高考数学一轮复习 2.2函数的基本性质课件.ppt

课标版理数 2 2函数的基本性质 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 2 单调区间的定义若函数f x 在区间i上是 单调增函数或 单调减函数 则称函数f x 在这一区间上具有单调性 区间i叫做y f x 的单调区间 2 函数的最值 3 奇 偶函数的概念一般地 设函数y f x 的定义域为a 如果对于任意的x a 都有 f x f x 那么称函数y f x 是偶函数 如果对于任意的x a 都有 f x f x 那么称函数y f x 是奇函数 奇函数的图象关于 原点对称 偶函数的图象关于 y轴对称 4 奇 偶函数的性质 1 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 2 在公共定义域内a 两个奇函数的和是奇函数 两个奇函数的积是偶函数 b 两个偶函数的和 积都是偶函数 c 一个奇函数 一个偶函数的积是奇函数 5 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有f x t f x 那么就称函数y f x 为周期函数 称t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 6 对称性若函数f x 满足f a x f a x 或f x f 2a x 则函数f x 的图象关于直线x a 对称 1 下列函数中 在区间 0 1 上是增函数的是 a y x b y 3 xc y d y x2 4 答案ay 3 x在r上递减 y 在 0 上递减 y x2 4在 0 上递减 故选a 2 已知f x 为奇函数 在 3 6 上是增函数 且在 3 6 上的最大值为8 最小值为 1 则2f 6 f 3 等于 a 15b 13c 5d 5答案a 函数在 3 6 上是增函数 f 6 8 f 3 1 又函数为奇函数 2f 6 f 3 2f 6 f 3 2 8 1 15 选a 3 若偶函数f x 在 1 上是增函数 则下列关系式中成立的是 a f f 1 f 2 b f 1 f f 2 c f 2 f 1 fd f 2 f f 1 答案d由题意得f 2 f 2 又 2 1 所以f 2 f 2 f f 1 故选d 4 定义在r上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2012 等于 a 335b 338c 1678d 2012答案b由f x 6 f x 得f x 的周期为6 所以f 1 f 2 f 2012 335 f 1 f 2 f 6 f 1 f 2 而f 1 1 f 2 2 f 3 f 3 1 f 4 f 2 0 f 5 f 1 1 f 6 f 0 0 f 1 f 2 f 3 f 6 1 所以f 1 f 2 f 2012 338 故选b项 5 已知函数f x x bcosx 其中b为常数 那么 b 0 是 f x 为奇函数 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案cf x 为奇函数 f x f x x r x bcos x x bcosx x r bcosx bcosx 0 x r b 0 故选c 典例1 1 2014北京 2 5分 下列函数中 在区间 0 上为增函数的是 a y b y x 1 2c y 2 xd y log0 5 x 1 2 2014天津武清三模 函数f x max x2 x 1 x2 的单调增区间是 a 1 b 0 1 c d 0 1 函数的单调性 除c 因为y log0 5t为减函数 t x 1为增函数 所以y log0 5 x 1 为减函数 排除d y 和t x 1均为增函数 所以y 为增函数 故选a 2 令x2 x 1 x2得x 或x 1 画出函数f x 图象 如图 答案 1 a 2 a解析 1 y x 1 2仅在 1 上为增函数 排除b y 2 x 为减函数 排 观察图象得增区间为和 1 故选a 1 讨论函数单调性 一定要先确定定义域 然后根据所给函数的结构特征及要求选择合适的方法求解 最后结果一定要写成区间的形式 当同增 减 区 间不连续时 不能用并集符合连接 2 用定义法证明函数的单调性的步骤 取值 作差 变形 确定符号 下结论 3 求复合函数y f g x 的单调区间的步骤 1 确定定义域 2 将复合函数分解成基本初等函数 y f u u g x 3 分别确定这两个函数的单调区间 4 若这两个函数同增同减 则y f g x 为增函数 若一增一减 则y f g x 为减函数 即 同增异减 4 已知函数的单调性求参数的取值范围 可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解 需注意的是 若函数在区间 a b 上是单调的 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的 特别地 要注意定义域这一隐性的限制条件 1 1求函数y lo 2x2 3x 1 的递减区间 解析由2x2 3x 1 0 得函数的定义域为 1 令t 2x2 3x 1 则y lot t 2x2 3x 1 2 1 为t 2x2 3x 1的单调增区间 又y lot在 0 上是减函数 函数y lo 2x2 3x 1 的单调减区间为 1 1 2已知函数f x 若f 3 a2 f 2a 则实数a的取值范围是 答案 3 a 1解析根据所给的分段函数 画函数图象如下 可知已知函数在整个定义域上是单调递减的 由f 3 a2 2a 解得 3 a 1 典例2 2014辽宁沈阳质检四 11 若函数f x 在区间 2 2 上的最大值为2 则实数a的取值范围是 a b c 0 d 答案d解析f 1 2 1 3 3 1 2 1 2 当函数f x eax x 0 的图象过点 2 2 时 a ln2 当x 0时 f x 在x 1处取得最大值2 结合函数f x eax x 0 的单调性知 要满足函数f x 在区间 2 2 上的最大值为2 只需a ln2 故选d 利用函数单调性求最值 1 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义 结合题目所给性质和相应的条件 对任意x1 x2在所给区间内比较f x1 f x2 与0的大小 或与1的大小 有时根据需要 需作适当的变形 如x1 x2 或x2 x2 x1 x1 2 求函数的值域常常化归为求函数的最值问题 要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用 2 1已知函数f x 对于任意x y r 总有f x f y f x y 且当x 0时 f x 0 f 1 1 求证 f x 在r上是减函数 2 求f x 在 3 3 上的最大值和最小值 解析 1 证明 函数f x 对于任意x y r 总有f x f y f x y 令x y 0 得f 0 0 再令y x 得f x f x 在r上任取x1 x2 则x1 x2 0 又 当x 0时 f x 0 f x1 x2 0 又f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 f x1 f x2 因此f x 在r上是减函数 2 f x 在r上是减函数 f x 在 3 3 上也是减函数 f x 在 3 3 上的最大值和最小值分别为f 3 与f 3 而f 3 3f 1 2 f 3 f 3 2 f x 在 3 3 上的最大值为2 最小值为 2 典例3 1 2014课标 3 5分 设函数f x g x 的定义域都为r 且f x 是奇函数 g x 是偶函数 则下列结论中正确的是 a f x g x 是偶函数b f x g x 是奇函数c f x g x 是奇函数d f x g x 是奇函数 2 2014四川 12 5分 设f x 是定义在r上的周期为2的函数 当x 1 1 时 f x 则f 答案 1 c 2 1解析 1 由题意可知f x f x g x g x 对于选项a f x g x f x g x 所以f x g x 是奇函数 故a项错误 对于选项b f x g x f x g x f x 函数的奇偶性与周期性 g x 所以 f x g x 是偶函数 故b项错误 对于选项c f x g x f x g x 所以f x g x 是奇函数 故c项正确 对于选项d f x g x f x g x f x g x 所以 f x g x 是偶函数 故d项错误 选c 2 f f f 4 2 1 1 判断函数的奇偶性 首先应该判断函数定义域是否关于原点对称 若不对称 则函数是非奇非偶函数 若对称 再判断是否满足f x f x 或f x f x 函数定义域关于原点对称 是函数具有奇偶性的必要不充分条件 2 若函数是奇 偶 函数 则对定义域内的每一个x 均有f x f x f x f x 而不能说存在x0使f x0 f x0 f x0 f x0 3 判断函数的周期性只需证明对定义域内任意x 均有f x t f x t 0 便可证明函数是周期函数 且周期为t 函数的周期性常与函数的其他性质综合命题 3 1已知f x 是定义在r上的偶函数 g x 是定义在r上的奇函数 且g x f x 1 则f 2011 f 2013 的值为