（基础数学专业论文）三角弱Hopf代数上的Schur双中心化子定理.pdf

摘要 设 日 r 是一个三角弱h o p f 代数 y 是左日一模范畴h m 中的一个有限维对象 一根 据辫子李代数的有关理论 我们给出了范畴h m 中李代数的相关概念 从而得到了g z v 是 范畴h m 中的一个李代数 然后 构造其泛包络代数u 9 j y 并且证明了u g t v 是范 畴日m 中的一个h o p f 代数 最后由r a d f o r d 双积定理的弱形式 得到了一个普通的三角弱 h o p f 代数k u 鲥 y 榉日 并证明了三角弱h o p f 代数k 上的s c h u r 双中心化子定理 对 偶地 我们同时得出了余三角弱h o p f 代数上的s c h u r 双中心化子定理 关键词 三角弱h o p f 代数 左弘模范畴 泛包络代数 s c h u r 双中心化子定理 a b s t r a c t l e t h r b eat r i a n g u l a rw e a kh o p fa l g e b r aa n dv b eaf i n i t ed i m e n s i o n a lo b j e c ti n t h ec a t e g o r yh m a c c o r d i n gt ot h et h e o r yo fb r a i d e dl i ea l g e b r a w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t o fl i ea l g e b r ai nt h ec a t e g o r yn m t h e nw ec a l lg e tal i ea l g e b r ag t v i nt h ec a t e g o r yh m a n di t su n i v e r s a le n v e l o p i n ga l g e b r au 9 l f u r t h e r m o r e w ep r o v et h a tv g t w i sah o p f a l g e b r ai nt h ec a t e g o r yh m u s i n gt h ew e a kv e r s i o no fr a d f o r db i p r o d u c tt h e o r e m w eo b t a i n a l lo r d i n a r yt r i a n g u l a rw e a kr l o p fa l g e b r ak 印 v 社日 f i n a l l y w ep r o v es c h u r sd o u b l e c e n t r a l i z e rt h e o r e mf o rt r i a n g u l a rw e a kh o p fa l g e b r ak d u a l l y w ea l s oo b t a i ns c h u r sd o u b l e c e n t r a l i z e rt h e o r e mf o rc o t r i a n g u l a rw e a kh o p fa l g e b r a k e yw o r d s 皿 i a n g u a l a rw e a kh o p fa l g e b r a t h ec a t e g o r yo fl e f th m o d u l e s u n i v e r s a l e n v e l o p i n ga l g e b r a s c h u r sd o u b l ec e n t r a l i z e rt h e o r e m u 一 学位论文独创性声明 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知 除了文中特别加以标明和致谢的地方外 论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果 也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 二 关于学位论文使用授权的说明 签名日期 东南大学 中国科学技术信息研究所 国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档 可以采用影印 缩印或其他复制手段保存论文 本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致 除在保密期内的保密论文外 允许论文被查阅和借阅 可以公布 包括刊 登 论文的全部或部分内容 论文的公布 包括刊登 授权东南大学研究生院办理 签名导师签名 越日期 第一章问题背景及主要结果 h o p f 代数是上世纪4 0 年代初h h p p f 在研究拓扑群时引进的 这种代数是同时具有 代数结构和余代数结构的代数系 见文献 2 0 16 几十年来 许多数学家都致力于这方面的 研究 随着d r i n f e l d 有关量子群的引入 及k a p l a n s k y 的十大猜想的部分解决 h o p f 代数 理论体系逐步完善成熟 另外 h o p f 代数发展至今已有很多方向的推广 如弱h o p f 代数 h o p f 群余代数 乘子h o p f 代数等 见文献 5 2 2 2 1 极大地丰富了h o p f 代数的理论 其 中 弱h o p f 代数的研究主要是源于量子域与算子代数 是由b s h m 等人定义的 n i k s h y c h 与v a i n e r m a n 称之为量子群胚 1 9 它与h o p f 代数有着类似的公理体系 仅单位的余积 余单位的积以及反对极的条件弱化 是h o p f 代数与群胚代数的真推广 是目前许多物理学 家与数学家十分感兴趣的研究领域 见文献 6 1 0 17 2 5 1 8 设y 是域k 上的有限维向量空间 m 为正整数 则可以给出对称群s 矗在v o m 上的 作用 以及h o p f 代数u g t v 在y o 上的作用 在这种情况下 经典的s c h u r 双中心化 子定理是指s k 与u g t v 在e n d k y 鲫中互为中心化子 历史地来看 1 9 8 7 年 b e r e l e 和r e g e v 在文献 4 1 中 考虑了z 2 一分次的向量空 间y 以及左z 2 一余模范畴z 2 m 把s c h u r 双中心化子定理推广到李超代数川 y 上 即 日 u y z 2 与 在e n d k y 咖中互为中心化子 1 9 9 3 年 f i s c h m a n 在文献 1 1 中 把经典的s c h u r 双中心化子定理以及b e r e l e 和 r e g e v 的结果 4 1 搬到h o p f 代数上来 即七s 与h u y 社后 j 在e n d k v m 中互 为中心化子 这里的y 为z 2 一分次的向量空间 j e n d k v 且j v 一1 1 i v 御 v 并 给出了一个更简洁的证明方法 1 9 9 4 年 c o h e n f i s c h m a n 和w e s t r e i c h 在文献 9 中 推广了f i s c h m a n 的结果 1 1 1 考虑了三角h o v f 代数 马 r 以及左王h 模范畴 给出了s c h u r 双中心化子定理 后s 与 h u 9 f y 舶吼在e n d k y m 中互为中心化子 另一方面 1 9 9 4 年 f i s c h m a n 和m o n t g o m e r y 在文献 1 2 中 把b e r e l e 和r e g e v 的结 果 4 推广到左日一余模范畴月m 中的l i e 代数上 其中 h 是余三角h o p f 代数 得 到余三角h o p f 代数上的s e h u r 双中心化子定理 七s k 与k u g t i y h 在e n d k v 固m 中互为中心化子 2 0 0 0 年 王栓宏教授在他的博士论文中 2 3 统一了文献 9 和 1 2 的结果 得出了 y e t t e r d r i n f e l d 模范畴7 y v 中的s c h u r 双中心化子定理 膏s k 与k u g i v xh 在 e n d k y 骱 中互为中心化子 那么一个很自然的想法便是 对任意的三角弱h o p f 代数 日 r 及左日一模范畴h m 中的任意有限维对象v s c h u r 双中心化子定理是否成立 也就是说 文献剐中的结果能否 1 东南大学硕士学位论文 推广到弱h o p f 代数上来 针对此问题 我们考虑三角弱h o p f 代数 日 r 和左日 模范畴 日m 并给出了肯定的回答 主要结果如下 主要结果 一 见定理3 2 6 设 日 冗 是一个三角弱h o p f 代数 l 是左口 模范畴h m 中的一个李代数 c l 砂 是由引理3 2 3 得到的l 的泛包络代数 则u l 是左弘模范畴h m 中的一个余可换的 h o p f 代数 它的结构如下给出 2 a z f 固t 1 1 0 z 1 1 0 t 1 s i 一i s 砝 r 2 s 否 冗 1 s 5 e 1 0 1 1 对任意的f l 5 z u l 主要结果 二 见定理4 6 设 日 r 是一个三角弱h o p f 代数 v6 n m 是域k 上一个有限维的向量空间 m n 且 k e n d n v c 和圣 七j s k e n d h v t 分别为文中所定义的表示 如果对任 意的g k 有允 9 岛 g 则 1 e n d o k s v 吼 p m k 2 e n c 枷 k y 吼 西 尼s k 另外 我们对偶地考虑了余三角弱h o p f 代数 及左日 余模范畴日m 得出了余三角弱 h o p f 代数上的s c h u r 双中心化子定理 主要结果 三 见定理5 2 设 日 盯 是一个余三角弱h o p f 代数 v 片m 是域k 上一个有限维的向量空间 m n 矿 k e n d n v t 和垂 七s 二 e n d n v t 为文中所给出的表示 如果对任 意的g k 有矗 g 岛 9 则 1 e n d v k s v 甄 矿 k 2 e n d p m k v 砚 o k s m 第二章预备知识 设k 是 个固定的域 如无特殊说明 圆均指圆 本文采用文献 2 0 中的s w e e d l e r 记 号 但为方便起见 我们省略和号 和下标中的括号 在这一章中 我们回顾一些基本 的概念及性质 2 1 弱h o p f 代数 弱h o p f 代数是在文献 5 中 由b s h m 等定义的 它与h o p f 代数有着类似的公理体 系 这一节我们将对弱h o p f 代数的概念和性质作一个简单的回顾 定义2 1 1 5 一个弱双代数 w b a 日 m p a 由下面的性质 1 一 3 定义 1 h 是域k 上一个有限维结合代数 带有乘法m h o h 日 及单位p k 日 这里m p 均为缸线性映射 2 h 是域k 上一个余代数 带有余乘a h 一日 日 及余单位 h k 这里 均为缸线性映射 3 其代数和余代数结构满足下面的相容性条件 h h g h g h g h l 1 0 1 2 1 i 0 1 1 1 0 1 2 0 1 3 1 1 0 1 i 1 2 0 l h g k e h 9 1 s 9 2 k e h 9 2 e g l k h g k h 注2 1 2 7 在双代数的定义中 上述后两个式子由下面的条件代替 a 1 1 0 1 e h k s 危 于是 我们可以得到一个双代数肯定是一个弱双代数 定义2 1 3 5 我们称弱双代数日为弱h o p f 代数是指它满足如下性质 存在一个缸 线性映射s h 一日 我们称之为反对极 并且对任意的h 日 满足下列等式 h x s h 2 e 1 l h l z s h 1 h 2 l l e h 1 2 s h s h 1 h 2 s h 3 命题2 1 4 2 4 h 是一个弱h o p f 代数当且仅当以下条件成立 1 日是域k 上一个有限维结合代数 带有乘法m h h 一日 及单位b t k 一日 这里m p 均为k 一线性映射 2 h 是域k 上一个余代数 带有余乘 h 日圆日 及余单位 h 这里 g 均为k 一线性映射 3 东南大学硕士学位论文 3 其代数和余代数结构遵循下面的相容性条件 h g 0 h g e 1 1 1 2 1 o1 1 1o1 2o1 3 1 1o1 j 1 2o1 e h g e h 1 1 e 1 2 9 e h 1 2 e 1 1 9 h g 凰 4 存在一个缸线性映射s h 日 称为反对极 对任意的h h 满足下列条件 h i s h 2 e 1 l h 1 2 s h 1 h 2 l l e h l s h 1 1 s h 1 2 s 1 l h 1 2 h 凰 下面我们总结一些双代数的性质 首先我们定义映射岛 h 一日 e t h e 1 1 h 1 2 c s l l e h 1 2 映射吼与岛分别称为目标映射和源映射 它们的象玩和见被称为目标空间与源空间 对所有的g h h 有 1 c t h 2 l l h 圆1 2 e s h i o h 2 1 1 0 h 1 2 目标空间吼和源空间风可以描述如下 且凰和皿都是日的子代数 凰 h i 旬 1 h l h la h l l h 圆1 2 h 1 1 圆1 2 上l hi 7 1 九 ha h 1 1oh 1 2 1 10 1 2 h 下面是一些关于映射鼠与 的性质 后文中的计算将会用到 命题2 1 5 5 若日是弱双代数 则对任意的h 9 h 下列等式成立 0 t e 9 e s 9 t 1 越 e s h i oe t h 2 e s h 2 圆白 1 i i i 岛 1 e s 1 一1 i v 矗 t 9 s t t 夕 e s 9 c s s g w e h e t g e h g e 九 g v i t h g e t h e t g h g e s 岛 g v i i a 1 皿 玩 关于弱h o p f 代数和反对极s 亦有如下一些性质 4 东南大学硕士学位论文 命题2 1 6 5 h 是一个弱h o p f 代数 则对任意的h h 有下列等式成立 i s 1 1 i i h i o h 2 s h 3 l l h 0 1 2 i i i s h 1 h 2 圆h 3 1 1 圆h 1 2 t 豇1 s h 2 h 3 h l l 圆s 1 2 钉 h l s h 2 o h 3 s 1 t o1 2 h u i 1 1 0 1 2 s 1 2 圆s 1 1 命题2 1 7 6 若h 是一个带有双射反对极的弱h o p f 代数 则有限制s i h h e 1 2 h 1 与蹴 e h 1 1 1 2 因而s 甄一鼠是一个反代数同构 2 2 左日一模范畴及三角弱h o p f 代数 5 在本节中 我们设日是一个弱h o p f 代数 并且记h m 为左j 模范畴 首先我们回顾 一些相关的定义及命题 定义2 2 1 2 a 称为一个左的弱h 一模代数是指 a 是一个左王卜模 并且满足下 面条件 h n 6 h 1 d 1 2 6 h 1 a e t 1 a a b a h h 定义2 2 2 1 4 1 个张量范畴是指范畴c 连同一个函子o cpc c 称为张量 积 一个c 中的对象j 称为单位对象 以及一簇自然同构 a u v w u 固v ow 叫u o v 圆w r v v o i v 1 圆v k 矾v w c 分别称为结合律 右单位律和左单位律 并且满足下列条件 1 i doa v w x 0a u v w xo a u v w i d a u v w o x oa u v w x 2 r v o i d i d o l w 0 a v j w 以k 彬x c 命题2 2 3 由文献 6 可知 尬圆t 且 r v l v 是一个张量范畴 这里的 与缸分 别定义如下 r v v o z s z l v zo u z 钉 v 2 三 v6 hm 在范畴 肘中 我们有如下一些结论 一个左的弱王卜模代数是范畴h m 中的一个代 数 一个左日模一同态是范畴日m 中的一个态射 设v6 h m 贝1 je n d h v6 h m 这里 东南大学硕士学位论文 e n d h v 的模作用如下定义 对任意的 e n d h v 和h h h 钉 h 1 f s h 2 u 而 且如果v we h m 则矿o w 日m 其模作用为 对任意的 o w v0 tw 和h h h 扣圆tw h i t 圆h 2 伽 所以y 的张量代数t v 也是一个左的弱日 模代数 即范畴 日m 中的代数 定义2 2 4 19 一个拟三角弱h o p f 代数是指二元组 日 r 其中日是一个弱h o p f 代数 r r 1 or 2 泖 1 日o 日 1 并且满足下面的条件 1 谢o r r 1 3 r 1 2 即 r 1 or 2 o 世 r 1 r 1 or 2 圆r 2 圆i d n r 1 3 r 2 3 即 r p 硝 圆r 2 r 1 or 1 圆r 2 r 2 1 3 a c 0 v h r r a h 即 1 2 兄 1 圆h i r 2 r 1 1 圆兄 2 2 这里h e r l 2 r o1 疡3 1or 等 并且存在面 1 日o k 日 1 使得 r r 1 r r 1 我们注意到再是被r 唯一决定的 事实上 如果再和丽是 唧 1 日 h a 1 中 两个元素 并且均满足前面的等式 则我们有 一r 一r a c y 1 1 一r r r a 0 一r 币 进一步 如果再 冗 2 圆r 那么称 日 冗 为三角弱h o p f 代数 命题2 2 5 19 设 日 兄 是拟三角弱h o p f 代数 则对任意的y 风 z 皿 下面 等式成立 方程 1 0 z r r z 圆1 z 1 r 1 0 s z 兄 r y o1 n 1 圆s y 0 1 冗 r 1 0 秒 1 0 y r s y 圆1 r r 1 圆z r s z 0 1 命题2 2 6 19 设 e 月 是一个拟三角弱h o p f 代数 则兄满足量子y a n g b a x t e r r 1 2 r 1 3 而3 r 2 3 r 1 3 r 1 2 命题2 2 7 1 9 对任意的拟三角弱h o p f 代数 日 r 有如下等式成立 岛o i d r 1 白o i d r 唧 1 s o i d r i d o s r 瓦 诅圆 r soi d a c v 1 砌o r s o i d a 1 s o s 尺 r 6 东南大学硕士学位论文 设 e 冗 是一个拟三角弱h o p f 代数 vwc h m 那么我们可以定义 皿矿 v 0 t w w 圆 k 钉 t 硼hr 2 叫圆t r 1 钞 牛1 显然 皿v w 是范畴h m 中的 个态射 进一步 当 日 r 是三角弱h o p f f t 激 f 皿参w i d 命题2 2 8 设a 和b 是左的弱日一模代数 则a o tb 也是左的弱上卜模代数 其乘 法如下给出 i t a o t b 圆t a o t b a o t b 口o tb c 圆t d hn r 2 c 固 r 1 6 d 证明 显然 a o t b 是左日一模 并且易证九 n 圆加 c o t d h i n 固t 6 h 2 d 圆 d 因此我们只需验证 h 1 a o t l b h i 1 a o t h 2 1 b l l h 1 a 0 1 2 1 b 5 t 1 l h 1 a 0 1 2 1 b 1 1 1 1 1 a 圆1 2 1 b e 1 l h e t 1 2 1 圆1 3 1 b z 1 h 1 2 1 a t1 b e t 1 ao t1 b 7 证毕 定义2 2 9 由文献 1 可知 b 是左上卜模范畴h m 中的一个h o p f 代数当且仅当下 述条件成立 1 b 既是一个代数又是一个余代数 2 h a b h i a h 2 6 h 1 b e t h 1 b 3 a h 口 h i n l o th 2 a 2 口 4 a a b d 6 口1 r 2 b x 圆t 冗 1 a 2 6 2 e a b n 5 a l s a 2 口 1 b s 8 1 0 2 定理2 2 1 0 1 设 日 r 是一个拟三角弱h o p f 代数 b 是范畴h m 中的一个h o p f 代数 则k b h b o t h 是一个普通的三角弱h o p f 代数 其结构如下 a b 社h 6 1 孝r 2 h 1 o r 1 b 2 h 2 s b h s h 2 u r 1 s 6 社s r h i 这里t s r 2 只 b 孝 e 6 e t l 1 1 b 1 h r b n 1 孝r 1 固 1 捧r 2 6 群 1 6 群九7 b h 1 6 社 2 h 7 对任意的b 6 b h h 7 h 第三章泛包络代数 在这一章中 我们将引进左日一模范畴h m 中李代数的概念 并构造其泛包络代数 而 这个泛包络代数不是通常的h o p f 代数 但是 我们可以得到它是范畴日m 中的h o p f 代数 3 1 范畴日m 中的李代数 设 e 兄 是一个三角弱h o p f 代数 现在 我们引进范畴h m 中李代数的定义 定义3 1 1 左上l 模范畴h m 中的李代数l 指 月肘中的一个对象l 连同一个左日一 模同态 l o t l l z 圆tz 一 l f 并且满足如下条件 1 反交换性 也就是 z z 一j r 2 f 7 冗 1 l 2 j a c o b i 恒等式 0 z l o t l 2 圆 f 3 1 1 1 2o m 2 z 1 1 t 1 2 0 t j 3 皿2 3 ox i 1 2 1 l o t l 2 0 t2 3 这里 f l o t l 2 0 t f 3 表示 1 1 1 2 3 i 1 2 0 q 2 2 3 1 l o t l 2 0 t f 3 卜 r 2 冗 2 z 3 圆t r 1 z 1 圆t r 1 f 2 q 2 3o 皿1 2 1 1 圆t 1 2 tf 3 r 2 f 2o t r 2 z 3o tr 1 r 1 1 1 z 1 z 2 l a l 注3 1 2 上述定义中 范畴h m 中的李代数实为文献 3 1 中提到的辫子李代数的一个 具体的例子 且 是一个左口模同态 是指对任意的h h z 1 z 2 l 有下式成立 h 1 1 1 2 h i 1 1 h 2 z 2 设a 是范畴h m 中的一个结合代数 那么我们有如下命题 命题3 1 3 设以是一个左的弱z 卜模代数 则a 一是一个导出李代数 它的括积如下 给出 a o ta a a tbh 6 一 r 2 6 兄 1 o 证明 1 为左日模同态 h n 6 1 h 口6 一 r 2 6 r 1 o h 1 n 2 b 一 h i r 2 6 2 r 1 n h 1 n 2 b 一 r e h 2 6 r 1 1 a h 1 a h 2 6 8 东南大学硕士学位论文 2 验证其满足反交换性 兄 2 卜b 兄 1 叫 冗 2 6 r 1 a r 2 r 1 n p 1 r 2 6 r 2 b r c l n 一 r 2 兄 1 o r 1 r 2 b r 2 b r c l n 一 1 1 口 1 2 b r 2 6 兄 1 口 一1 a b 兄 2 6 r 1 口 一a b 一 n 6 i 3 验证满足j a c o b i 恒等式 n 吼6 0 c d 6 c 一 兄 2 b c r 1 o 8 6 c 一 r 2 c r c l 6 一 冗 2 b e 一 r 2 c r c l 6 兄 1 n a b e o r 2 c r c l b 一 r c 2 b e 一r 2 r 2 c r 1 6 冗 1 a a b e n r 2 c r 1 6 一 r 2 6 c r 1 n r 2 r 2 c 磷 r 1 6 冗 1 n d k d r 2 c r 1 6 一 r 2 6 c r 1 n z 2 r 2 c r 2 r 1 曲 r 1 z 1 n a b e n r 2 c r c l 6 一 r 2 6 c r 1 o 2 c r 2 z 6 r 1 z p n a b e d r 2 c r c l 矗 一 r 2 b c r 1 n z 2 c z p r 2 曲 z r 1 口 a b e d p 2 c r c l b 一 r 2 6 c r 1 o 2 c z 1 r 2 r 1 凸 皿1 20 皿2 3 n o tb o tc r 2 c r c l a b 一 r c 2 c r c l r c 2 6 冠 1 g 一 z p r 1 o z 乒 r 1 6 1 r 2 r 2 c 0 2 z 乎 r 1 6 z 1 z p r 1 n z 1 r 2 r 2 c r 2 c r 1 a b 一 r c 2 c r 1 r 2 6 r 1 n 一 z 5 2 r i l l o z 乎 r 5 0 1 r 2 c z 2 z 孑 r 5 6 z 1 z p r i a z c l r 2 c r 2 c r c l a b 一p 2 c r 1 r 2 r 1 n 一p 2 r 1 a b x 1 1 r 2 c 名 2 1 2 b z c l 1 1 d 1 3 c r 2 c r 1 a b 一p 2 c c 1 r 2 b r c l 口 一 1 l a b x 2 c 1 1 名 2 6 1 2 z 1 n 1 3 c r 2 c r 1 a b 一p 2 c r 1 r 2 6 r 1 n 一a b e z 2 6 2 1 a c 皿2 3o 皿1 2 a o tb 圆 c r 2 6 r 2 c r 1 1 r 1 n 一 兄 2 6 可 2 r 1 r 1 n 可 1 r 2 c 一 r 2 c r i l z 2 r 1 n r 1 1 1 r 2 曲 z 2 z 2 r 1 r 1 o z 孑 z 1 r 2 c z 1 r 2 6 9 东南大学硕士学位论文 1 0 r 2 r 2 c r 1 兄 1 n 一 r 2 6 1 1 冗 1 口 1 2 c 一 r 2 c r i 1 1 n r 1 2 b z 2 1 1 冗 1 口 z 乎 1 2 c z 1 r 2 b r 2 b c r c 2 c r 1 r 1 n 一 r 2 6 兄 1 8 c 一 r 2 c r 1 a b r 2 冗 1 n z 2 c 0 1 r 1 r 2 b r 2 b c r 2 c r 1 硝1 n 一 r 2 b r c l o c p 2 c r 1 a b 1 1 d z 2 c z 1 1 2 b r 2 6 r 2 c r 1 兄 1 n 一 r 2 6 r 1 o c p 2 c r 1 a b 1 1 d 1 2 z 2 c z 1 b 兄 2 6 r 2 c r 1 兄 1 n 一 r 2 b r c l o c p 2 c p 1 a b n 2 c z 1 b 综合以上结果可得 n o t6 0 t c 皿1 2 0 m 2 3 a o 加o c r 皿2 3 0 m 1 2 o 加o t c 0 证毕 定义3 1 4 设 l 1 1 和 工 2 均为范畴h m 中的李代数 范畴h m 中的一个李 同态 l 1 如是指 是一个左日一模同态 并且对任意的f z l 1 满足 f 2 1 邢 1 3 2 泛包络代数 这一节 我们主要来构造范畴n m 中李代数l 的泛包络代数 首先给出范畴h m 中泛 包络代数的定义 定义3 2 1 设l 是左日 模范畴h m 中的一个李代数 则l 的一个泛包络代数是二元 组 配u 这里u 是范畴日m 中的一个结合代数 其单位元为1 u 一为u 的导出李代数 工 一 一是一个李同态 并且如下论断成立 对任意左的弱王l 模代数a 和其导出李代 数以一 以及任意的李同态 工 a 一 存在唯一的代数同态g u a 这里的9 还是一 个左王r 模同态 使得下图可换 引理3 2 2 设l 是左日一模范畴日m 中的一个李代数 u l t l i 这里 是 东南大学硕士学位论文 t l 的一个由下面元素生成的理想 f l o z 2 一冗 2 1 2 固t r 1 1 1 一 2 1 j 2 1 1 1 2 l 设1 l l t l 1 是典型映射f f i i 那么u l 是范畴h m 中的一个代数 n 是 范畴h m 中的一个态射 证明 1 我们先证明i m 事实上 对任意的j 1 1 2 l h h 我们有 h j l o t j 2 一r 2 j 2 0 t r 1 z 1 一p 1 j 2 h 1 1 1 固h 2 1 2 一 1 冗 2 f 2 0 h 2 r 1 z 1 一 h 1 1 1 h 2 纠 h 1 z l o h 2 1 2 一r 2 h 2 z 2 o t 兄 1 h 1 z 1 一 1 1 z 1 h 2 1 2 1 i 于是 我们可得u l 是一个左日一模 即范畴抒m 中的对象 2 其次 我们要证u l 是范畴一m 中的一个代数 即需要验证u l 是否满足左的 弱王l 模代数的条件 显然 对任意的z s l h h 我们有 一h 1 h f i h z i h i 丽 jo ts j 1 1 z 0 1 2 s j f os j 0 j s i 吾 于是 可以得到 h i i h 丽忑 矿两i 而了雨丽 而1 雨可再i 瓦 1 瓦 h t i h i 丽 可瓦几 e t h i 这里的i 指u l 中的单位元 说明一下 以后为方便起见 我们均记其为1 得证 3 最后 我们证 是范畴h m 中的态射 即左肌模同态 显然 我们有 1 1 u h z 矾 h i h 乱 f 证毕 定理3 2 3 设l 日m 是一个李代数 则上述引理3 2 2 中的 u l u 是l 的泛包络 代数 证明 由引理3 2 2 u l 是范畴日m 中的一个代数 带有单位1 那么由命题3 1 2 我 们可以得到其导出李代数u l 一 其括积如下 u l 圆 u l u l 口 司 穗一 r 2 i r 1 z s 工 东南大学硕士学位论文 现在 我们要证 l 一u l 一是一个李同态 设7 r t l u l t l i 则u 为7 r 在 l 上的限制 并且显然有k e r t r i 即7 r 1 l 圆t 1 2 r 2 1 2 r 1 1 1 一 l l 2 2 0 所以 我们有 玎西忑一币万瓦i j 虱砑i 一丽i 可 0 这个式子实际上为百万一 r z 云 兄 t i 一口i 曰 0 也就是 1 1 i i 面 即钍 f 1 1 2 阻 f u f 结合引理3 2 2 中的结果 可得u 是一个李一 同态 下面我只要验证 对范畴h m 中任意的一个结合代数a 及其导出李代数a 一 以及任意 的李同态 l a 一 总存在唯一的代数同态g u l a 且g 为范畴月m 中态射 并 使得下图可换 l l 首先 把工到a 的映射 扩张到t l 上 由张量代数的性质 我们可以得到唯一的 t l 一a 使得下图可换 t 这里 对任意的i 厶 l 广 f 巾 广 1 1 0 t 固tz 圆 t 1 t 又因为 是 工到a 一的李同态 于是 我们有 i s f s f t f s 一 r 2 s 冗 1 z 从而可得 i t 叫一l o ts 冗 2 s o t r 1 1 l s 一 1 s r 2 s r 1 2 z s 一 j s r 2 s r 1 f 0 因此 k e r t rck e r f 由同态基本定理 存在唯一的映射g u l 一a 使得g t r 广 东南大学硕士学位论文 9 u f 即下面的图可交换 v f t l 7 r u l t l i 然后 我们只需验证g 是范畴j j r m 中的态射 并且为代数同态即可 为证g 是代数同态 方 便起见 我们只检查下式 g 1 1 1 2 g 1 l 圆t1 2 g l r 1 lo t1 2 f 1 lo f 2 f 1 1 f 1 2 g 1 1 g 1 2 z 1 1 2 l 另外 我们有 g h 1 1 i n g h 1 1 圆t 圆t2 n g r h 1 1 圆t o tk 盯 h l 1 1o 圆h h i 1 1o 圆 k l f h l z 1 f h 2 h i f z 1 k f z n h 朋 k h g i g l h 9 z 1 k 于是 g 是一个左王l 模同态 证毕 注3 2 4 u l 中元素的形式是j l o t 圆t k i 1 1 0 t o t k 1 1 z 厶 l 命题3 2 5 设厶 工 是范畴h m 中的李代数 且u l 和u l 2 分别为其泛包络代 数 则存在一个左上卜模代数同态妒 u l 1 0 l 2 u l 1 o t u l 2 即妒既是范畴h m 中 态射 又是代数同态 证明 定义 工1o 三2 一u l 1 圆tu l 2 为 z z 7 一fo t1 1o t2 7 1 首先 我们证明 是一个左弘模同态 即范畴h m 中态射 证明如下 h f 1 f h 圆t 1 1 圆 j h 1 z 圆h 2 1 t h 1 1 圆h 2 j h i z o e t h 2 1 旬 1 1 h 2 f 7 l l h z 0 1 2 1 s 1 1 1 0 1 2 h f 7 h z o t ld 白 s 1 1 1 0 l h 2 h z 圆t 1 e t e 1 1 1 0 1 2 h l h z o t l 岛 1 1 1 圆1 2 h z h f o t l 1 i 1 1 1 1 0 1 2 h f h f o t l 1 1 e 1 2 1 圆1 3 h f 7 h z o t l 1 0 th f 7 h 2 0 1 1 th j f h h f 7 f h z 2 1 3 东南大学硕士学位论文 2 由命题2 2 8 我们可得u 厶 圆t u l 2 是范畴h m 中的一个代数 于是u l 1 q u l 2 有导出李代数 u l 1 o tu l 2 一 下面 我们证明 l o 岛 u l o u l 一是一 个李同态 对任意的z s l l z 8 l 2 我们有 旷 z j i 8 s o t1 1o t 可 i o t1 1o t 翮 i o t l 1 圆t p 圆t 1 1 圆t 歹 一 r 2 p o t l 1 0 t 7 r 1 i 圆t 1 1 0 t f 1 t 1 p o t l i o t l 1 t 亨 1 0 t 可 p 圆 1 1 t 1 固 8 7 一 兄 2 p o t1 r 1 i o t1 一 r 2 o t1 r 1 1o 可 一 兄 2 1 t 刁 冗 1 i 圆 1 一 r 2 1 0 t 7 冗 1 1 圆t 可 o t l p o t l j o t l 1 p f 1 圆 f o 1 1 0 t i 7 1 圆 了 r 2 吾o t1 兄 1 i 圆t1 一 r 2 百o t1 1o tr 1 可 一 1 0 t r 2 了 r 1 i o t l 一 1 0 r 2 孑 1 圆z 冗 1 f 奉2 其中最后一步成立是因为 硝2 p o 1 一冗i 2 吾 磷 1 冗 2 百圆缸 磷 1 1 l 兄 2 i 0 1 2 1 r 2 百o t l r 1 i o t l r 1 7 p t l r 2 1 0 t 鼠 硝2 1 圆磷 歹 s 1 1 1 圆1 2 月 2 7 岛 s 1 1 圆1 2 r 2 歹 t 1 1 1 0 1 2 r 2 7 岛 1 1 1 0 1 2 r 2 7 1 1 1 0 1 2 r 2 7 1 0 t 兄 2 7 兄 1 1 0 t f 1 囟t r 1 f 然后我们分别计算 z 式中每一部分 1 圆t 1 o t l i 冗 2 r 1 1 1 1 1 2 r 2 0 1 3 咒 1 1 1 1 1 2 s 1 3 r 2 虿 o r 1 1 1 1 i 白 1 2 兄 2 百 圆r 0 1 1 l i 0 1 1 2 l r 2 吾 o 兄 1 1 1 1 i 1 2 1 3 兄 2 百 圆冗 1 1 1 1 1 1 e r 2 圆岛 r 1 1 1 1 1 2 1 0 1 1 1 1 i 1 2 i 固1 3 1 1 1 秸0 1 2 1 t 1 冗 2 否 1 兄 1 i 圆t1 雨 圆 1 元啊o 1 瓦甄 瓦啊 圆 1 兄 2 百 冗 1 i o t1 东南大学硕士学位论文 f 固t 1 1 0 ts 7 i z t c 2 1 o t 冗 1 1 歹 i 兄 2 1 o t e t i c l 1 7 z 1 1 1 o 1 2 1 7 i 固t 7 冗 2 百圆t 1 1 0 t 尉1 r 2 i o 冗 1 f 1 0 t f 降圆t 1 r 2 百圆t r 1 i 7 1 圆t r 2 7 硝1 i 圆t 1 r 2 兄 1 i o t r 1 兄 2 7 1 1 i o t l 2 7 1 1 1 1 i o1 1 2 7 i o t 一 1 圆t 可 1 0 歹 r 2 1 圆t r 1 孑 1 1 r 2 1 0 1 2 r 1 f 1 3 r 2 1o 1 2 s 一1 1 1 r 1 可 1 3 7 兄 2 1o s a 1 1 s 1 2 r 1 可 1 3 r 2 1 圆 s 一1 1 1 r 1 f 1 2 7 兄 2 1o 瓦 1 1 r c l 矿 1 2 动 c t 兄 2 1 0 1 l r 1 i 7 1 2 7 1 1 圆 1 1 s 1 f 1 2 7 1 1 0 1 i e 1 i f 1 2 7 自 r e l 1 固 1 a e t r 2 可 1 2 7 r 1 1 圆 1 1 e t r c 2 f 1 2 歹 s 1 1 1 0 1 1 1 f 1 2 歹 白 s 1 1 圆 1 1 1 1 2 1 i 1 0 1 1 1 矿 1 2 7 1 i 1o 1 1 1 可 1 2 7 1 1 1o 1 2 1 3 7 1 圆t f 1 0 t r 2 7 1 0 t 冗 1 矿 1 圆t r 2 7 r 2 i 7 综合以上结果 我们最终可得 1 z s s b 圆 1 一 兄 2 西 r 1 o t1 1o f 孑一1 圆t r 2 歹 r 2 司o 1 1 0 并且 另一方面 我们易得 z z s s p s z s 丽o 1 1 圆 丽 t 1 1 圆t 司 因此 1 j s s 陟 1 l i 8 s 即 为李同态 综合 1 2 的结果以及v l ol z 的泛性质可得 存在唯一一个左王卜模代数同态 妒 u l l o 上2 v l 1 t u 工2 证毕 定理3 2 6 设 日 冗 是三角弱h o p f 代数 l 是左口 模范畴h m 中的一个李代数 u 三 u 是由引理3 2 3 得到的l 的泛包络代数 则u l 是左日一模范畴日m 中的一个余 可换的h o p f 代数 对任意的f 厶b i u l 它的结构如下给出 i i 圆t1 1 圆t i a 1 1o t1 s 1 一i s 砝 兄 2 s e r 1 s 5 东南大学硕士学位论文 2 0 e 1 1 证明 1 设映射d l 工 工为j 一 f 2 显然d 是一个李同态 令 为命题3 2 5 中给出的映射 则f o d l u l o u l 一是一个李同态 因此 存在唯一一个左日一模 代数同态a u l u l 圆tu l 并且对任意的l l j 0 d f f 0 1 1 圆z 容易验证 i d o o a i d o a 和 i d 圆 o a 0 圆i d o a i d 成立 为证明u l 是余可换的 我们首先需要证明 对任意的i z 1 p u 工 n n z 具有如下形式 2 n 1 f 一t 吼 t 坟 i 雪 n t 圆t 堍 这里的皿如 1 式所定义 d 玩 z 3 i 1 我们用归纳法来证明 3 式 因为皿 1 t i r 2 圆t 冗 1 1 r 2 o t 鼠 r 1 1 i o t l 所以 当n 1 时 易得 i 1 0 i 皿 1 圆 i 当n 2 时 由命题3 2 5 的证明过程 有 b i i 1 i i 圆t1 1 圆t 百 吾o t1 1 0 t i 1 圆t 百 i 圆 1 1 0 吾 1 圆 i o t l i 圆t 1 p 圆t 1 1 0 t 括 l o t i 皿0 圆t 吾 十皿 1 0 t2 i 假设当竹 k 时 有 f 一i k 耋1 啦o t 玩 皿 n t 圆t 以 成立 然后我们计算n 七 1 的情形 z 1 1 1 f 1 l k j 1 2 k l 嘶 如 霍 啦 t 缸 1 t 而 皿 1 圆t 阿 i 1 2 k 一1 吼b 1 1 t 玎 啦 t6 4 皿 1 圆t 玎 啦 t 玩 皿 1 圆t 而 i i 皿 啦圆tb i 1 固t k 1 2 k 一1 啦 t 以i 雨 皿 啦固t 如i j i 玎 啦圆t 玩 两干7 t 1 冗 2 玩o f r 1 a i 1 0 t i 而 2 k 一1 啦圆t 玩f 干7 雪 n t 玩而再 啦 r 2 耳玎 圆t r 1 玩 r 2 玩 o t r 1 a t 阿 皿 n r 2 i i 干t o r 1 玩 弘干t o t r 1 b i ro两0 雪 卜 至 坟 固 缸 一 d 东南大学硕士学位论文 其中 最后一步成立是因为 皿 啦 r 2 i 而 圆t r 1 以 兄 2 r 1 b i o tr 1 o r 2 i 雨 r 2 r 1 玩 圆t r i 啦 硝 r 2 i i 玎 r 2 z 2 r 1 如 圆t r 1 啦 z 1 r 2 i 雨 r 2 1 1 b 1 o r 1 n 1 2 i 雨 r 2 6 i 圆 i r 1 一a i l k 1 1 7 于是 3 式对任意的n n 成立 由此可得 z x r 皿 f f 故u l 是余可 换的 2 现在考虑s 对任意的z 厶s i 一i s 1 1 并且可以通过s 舌 5 r 2 s z r 1 s 5 5 z l 延拓到u l 上 为了行文方便 我们省略t l 中乘法运算 符号 直接记作6 c b c t l 首先 我们要证s 是范畴n m 中态射 即左日模一同态 为此我们定义雪 t 工 u l 使得 雪 1 一i 1 1 季 6 0 c r 2 季 c r 1 季