2007年全国中考数学压轴题精选全解之三.doc

2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之三45.（山东省济南市）24. 已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，点的坐标分别为，（1）求过点的直线的函数表达式；（2）在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标；（3）在（2）的条件下，如分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由ACOBxy第24题图解：（1）点，点坐标为设过点的直线的函数表达式为，由 得，第24题图1直线的函数表达式为（2）如图1，过点作，交轴于点，在和中， ，点为所求又，（3）这样的存在在中，由勾股定理得第24题图2如图1，当时，则，解得如图2，当时，则，解得46.(青岛市)24. 已知：如图，ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，PBQ是直角三角形?（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式解： 根据题意：APt cm，BQt cmABC中，ABBC3cm，B60，BP(3t ) cmPBQ中，BP3t，BQt，若PBQ是直角三角形，则BQP90或BPQ90当BQP90时，BQBP即t(3t )，t1 (秒)当BPQ90时，BPBQ3tt，t2 (秒)答：当t1秒或t2秒时，PBQ是直角三角形 过P作PMBC于M RtBPM中，sinB，PMPBsinB(3t )SPBQBQPM t (3t )ySABCSPBQ32 t (3t )y与t的关系式为： y 假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是ABC面积的，则S四边形APQCSABC 32t 23 t30(3) 24130，方程无解无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是ABC面积的 在RtPQM中，MQMQ 2PM 2PQ 2x2(1t ) 2(3t ) 23t29t9 t23ty，yy与x的关系式为：y47.(山东省泰州市) 29如图，中，它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒（1）求的度数（2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图），求点的运动速度（3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标（4）如果点保持（2）中的速度不变，那么点沿边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小，当点沿这两边运动时，使的点有几个？请说明理由（第29题图）ACBQDOPxy3010O5tS（第29题图）解: （1）（2）点的运动速度为2个单位/秒（3）（）当时，有最大值为，此时（4）当点沿这两边运动时，的点有2个当点与点重合时，当点运动到与点重合时，的长是12单位长度，作交轴于点，作轴于点，由得：，所以，从而第29题图所以当点在边上运动时，的点有1个同理当点在边上运动时，可算得而构成直角时交轴于，所以，从而的点也有1个所以当点沿这两边运动时，的点有2个48.(山东省东营市)24. 根据以下10个乘积，回答问题：1129； 1228； 1327； 1426； 1525；1624； 1723； 1822； 1921； 2020（1）试将以上各乘积分别写成一个“22”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； （3）试由、猜测一个一般性的结论（不要求证明） 解：112920292；122820282；132720272；142620262；152520252；162420242；172320232；182220222；192120212；202020202例如，1129；假设1129=22， 因为22=（）（）； 所以，可以令11，29解得，20，9故（或1129（209）（209）=20292 这10个乘积按照从小到大的顺序依次是： 若，a，b是自然数，则ab202400 若ab40，则ab202400 若abm，a，b是自然数，则ab 若abm，则ab 若a1b1a2b2a3b3anbn40且| a1b1|a2b2|a3b3| anbn|，则 a1b1a2b2a3b3 anbn若a1b1a2b2a3b3anbnm且| a1b1|a2b2|a3b3| anbn|，则a1b1a2b2a3b3 anbn49.(山东枣庄)25. 已知：如图，在ABC中，D为A月边上一点，A=36，AC=BC，AC2=ABAD(1)试说明：ADC和BDC都是等腰三角形，(2)若AB=1，求AC的长，(3)试构造一个等腰梯形，要求该梯形连同它的两条对角线所形成的8个三角形中有尽可能多的等腰三角形 解：(1)在ABC中，AC=BC，A36，B=A=36，ACB=108在ABC与CAD中，A=B=36AC2=ABAD，ABCCADACD=B=36CDB=72，DCB=108-36=72ADC和BDC都是等腰三角形 (2)设ACx，则AD=1-BD=1-BC=1-2xx2=1(1-x)，即x2x-10解得 （舍去)(3)说明：按照画出的梯形中，有4个，6个和8个等腰三角形三种情况分类得分有4个等腰三角形，得1分；有6个等腰三角形，得2分；有8个等腰三角形，得4分 50.(山东省滨州市)26. 如图12-1所示，在中，为的中点，动点在边上自由移动，动点在边上自由移动（1）点的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请指出为等腰三角形时动点的位置若不能，请说明理由（2）当时，设，求与之间的函数解析式，写出的取值范围（3）在满足（2）中的条件时，若以为圆心的圆与相切（如图12-2），试探究直线与的位置关系，并证明你的结论图12-1图12-2AEFOCBAEFOCB（图121）（图122）解：如图，（1）点移动的过程中，能成为的等腰三角形此时点的位置分别是：是的中点，与重合与重合，是的中点（2）在和中，又，（3）与相切，即又，点到和的距离相等与相切，点到的距离等于的半径与相切51.(日照市)24. 如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB=a,AD=b,BE=x()求证：AF=EC；()用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EEBC. （1）求出直线EE分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的 xb的值； （2）在直线EE经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE，直线BE与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？解: ()证明：AB=a，AD=b，BE=x ，S梯形ABEF= S梯形CDFEa(x+AF)=a(EC+b-AF)，2AF=EC+(b-x)又ECb-x，2AF=2EC，即AF=EC； ()（1）当直线EE经过原矩形的顶点D时，如图（一），ECEB，=.由ECb-x，EB=EB=x， DB=DC+CB=2a，得，xb= ；当直线EE经过原矩形的顶点A时，如图（二），在梯形AEBD中，ECEB,点C是DB的中点，CE=(AD+ EB)， 即b-x（bx），xb= (2) 如图（一）， 当直线EE 经过原矩形的顶点D时，BEEF证明：连接BFFDBE, FD=BE，四边形FBED是平行四边形，FBDE， FB=DE,又ECEB， 点C是DB的中点，DE=EE，FBEE, FB= EE，四边形BEEF是平行四边形BEEF如图（二）， 当直线EE 经过原矩形的顶点A时，显然BE与EF不平行，设直线EF与BE交于点G.过点E作EMBC于M， 则EM=a.xb=，EM=BC=b若BE与EF垂直，则有GBE+BEG=90，又BEGFECMEE， MEE+MEE=90，GBE=MEE.在RtBME中，tanEBM= tanGBE=在RtEME中，tanMEE =，又a0，b0，当时，BE与EF垂直.52.(山东省聊城市)25. 某市为了进一步改善居民的生活环境，园林处决定增加公园和公园的绿化面积已知公园分别有如图1，图2所示的阴影部分需铺设草坪，在甲、乙两地分别有同种草皮和出售，且售价一样若园林处向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价见下表：公园公园路程（千米）运算单价（元）路程（千米）运费单价（元）甲地乙地（注：运费单价指将每平方米草皮运送1千米所需的人民币）2m2m32m62m25m65m图1图2（1）分别求出公园需铺设草坪的面积；（结果精确到）（2）请设计出总运费最省的草皮运送方案，并说明理由解：（1）设公园需铺设草坪的面积分别为，根据题意，得设图2中圆的半径为，由图形知，圆心到矩形较长一边的距离为，所以，有于是，所以公园需铺设草坪的面积分别为和1008（2）设总运费为元，公园向甲地购买草皮，向乙地购买草皮由于公园需要购买的草皮面积总数为（），甲、乙两地出售的草皮面积总数为所以，公园向甲地购买草皮，向乙地购买草皮于是，有所以又由题意，得因为函数随的增大而增大，所以，当时，有最小值（元）因此，公园在甲地购买600，在乙地购买；公园在甲地购买（）此时，运送草皮的总运费最省53.(山东省泰安市非课改区)26. 如图，在中，是边上的高，是边上的一个动点（不与重合），垂足分别为（1）求证：；（2）与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；（第26题）（3）当时，为等腰直角三角形吗？并说明理由解: （1）证明：在和中，（第26题）（2）与垂直证明如下：在四边形中，四边形为矩形由（1）知为直角三角形，又即（3）当时，为等腰直角三角形，理由如下：，由（2）知：图14又为等腰直角三角形54.(山东省德州市)23. 已知：如图14，在中，为边上一点，（1）试说明：和都是等腰三角形；（2）若，求的值；（3）请你构造一个等腰梯形，使得该梯形连同它的两条对角线得到8个等腰三角形（标明各角的度数）解：（1）在中，在与中，；，和都是等腰三角形4分（2）设，则，即(有8个等腰三角形)解得（负根舍去）55.(河南省实验区) 23如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？B(0,4)A(6,0)EFO 是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为把A、B两点坐标代入上式，得 解之，得故抛物线解析式为，顶点为（2）点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，y0,y表示点E到OA的距离OA是的对角线，因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的取值范围是16 根据题意，当S = 24时，即化简，得 解之，得故所求的点E有两个，分别为E1（3，4），E2（4，4）点E1（3，4）满足OE = AE，所以是菱形；点E2（4，4）不满足OE = AE，所以不是菱形 当OAEF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是（3，3） 而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形56.(武汉市) 如图，在平面直角坐标系中，RtAOBRtCDA，且A(1，0)、B(0，2)，抛物线yax2ax2经过点C。(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P、Q的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图，E为BC延长线上一动点，过A、B、E三点作O，连结AE，在O上另有一点F，且AFAE，AF交BC于点G，连结BF。下列结论：BEBF的值不变；，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论。OxyBFAECOG(第25题图)O(第25题图)ABCDxy解：由RtAOBRtCDA得OD=2+1=3,CD=1C点坐标为(3,1),抛物线经过点C,1= (3)2 a(3)2，。抛物线的解析式为.在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。以AB边在AB右侧作正方形ABPQ。过P作PEOB于E，QGx轴于G，可证PBEAQGBAO，PEAGBO2，BEQGAO1，P点坐标为（2,1），Q点坐标为（1,1）。由（1）抛物线。当x2时，y1，当x,1时，y1。P、Q在抛物线上。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、Q（1,1），使四边形ABPQ是正方形。另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。延长CA交抛物线于Q，过B作BPCA交抛物线于P，连PQ，设直线CA、BP的解析式分别为y=k1x+b1, y=k2x+b2,A（1,0），C（3,1），CA的解析式，同理BP的解析式为，解方程组得Q点坐标为（1,1），同理得P点坐标为（2,1）。由勾股定理得AQBPAB，而BAQ90，四边形ABPQ是正方形。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、Q（1,1），使四边形ABPQ是正方形。另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。如图，将线段CA沿CA方向平移至AQ，C（3,1）的对应点是A（1,0），A（1,0）的对应点是Q（1,1），再将线段AQ沿AB方向平移至BP，同理可得P（2,1）BAC90，ABAC四边形ABPQ是正方形。经验证P（2,1）、Q（1,1）两点均在抛物线上。结论成立，证明如下：连EF，过F作FMBG交AB的延长线于M，则AMFABG，。由知ABC是等腰直角三角形，1245。AFAE，AEF145。EAF90，EF是O的直径。EBF90。FMBG，MFBEBF90，M245，BFMF，57.(荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)现将PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边上选取适当的点E，将POE沿PE翻折，得到PFE，并使直线PD、PF重合(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标图1图2解：(1)由已知PB平分APD，PE平分OPF，且PD、PF重合，则BPE=90OPEAPB=90又APBABP=90，OPE=PBARtPOERtBPA即y=(0x4)且当x=2时，y有最大值(2)由已知，PAB、POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)设过此三点的抛物线为y=ax2bxc，则y=(3)由(2)知EPB=90，即点Q与点B重合时满足条件直线PB为y=x1，与y轴交于点(0，1)将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，该直线为y=x1由得Q(5，6)故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件58.(湖北省宜昌市) 25.如图1，点A是直线ykx（k0，且k为常数）上一动点，以A为顶点的抛物线y(xh)2m交直线yx于另一点E，交 y 轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C.（点A,E,F两两不重合）(1)请写出h与m之间的关系；（用含的k式子表示）(2)当点A运动到使EF与x轴平行时(如图2)，求线段AC与OF的比值；(3)当点A运动到使点F的位置最低时(如图3)，求线段AC与OF的比值.（第25题图1）（第25题图2）（第25题图3）解(1)抛物线顶点(h，m)在直线ykx上，mkh；(1分)(2) 方法一：解方程组，将(2)代入(1)得到： (xh)2khkx，整理得：(xh)(xh)k0，解得：x1h， x2kh代入到方程(2) y1h y2k2hk所以点E坐标是(kh，k2hk) 当x0时，y(xh)2mh2kh，点F坐标是(0，h2kh)当EF和x轴平行时，点E，F的纵坐标相等，即k2khh2kh解得：hk(hk舍去，否则E，F，O重合)此时点E(2k，2k2)，F(0，2k2)，C(k,2k2)， A(k，k2)ACOFk22 k2 =12方法二：当x0时，y(xh)2mh2kh，即F (0，h2kh)当EF和x轴平行时，点E，F的纵坐标相等即点E的纵坐标为h2kh当yh2kh时，代入y(xh)2kh，解得x2h(0舍去，否则E，F，O重合)，即点E坐标为(2h，h2kh)，将此点横纵坐标代入ykx得到hk(h0舍去，否则点E，F，O重合) 此时点E(2k，2k2)，F(0，2k2)，C(k,2k2)，A(k，k2)ACOFk22 k2 =12方法三： EF与x轴平行，根据抛物线对称性得到FCECACFO，ECAEFO，FOECAEOFEACE，ACOFECEF12(3)当点F的位置处于最低时，其纵坐标h2kh最小，h2kh，当h，点F的位置最低，此时F(0，)解方程组得E(，)，A(，) 方法一：设直线EF的解析式为ypxq，将点E(，)，F(0，)的横纵坐标分别代入得解得：p，q，直线EF的解析式为yx 当x时，yk2，即点C的坐标为(，k2)，点A(，)，所以AC，而OF=，AC2OF，即ACOF2。方法二：E(，)，A(，)点A，E关于点O对称，AOOE，ACFO，ECAEFO，FOECAEOFEACE，ACOFECEF1259.(湖北省十堰市) 25已知矩形ABCD中，AB2，AD4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)。(1)写出A、B、C、D及AD的中点E的坐标；(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B、C的抛物线的解析式；(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；(4)PEB的面积SPEB与PBC的面积SPBC具有怎样的关系？证明你的结论。ABCDOExy(第25题图)60.(湖北省孝感市)25. 在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是： 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.（图1） （图2） 请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，BMP是什么三角形？请证明你的结论（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线为，当=60时，求k的值.此时，将ABM沿BM折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？ （图3）解：（1）BMP是等边三角形. 证明：连结AN EF垂直平分AB AN = BN由折叠知 AB = BN AN = AB = BN ABN为等边三角形 ABN =60 PBN =30 又ABM =NBM =30，BNM =A =90 BPN =60MBP =MBN +PBN =60BMP =60MBP =BMP =BPM =60BMP为等边三角形 . （2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边BMP，则BC BP在RtBNP中， BN = BA =a，PBN =30BP = b ab .当ab时，在矩形上能剪出这样的等边BMP.（3）MBC =60 ABM =9060=30在RtABM中，tanABM = tan30= AM =M(，2). 代入y=kx中 ，得k= 设ABM沿BM折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为过作H BC交BC于H.BM ABM =30, B = AB =2=30.在RtBH中， H =B =1 ，BH=落在EF上. (图2) (图3) 61.(恩施自治州) 24、如图12，形如三角板的ABC中，ACB=90