江苏省苏州市第五中学高考数学总复习 第4讲 数学归纳法及其应用课件.ppt

第4讲数学归纳法及其应用 知识梳理1 数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 n k 1 第一个值n0 n0 n 2 数学归纳法的框图表示 辨析感悟1 数学归纳法原理 1 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n 1时结论成立 2 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 用数学归纳法证明问题时 归纳假设可以不用 感悟 提升 1 数学归纳法是一种重要的数学思想方法 主要用于解决与正整数有关的数学问题 证明时步骤 1 和 2 缺一不可 步骤 1 是步骤 2 的基础 步骤 2 是递推的依据 2 在用数学归纳法证明时 第 1 步验算n n0的n0不一定为1 而是根据题目要求选择合适的起始值 如 4 检验n的值从n 3开始 因此 1 不正确 第 2 步 证明n k 1时命题也成立的过程 一定要用到归纳假设 否则就不是数学归纳法 如 3 考点一用数学归纳法证明等式 例1 2012 天津卷改编 已知等差数列 an 的公差为3 其前n项和为sn 等比数列 bn 的公比为2 且a1 b1 2 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 记tn anb1 an 1b2 a1bn n n 证明tn 12 2an 10bn n n 审题路线 1 代入等差 等比数列的通项公式求an bn 2 注意到所证结论是关于 n 的命题 可运用数学归纳法证明 1 解由a1 2 公差d 3 an a1 n 1 d 3n 1 在等比数列 bn 中 公比q 2 首项b1 2 bn 2 2n 1 2n 2 证明 当n 1时 t1 12 a1b1 12 16 2a1 10b1 16 故等式成立 假设当n k时等式成立 即tk 12 2ak 10bk 当n k 1时 tk 1 ak 1b1 akb2 ak 1b3 a1bk 1 ak 1b1 q akb1 ak 1b2 a1bk ak 1b1 qtk ak 1b1 q 2ak 10bk 12 2ak 1 4 ak 1 3 10bk 1 24 2ak 1 10bk 1 12 即tk 1 12 2ak 1 10bk 1 因此n k 1时等式也成立 由 可知 对任意n n tn 12 2an 10bn成立 规律方法 1 用数学归纳法证明等式问题 要 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是多少 2 由n k时等式成立 推出n k 1时等式成立 一要找出等式两边的变化 差异 明确变形目标 二要充分利用归纳假设 进行合理变形 正确写出证明过程 训练1 求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n n 证明 1 当n 1时 等式左边 2 右边 21 1 2 等式成立 2 假设当n k k n 时 等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 5 2k 1 当n k 1时 左边 k 2 k 3 2k 2k 1 2k 2 2 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2 2k 1 3 5 2k 1 2k 1 2k 1 1 3 5 2k 1 2k 1 这就是说当n k 1时 等式成立 根据 1 2 知 对n n 原等式成立 考点二用数学归纳法证明不等式 规律方法用数学归纳法证明不等式的关键是由n k时命题成立证n k 1时命题也成立 在归纳假设使用后可运用比较法 综合法 分析法 放缩法等来加以证明 充分应用基本不等式 不等式的性质等放缩技巧 使问题得以简化 训练2 若函数f x x2 2x 3 定义数列 xn 如下 x1 2 xn 1是过点p 4 5 qn xn f xn 的直线pqn与x轴的交点的横坐标 试运用数学归纳法证明 2 xn xn 1 3 考点三归纳 猜想 证明 1 求a1 a2 a3 并猜想 an 的通项公式 2 证明通项公式的正确性 审题路线从特殊入手 正确计算a1 a2 a3 探求an与n的一般关系 运用数学归纳法严格证明 规律方法 归纳 猜想 证明 的模式 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式 这种方法在解决探索性问题 存在性问题时起着重要作用 它的模式是先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理证明结论的正确性 解 f x x2 1 an 1 f an 1 an 1 an 1 2 1 函数g x x 1 2 1 x2 2x在区间 1 上单调递增 于是由a1 1 得a2 a1 1 2 1 22 1 进而得a3 a2 1 2 1 24 1 23 1 由此猜想 an 2n 1 下面用数学归纳法证明这个猜想 1 当n 1时 a1 21 1 1 结论成立 1 在数学归纳法中 归纳奠基和归纳递推缺一不可 在较复杂的式子中 注意由n k到n k 1时 式子中项数的变化应仔细分析 观察通项 同时还应注意 不用假设的证法不是数学归纳法 2 对于证明等式问题 在证n k 1等式也成立时 应及时把结论和推导过程对比 以减少计算时的复杂程度 对于整除性问题 关键是凑假设 证明不等式时 一般要运用放缩法 3 归纳 猜想