高考数学一轮复习 3.1导数与积分课件.ppt

课标版理数 3 1导数与积分 1 导数的有关概念 1 导数 如果当 x 0时 有极限 就说函数y f x 在x x0处可导 并把这个极限叫做f x 在x x0处的导数 或瞬时变化率 记作f x0 或y 即f x0 2 导函数 如果函数f x 在开区间 a b 内每一点都可导 那么 对开区间 a b 内每个值x 都对应一个确定的导数f x 于是 在区间 a b 内 f x 构成一个新的函数 叫做f x 在开区间 a b 内的导函数 记作f x 或y 注意 如果函数f x 在x x0处可导 那么函数y f x 在x x0处连续 2 导数的几何意义和物理意义 1 几何意义 函数f x 在x x0处的导数就是曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的 斜率 2 物理意义 若物体的运动路程与时间的关系是s s t 则s s t 在t t0处的 导数就是物体在t t0时刻的 瞬时速度 3 几种常见函数的导数 4 运算法则 1 导数的运算法则 u v u v uv u v uv v 0 2 复合函数的求导法则 y f u x 的导数为yx yu ux 5 定积分 1 概念 如果函数f x 在区间 a b 上连续 用分点a x0 x1 xi 1 xi xn b将区间 a b 等分成n个小区间 在每个小区间 xi 1 xi 上任取一点 i i 1 2 n 作和式 这里a和b分别叫做积分下限和积分上限 区间 a b 叫做积分区间 函数f x 叫做被积函数 x叫做积分变量 f x dx叫做被积式 2 性质a kf x dx kf x dx k为常数 b f1 x f2 x dx f1 x dx f2 x dx c f x dx f x dx f x dx a c b 3 微积分基本定理一般地 如果f x 是区间 a b 上的连续函数 并且f x f x 那么f x dx f b f a 这个结论叫做微积分基本定理 又叫做牛顿 莱布尼茨公式 为了方便 常常把f b f a 记作f x 即f x dx f x f b f a 4 常见求定积分的公式a xndx xn 1 n 1 b cdx cx c为常数 c sinxdx cosx d cosxdx sinx e dx lnx f exdx ex 1 已知函数f x cosx 则f f a b c d 答案d因为f x cosx 所以f x cosx sinx 所以f 又f 所以f f 选d 2 曲线y 3lnx x 2在点p0处的切线方程为4x y 1 0 则点p0的坐标是 a 0 1 b 1 1 c 1 3 d 1 0 答案c由题意知y 1 令y 4 解得x 1 此时4 1 y 1 0 解得y 3 点p0的坐标是 1 3 3 曲线y sinx 0 x 与x轴所围成图形的面积为 a 1b 2c d 答案b根据积分的应用可知所求面积为 选b 4 dx的值是 答案2 解析由定积分的意义可知dx表示由曲线y 直线x 2 直线x 2和x轴所围成图形的面积 即圆x2 y2 4的面积的一半 5 已知函数f x 2x a 2 若f x 在x a处的导数值为20 则a 答案解析f x 2 2x a 2 又f a 20 12a 20 a 6 如图 函数f x f x x2的图象在点p处的切线方程是y x 8 则f 5 f 5 答案 5解析 f x f x x 又 在点p处的切线斜率k 1 f 5 f 5 5 1 解得f 5 3 由点p 5 f 5 在切线y x 8上 可得f 5 3 又f 5 f 5 52 f 5 2 f 5 f 5 2 3 5 典例1 1 2014课标 8 5分 设曲线y ax ln x 1 在点 0 0 处的切线方程为y 2x 则a a 0b 1c 2d 3 2 2014大纲全国 7 5分 曲线y xex 1在点 1 1 处切线的斜率等于 a 2eb ec 2d 1答案 1 d 2 c解析 1 y a x 0时 y a 1 2 a 3 故选d 2 y x ex 1 x ex 1 1 x ex 1 曲线在点 1 1 处的切线斜率为y x 1 2 故选c 导数的概念及其几何意义 曲线y f x 在点p x0 y0 处的切线 与 过点p x0 y0 的切线 的区别与联系 1 曲线y f x 在点p x0 y0 处的切线是指切点为p 切线斜率为k f x0 的切线 是唯一的一条切线 2 曲线y f x 过点p x0 y0 的切线 是指切线经过p点 点p可以是切点 也可以不是切点 而且这样的直线可能有多条 1 1已知曲线y x3 1 求曲线在点p 2 4 处的切线方程 2 求曲线过点p 2 4 的切线方程 解析 1 y x2 曲线在点p 2 4 处的切线的斜率k 4 曲线在点p 2 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 2 设曲线y x3 与过点p 2 4 的切线相切于点a 则切线的斜 率k 切线方程为y x x0 即y x 点p 2 4 在切线上 4 2 即 3 4 0 4 4 0 x0 1 4 x0 1 x0 1 0 x0 1 x0 2 2 0 解得x0 1或x0 2 故所求切线的方程为4x y 4 0或x y 2 0 典例2求下列各函数的导数 1 y 2 y ln 2x 5 3 y 解析 1 y x3 y x3 x 2sinx 3x2 2x 3sinx x 2cosx 2 y ln 2x 5 由y lnu和u 2x 5复合而成 y lnu u 导数的运算 3 y 1 函数的求导原则对于函数求导 一般要遵循先化简 再求导的基本原则 在化简时 必须注意变换的等价性 在求导时 不但要重视求导法则的应用 而且要特别注意求 导法则对求导的制约作用 2 利用公式求导时 一定要注意公式的适用范围及符号 如 xn nxn 1中 n q cosx sinx 还要注意公式不要用混 如 ax axlna a 0 且a 1 而不是 ax xax 1 a 0 且a 1 还要特别注意 uv u v 2 1求下列函数的导数 1 y 3x3 4x 2x 1 2 y 3 y sin2x 2x e 解析 1 解法一 y 3x3 4x 2x 1 6x4 3x3 8x2 4x y 24x3 9x2 16x 4 解法二 y 3x3 4x 2x 1 3x3 4x 2x 1 9x2 4 2x 1 3x3 4x 2 24x3 9x2 16x 4 2 y 3 y cos2x 2x 2xln2 0 2cos2x 2xln2 典例3 1 2014陕西 3 5分 定积分 2x ex dx的值为 a e 2b e 1c ed e 1 2 2014山东 6 5分 直线y 4x与曲线y x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 a 2b 4c 2d 4答案 1 c 2 d解析 1 2x ex dx x2 ex 1 e1 1 e 故选c 2 由得x 0或x 2或x 2 舍 s 4x x3 dx 4 积分的运算及应用 1 利用微积分基本定理求积分的步骤 1 求被积函数f x 的一个原函数f x 2 计算f b f a 2 计算的关键是找到满足f x f x 的函数f x 可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到f x 3 用定积分几何意义求曲边梯形面积的常用方法 1 若以x为积分变量 则被积函数是以x为自变量的函数 所求图形的面积等于图象位于上面的函数减去图象位于下面的函数的积分 若以y为积分变量 此时被积函数是以y为自变量的函数 所求图形的面积等于图象