几乎逐点伪弱 紧和几乎逐点次连续的增算子， a y o ，缸 0 及 v m ，