高考数学大一轮复习 4.8三角函数模型及解三角形应用举例课件 理 苏教版.ppt

4 8三角函数模型及解三角形应用举例 第四章三角函数 解三角形 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 2 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题 高度问题 角度问题 计算面积问题 航海问题 物理问题等 3 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线叫仰角 目标视线在水平视线叫俯角 如图 上方 下方 2 方向角 相对于某正方向的水平角 如南偏东30 北偏西45 等 3 方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角 如b点的方位角为 如图 4 坡度 坡面与水平面所成的二面角的正切值 正北 4 解三角形应用题的一般步骤 1 阅读理解题意 弄清问题的实际背景 明确已知与未知 理清量与量之间的关系 2 根据题意画出示意图 将实际问题抽象成解三角形问题的模型 3 根据题意选择正弦定理或余弦定理求解 4 将三角形问题还原为实际问题 注意实际问题中的有关单位问题 近似计算的要求等 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 仰角与俯角都是目标视线和水平线的夹角 故仰角与俯角没有区别 2 从a处望b处的仰角为 从b处望a处的俯角为 则 的关系不能确定 3 若p在q的北偏东44 则q在p的东偏北46 4 如果在测量中 某渠道斜坡坡比为 设 为坡角 那么cos 5 如图 为了测量隧道口ab的长度 可测量数据a b 进行计算 130 解析 在 abc中 ab 40 ac 20 bac 120 由余弦定理 得bc2 ab2 ac2 2ab ac cos120 2800 所以bc 20 由正弦定理 得 由 bac 120 知 acb为锐角 解析 故cos cos acb 30 题型一测量距离 高度问题 例1 1 2014 四川 如图 从气球a上测得正前方的河流的两岸b c的俯角分别为67 30 此时气球的高是46m 则河流的宽度bc约等于 m 用四舍五入法将结果精确到个位 参考数据 sin67 0 92 cos67 0 39 sin37 0 60 cos37 0 80 1 73 解析 思维升华 思维点拨 利用正弦定理解 abc 解析 思维升华 思维点拨 在 abc中 bca 30 bac 37 答案60 解析 思维升华 思维点拨 这类实际应用题 实质就是解三角形问题 一般都离不开正弦定理和余弦定理 在解题中 首先要正确地画出符合题意的示意图 然后将问题转化为三角形问题去求解 在测量高度时 要正确理解仰角 俯角的概念 画出准确的示意图 注意综合应用方程 平面几何和立体几何等知识 解析 思维升华 思维点拨 例1 2 某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进40米后 望见塔在东北方向 若沿途测得塔顶的最大仰角为30 求塔高 思维点拨 解析 思维升华 依题意画图 某人在c处 ab为塔高 他沿cd前进 cd 40米 此时 dbf 45 从c到d沿途测塔的仰角 只有b到测试点的距离最短时 仰角才最大 这是因为tan aeb 例1 2 某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进40米后 望见塔在东北方向 若沿途测得塔顶的最大仰角为30 求塔高 思维点拨 解析 思维升华 ab为定值 be最小时 仰角最大 要求塔高ab 必须先求be 而要求be 需先求bd 或bc 例1 2 某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进40米后 望见塔在东北方向 若沿途测得塔顶的最大仰角为30 求塔高 思维点拨 解析 思维升华 例1 2 某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进40米后 望见塔在东北方向 若沿途测得塔顶的最大仰角为30 求塔高 解如图所示 某人在c处 ab为塔高 他沿cd前进 cd 40 此时 dbf 45 思维点拨 解析 思维升华 例1 2 某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进40米后 望见塔在东北方向 若沿途测得塔顶的最大仰角为30 求塔高 过点b作be cd于e 则 aeb 30 在 bcd中 cd 40 bcd 30 dbc 135 由正弦定理 得 思维点拨 解析 思维升华 例1 2 某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进40米后 望见塔在东北方向 若沿途测得塔顶的最大仰角为30 求塔高 bde 180 135 30 15 在rt bed中 思维点拨 解析 思维升华 例1 2 某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进40米后 望见塔在东北方向 若沿途测得塔顶的最大仰角为30 求塔高 be dbsin15 在rt abe中 aeb 30 思维点拨 解析 思维升华 例1 2 某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进40米后 望见塔在东北方向 若沿途测得塔顶的最大仰角为30 求塔高 思维点拨 解析 思维升华 例1 2 某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进40米后 望见塔在东北方向 若沿途测得塔顶的最大仰角为30 求塔高 这类实际应用题 实质就是解三角形问题 一般都离不开正弦定理和余弦定理 在解题中 首先要正确地画出符合题意的示意图 然后将问题转化为三角形问题去求解 思维点拨 解析 思维升华 例1 2 某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进40米后 望见塔在东北方向 若沿途测得塔顶的最大仰角为30 求塔高 在测量高度时 要正确理解仰角 俯角的概念 画出准确的示意图 注意综合应用方程 平面几何和立体几何等知识 思维点拨 解析 思维升华 解析在 pab中 pab 30 apb 15 ab 60 sin15 sin 45 30 sin45 cos30 cos45 sin30 跟踪训练1 1 如图所示 为测一树的高度 在地面上选取a b两点 从a b两点分别测得树尖的仰角为30 45 且a b两点间的距离为60m 则树的高度为 m 跟踪训练1 1 如图所示 为测一树的高度 在地面上选取a b两点 从a b两点分别测得树尖的仰角为30 45 且a b两点间的距离为60m 则树的高度为 m 跟踪训练1 1 如图所示 为测一树的高度 在地面上选取a b两点 从a b两点分别测得树尖的仰角为30 45 且a b两点间的距离为60m 则树的高度为 m 跟踪训练1 1 如图所示 为测一树的高度 在地面上选取a b两点 从a b两点分别测得树尖的仰角为30 45 且a b两点间的距离为60m 则树的高度为 m 2 2013 江苏 如图 游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种路径 一种是从a沿直线步行到c 另一种是先从a沿索道乘缆车到b 然后从b沿直线步行到c 现有甲 乙两位游客从a处下山 甲沿ac匀速步行 速度为50m min 在甲出发2min后 乙从a乘缆车到b 在b处停留1min后 再从b匀速步行到c 假设缆车匀速直线运动的速度为130m min 山路ac长为1260m 经测量cosa cosc 求索道ab的长 从而sinb sin a c sin a c sinacosc cosasinc 求索道ab的长 所以索道ab的长为1040m 问 乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 所以由余弦定理得 200 37t2 70t 50 问 乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟 乙步行的速度应控制在什么范围内 乙从b出发时 甲已走了50 2 8 1 550 m 还需走710m才能到达c 为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟 乙步行的速度应控制在什么范围内 例2如图 在海岸a处发现北偏东45 方向 距a处 1 海里的b处有一艘走私船 在a处北偏西75 方向 距a处2海里的c处的我方缉私船奉命以10海里 小时的速度追截走私船 此时走私船正以10海里 小时的速度 以b处向北偏东30 方向逃窜 问 缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船 并求出所需时间 题型二测量角度问题 解析 思维升华 思维点拨 设缉私船t小时后在d处追上走私船 确定出三角形 先利用余弦定理求出bc 再利用正弦定理求出时间 解析 思维升华 思维点拨 解设缉私船应沿cd方向行驶t小时 才能最快截获 在d点 走私船 在 abc中 由余弦定理 有bc2 ab2 ac2 2ab accos bac 解析 思维升华 思维点拨 abc 45 b点在c点的正东方向上 cbd 90 30 120 解析 思维升华 思维点拨 bcd 30 缉私船沿北偏东60 的方向行驶 又在 bcd中 cbd 120 bcd 30 解析 思维升华 思维点拨 缉私船应沿北偏东60 的方向行驶 才能最快截获走私船 大约需要15分钟 解析 思维升华 思维点拨 测量角度问题的一般步骤 1 在弄清题意的基础上 画出表示实际问题的图形 并在图形中标出有关的角和距离 2 用正弦定理或余弦定理解三角形 3 将解得的结果转化为实际问题的解 解析 思维升华 思维点拨 跟踪训练2如图 两座相距60m的建筑物ab cd的高度分别为20m 50m bd为水平面 求从建筑物ab的顶端a看建筑物cd的张角的大小 又cd 50 m 所以在 acd中 由余弦定理得cos cad 跟踪训练2如图 两座相距60m的建筑物ab cd的高度分别为20m 50m bd为水平面 求从建筑物ab的顶端a看建筑物cd的张角的大小 跟踪训练2如图 两座相距60m的建筑物ab cd的高度分别为20m 50m bd为水平面 求从建筑物ab的顶端a看建筑物cd的张角的大小 又0 cad 180 所以 cad 45 跟踪训练2如图 两座相距60m的建筑物ab cd的高度分别为20m 50m bd为水平面 求从建筑物ab的顶端a看建筑物cd的张角的大小 题型三利用三角函数模型求最值例3如图 在直径为1的圆o中 作一关于圆心对称 邻边互相垂直的十字形 其中y x 0 1 将十字形的面积表示为 的函数 思维点拨 解析 思维升华 题型三利用三角函数模型求最值例3如图 在直径为1的圆o中 作一关于圆心对称 邻边互相垂直的十字形 其中y x 0 1 将十字形的面积表示为 的函数 由题图可得 x cos y sin 列出面积函数后 利用三角函数性质求解 注意 的范围 思维点拨 解析 思维升华 解设s为十字形的面积 题型三利用三角函数模型求最值例3如图 在直径为1的圆o中 作一关于圆心对称 邻边互相垂直的十字形 其中y x 0 1 将十字形的面积表示为 的函数 思维点拨 解析 思维升华 三角函数作为一类特殊的函数 可利用其本身的值域来求函数的最值 题型三利用三角函数模型求最值例3如图 在直径为1的圆o中 作一关于圆心对称 邻边互相垂直的十字形 其中y x 0 1 将十字形的面积表示为 的函数 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 满足何种条件时 十字形的面积最大 最大面积是多少 思维点拨 解析 思维升华 由题图可得 x cos y sin 列出面积函数后 利用三角函数性质求解 注意 的范围 例3 2 满足何种条件时 十字形的面积最大 最大面积是多少 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 满足何种条件时 十字形的面积最大 最大面积是多少 当sin 2 1 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 满足何种条件时 十字形的面积最大 最大面积是多少 思维点拨 解析 思维升华 三角函数作为一类特殊的函数 可利用其本身的值域来求函数的最值 例3 2 满足何种条件时 十字形的面积最大 最大面积是多少 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练3如图为一个缆车示意图 该缆车半径为4 8米 圆上最低点与地面距离为0 8米 且60秒转动一圈 图中oa与地面垂直 以oa为始边 逆时针转动 角到ob 设b点与地面间的距离为h 1 求h与 间关系的函数解析式 解以圆心o为原点 建立如图所示的平面直角坐标系 2 设从oa开始转动 经过t秒后到达ob 求h与t之间的函数关系式 并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少 到达最高点时 h 10 4米 2 设从oa开始转动 经过t秒后到达ob 求h与t之间的函数关系式 并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少 缆车到达最高点时 用的最少时间为30秒 典例 14分 某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港口o北偏西30 且与该港口相距20海里的a处 并正以30海里 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v海里 小时的航行速度匀速行驶 经过t小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 思想与方法系列6函数思想在解三角形中的应用 规范解答 温馨提醒 解设相遇时小艇的航行距离为s海里 规范解答 温馨提醒 相遇小艇的航行距离最小 规范解答 温馨提醒 在解决数学问题时 有一种从未知转化为已知的手段 就是通过引入变量 寻找已知与未知之间的等量关系 构造函数 然后借助函数的变化趋势来分析或预测未知量的变化情况 这就是函数思想 在解三角形应用举例中 借助函数思想可以解决以下两类问题 1 距离最短的追缉问题 2 仰角 或视角 最大问题 求解此类问题时可先借助三角形中的正 余 弦定理建立等量关系 然后借助函数的知识 如二次函数最值的求法 导数等 探求最优解 规范解答 温馨提醒 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 规范解答 温馨提醒 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 解设小艇与轮船在b处相遇 则v2t2 400 900t2 2 20 30t cos 90 30 规范解答 温馨提醒 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 0 v 30 规范解答 温馨提醒 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 此时 在 oab中 有oa ob ab 20 规范解答 温馨提醒 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 故可设计航行方案如下 航行方向为北偏东30 航行速度为30海里 小时 规范解答 温馨提醒 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 在解决数学问题时 有一种从未知转化为已知的手段 就是通过引入变量 寻找已知与未知之间的等量关系 构造函数 然后借助函数的变化趋势来分析或预测未知量的变化情况 这就是函数思想 规范解答 温馨提醒 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 在解三角形应用举例中 借助函数思想可以解决以下两类问题 1 距离最短的追缉问题 2 仰角 或视角 最大问题 规范解答 温馨提醒 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 求解此类问题时可先借助三角形中的正 余 弦定理建立等量关系 然后借助函数的知识 如二次函数最值的求法 导数等 探求最优解 规范解答 温馨提醒 方法与技巧 1 合理应用仰角 俯角 方位角 方向角等概念建立三角函数模型 2 把生活中的问题化为二维空间解决 即在一个平面上利用三角函数求值 3 合理运用换元法 代入法解决实际问题 失误与防范 在解实际问题时 应正确理解如下角的含义 1 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角 2 方位角 从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角 3 坡度 坡面与水平面所成的二面角的正切值 4 仰角与俯角 与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线上方时称为仰角 目标视线在水平视线下方时称为俯角 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 有一长为1的斜坡 它的倾斜角为20 现高不变 将倾斜角改为10 则斜坡长为 可用正弦 余弦值表示 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 ab 1 adc 10 abd 160 解析如图 abc 20 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 答案2cos10 3 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱 为了测量喷水柱喷出的水柱的高度 某人在喷水柱正西方向的点a测得水柱顶端的仰角为45 沿点a向北偏东30 前进100m到达点b 在b点测得水柱顶端的仰角为30 则水柱的高度是 m 2 4 5 6 7 8 9 1 10 3 2 4 5 6 7 8 9 1 10 3 解析设水柱高度是hm 水柱底端为c 则在 abc中 a 60 ac h 即h2 50h 5000 0 即 h 50 h 100 0 即h 50 故水柱的高度是50m 答案50 4 如图所示 b c d三点在地面的同一直线上 dc a 从c d两点测得a点的仰角分别为 和 则a点距地面的高ab为 2 3 5 6 7 8 9 1 10 4 4 如图所示 b c d三点在地面的同一直线上 dc a 从c d两点测得a点的仰角分别为 和 则a点距地面的高ab为 2 3 5 6 7 8 9 1 10 4 5 已知a b两地的距离为10km b c两地的距离为20km 现测得 abc 120 则a c两地的距离为 km 2 3 4 6 7 8 9 1 10 5 解析由余弦定理ac2 ab2 bc2 2ab bc cos abc 100 400 2 10 20 700 6 如图 设a b两点在河的两岸 一测量者在点a的同侧的河岸边选定一点c 测出ac的距离为50m acb 45 cab 105 则a b两点的距离为 m 2 3 4 5 7 8 9 1 10 6 解析在 abc中 acb 45 cab 105 b 180 105 45 30 2 3 4 5 7 8 9 1 10 6 7 两座灯塔a和b与海岸观察站c的距离相等 灯塔a在观察站北偏东40 灯塔b在观察站南偏东60 则灯塔a在灯塔b的 方向 2 3 4 5 6 8 9 1 10 7 解析灯塔a b的相对位置如图所示 由已知得 acb 80 cab cba 50 则 60 50 10 即北偏西10 a 北偏西10 8 在200m高的山顶上 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30 60 如图所示 则塔高cb为 m 2 3 4 5 6 7 9 1 10 8 解析由已知 在rt oac中 oa 200 oac 30 2 3 4 5 6 7 9 1 10 8 又 dc oa 200 9 如图所示 测量河对岸的塔高ab时 可以选与塔底b在同一水平面内的两个观测点c与d 测得 bcd 15 bdc 30 cd 30m 并在点c处测得塔顶a的仰角为60 求塔高ab 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 解在 bcd中 cbd 180 15 30 135 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 10 如图所示 摩天轮的半径为40m 点o距地面的高度为50m 摩天轮做匀速转动 每3min转一圈 摩天轮上点p的起始位置在最低点处 1 已知在时刻t min 时点p距离地面的高度f t asin t h 求2013min时点p距离地面的高度 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解依题意 a 40m h 50m t 3min 即2013min时点p距离地面的高度为10m 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 求证 不论t为何值 f t f t 1 f t 2 是定值 f t f t 1 f t 2 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 3 4 5 1 1 如图为一半径是3m的水轮 水