江苏省苏州市第五中学高考数学总复习 第2讲 函数的单调性与最值课件.ppt

第2讲函数的单调性与最值 知识梳理1 函数的单调性 1 单调函数的定义 f x1 f x2 f x1 f x2 下降的 2 单调区间的定义若函数y f x 在区间i上是或 则称函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间i叫做函数y f x 的单调区间 增函数 减函数 2 函数的最值一般地 设y f x 的定义域为a 如果存在x0 a 使得对于任意的x a 都有 那么称f x0 为y f x 的最大值 记为ymax f x0 如果存在x0 a 使得对于任意的x a 都有 那么称f x0 为y f x 的最小值 记为ymin f x0 f x f x0 f x f x0 感悟 提升 1 一个区别 函数的单调区间 和 函数在某区间上单调 的区别 前者指函数具备单调性的 最大 的区间 后者是前者 最大 区间的子集 如 5 2 两个防范一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间 要分别说明单调区间 不可说成 在其定义域上 单调 如 3 二是若函数在两个不同的区间上单调性相同 则这两个区间要分开写 不能写成并集 如 6 规律方法 1 对于给出具体解析式的函数 证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法 可以利用定义 基本步骤为取值 作差或作商 变形 定号 下结论 求解 可导函数则可以利用导数解之 2 复合函数y f g x 的单调性规律是 同则增 异则减 即y f u 与u g x 若具有相同的单调性 则y f g x 为增函数 若具有不同的单调性 则y f g x 必为减函数 所以x2 x1 0 x1 1 0 x2 1 0故当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数f x 在 1 1 上递减 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数f x 在 1 1 上递增 答案 1 规律方法解决这类问题的一般方法 一是求出函数的单调区间 然后使所给区间是这个单调区间的子区间 建立关于参数的不等式组即可求得参数范围 二是直接利用函数单调性的定义 作差 变形 由f x1 f x2 的符号确定参数的范围 另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题 答案 1 2 规律方法求函数最值的常用方法 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图象法 先作出函数的图象 再观察其最高点 最低点 求出最值 3 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后用基本不等式求出最值 4 导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 5 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 1 证明设x1 x2 则f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 又 当x 0时 f x 0 而x1 x2 0 f x1 x2 0 即f x1 f x2 f x 在r上为减函数 2 解 f x 在r上是减函数 f x 在 3 3 上也是减函数 f x 在 3 3 上的最大值和最小值分别为f 3 与f 3 而f 3 3f 1 2 又函数f x 对于任意x y r总有f x f y f x y 令x y 0 得f 0 0 再令y x 得f x f x f 3 f 3 2 f x 在 3 3 上的最大值为2 最小值为 2 1 求函数的单调区间 首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集 其次掌握一次函数 二次函数等基本初等函数的单调区间 求函数单调区间的常用方法 根据定义 利用图象 单调函数的性质及利用导数的性质 2 复合函数的单调性 对于复合函数y f g x 若t g x 在区间 a b 上是单调函数 且y f t 在区间 g a g b 或者 g b g a 上是单调函数 若t g x 与y f t 的单调性相同 同时为增或减 则y f g x 为增函数 若t g x 与y f t 的单调性相反 则y f g x 为减函数 简称 同增异减 3 函数的值域常常化归为求函数的最值问题 要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用 答案 1 8 错因 忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小 答案 4 8 防范措施 对于分段函数的单调性 有两种基本的判断方法 一保证各段上同增 减 时 要注意上 下段间端点值间的大小关系 二是画出这个分段函