湖北省荆门市钟祥市兰台中学九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径课件 新人教版.ppt

垂直于弦的直径 人教版九年级上册24 1 2 问题 你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗 问题情境 把一个圆沿着它的任意一条直径对折 重复几次 你发现了什么 由此你能得到什么结论 可以发现 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 活动一 如图 ab是 o的一条弦 做直径cd 使cd ab 垂足为e 1 这个图形是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有那些相等的线段和弧 为什么 o a b c d e 活动二 1 是轴对称图形 直径cd所在的直线是它的对称轴 2 线段 ae be o a b c d e 几何语言表达 垂径定理 推论 知二推三 1 过圆心 2 垂直弦 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧 只要具备其中两个条件 就可推出其余三个结论 注意 当过圆心 平分弦时 弦不能是直径 想一想 下列图形是否可以使用垂径定理 为什么 判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 辨别是非 1 如图 在 o中 弦ab的长为8cm 圆心o到ab的距离为3cm 求 o的半径 o a b e 练习 解 答 o的半径为5cm 活动三 在rt aoe中 2 已知 如图 在以o为圆心的两个同心圆中 大圆的弦ab交小圆于c d两点 求证 ac bd 证明 过o作oe ab 垂足为e 则ae be ce de ae ce be de 所以 ac bd e e 小结 解决有关弦的问题 经常是过圆心作弦的垂线 或作垂直于弦的直径 连结半径等辅助线 为应用垂径定理创造条件 解得 r 27 9 m 解决求赵州桥拱半径的问题 在rt oad中 由勾股定理 得 即r2 18 72 r 7 2 2 赵州桥的主桥拱半径约为27 9m oa2 ad2 od2 实践应用 在图中 ab 37 4 cd 7 2 ad ab 37 4 18 7 od oc cd r 7 2 在图中 ab 37 4 cd 7 2 ad ab 37 4 18 7 在rt oad中 由勾股定理 得 即r2 18 72 r 7 2 2 oa2 ad2 od2 解得 r 27 9 m 在rt oad中 由勾股定理 得 即r2 18 72 r 7 2 2 oa2 ad2 od2 思考 弦长 半径 弦心距 弓形高之间有何关系 例1 如图 o的直径ab和弦cd相交于e 若ae 2cm be 6cm cea 300 求 1 cd的长 2 c点到ab的距离与d点到ab的距离之比 分析 有关弦 半径 弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究 所以连半径 作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法 例2 如图 半径为2的圆内有两条互相垂直的弦ab和cd 它们的交点e到圆心o的距离等于1 则ab2 cd2 分析 如图 连结oa oc 过o分别作ab cd的垂线 垂足分别为m n 2 如图 在 o中 ab ac为互相垂直且相等的两条弦 od ab于d oe ac于e 求证四边形adoe是正方形 证明 四边形adoe为矩形 又 ac ab ae ad 四边形adoe为正方形 达标检测 一 填空1 已知ab cd是 o中互相垂直的弦 并且ab把cd分成3cm和7cm的两部分 则弦和圆心的距离为 cm 2 已知 o的半径为10cm 弦mn ef 且mn 12cm ef 16cm 则弦mn和ef之间的距离为 3 已知 o中 弦ab 8cm 圆心到ab的距离为3cm 则此圆的半径为 4 在半径为25cm的 o中 弦ab 40cm 则此弦和弦所对的弧的中点的距离是 5 o的直径ab 20cm bac 30 则弦ac 14cm或2cm 2 5cm 10cm和40cm 挖掘潜力 某地有一座圆弧形拱桥圆心为 桥下水面宽度为 2m 过o作oc ab于d 交圆弧于c cd 2 4m 现有一艘宽3m 船舱顶部为方形并高出水面 ab 2m的货船要经过拱桥 此货船能否顺利通过这座拱桥 c n m a e h f b d o 已知 如图 ab是的直径 cd是弦 ae cd 垂足为e bf cd垂足为f 求证 ec df 已知 如图 ab是的直径 cd是弦 ce cd df cd求证 ae bf g g g 一题多变 变式提高 o a b c 1 已知 o的半径为4 5 它的内接 abc中 ab ac ad bc于d ad ab 10 求ad的长 2 若d是bc的中点 ad bc bc 24 ad 9 求 o的半径 d b a c d o 1 解 连结ob 延长ad 则必过圆心o 若设ad x 则od 4 5 x ab 10 x在rt abd和rt obd中 bd2 ab2 ad2 ob2 od2即 10 x 2 x2 4 52 4 5 x 2解得x 4即ad 4 如图 已知ab是 o的弦 mn是直径 mc ab于c nd ab于d 1 求证 1 ac bd 2 oc od 2 若 o的半